河北容城博奥学校高三年级下册第五次调研考试数学试题含解析

高考数学期末测试卷必考（重点基础题）含解析

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构

的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为

图2

A.240,18B.200,20

D.200,18

2222

3.在边长为2百的菱形A6CD中，440=60。，沿对角线30折成二面角A-BD—C为120。的四面体A8CD（如

图），则此四面体的外接球表面积为（）

A.28万B.7兀

C.14乃D.2E

4.设平面a与平面£相交于直线〃?，直线“在平面a内，直线b在平面夕内，且匕_1,加则“a”是“a，。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.即不充分不必要条件

5.已知集合A={1,3,5},B={1,2,3},C={2,3,4,5},则(Ac5)uC=(

A.{1,2,3,5}B.{1,2,3,4}C.{2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5)

6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足：/(x+2e)=-/(x)(其中e=2.71828...)，且在区间屹2e］上是减函数,

令。=殍，b-,c=警，则/3),f(b),/(c)的大小关系(用不等号连接)为()

235

A./(^)>/(«)>/(C)B./0)>/(C)>/(«)

C.f(a)>f(b)>f(c)D.f(a)>f(c)>f(b)

7.若p是r的充分不必要条件，则「p是4的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

71-1

8.已知。=10835/=(五)3"=108|三，则。，仇c的大小关系为

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

9.已知函数y=log〃(尤+c)(。，。是常数，其中。>0且awl)的大致图象如图所示，下列关于。，c的表述正确

的是()

a>\90<C<1

C.Ovacl,c>\D.0<c<1

3

10.执行如图所示的程序框图，若输出的5=伉，则①处应填写()

A.A<3?B.A,3?C.k„5?D.左<5?

11.命题P：存在实数天,对任意实数x,使得sin(x+与)=_sinx恒成立；q：Va>0,/(x)=ln"二为奇函

a—x

数,则下列命题是真命题的是（）

A.p^qB.(r?)v(->q)C.〃人（F7）D.Jp)八q

12.为了得到函数y=sin2x—2■的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（)

A.向左平移7个单位长度B.向右平移占个单位长度

O6

向左平移2个单位长度D.向右平移3个单位长度

填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（x+2y）（x—/苗展开式中的系数为.

14.根据如图所示的伪代码，输出/的值为

S-1

/-1

WhileSc9

S-S3

/—/+2

EndWhile

Print/

15.已知集合4={〃?+1,(加一1)2,〃"3m+3},若I-，则加2。2。=

ex

——,xW2

16.已知函数/(x)=<：.8，（其中e为自然对数的底数），若关于x的方程尸（力-3司/（力|+2储=0恰

2

,5x

有5个相异的实根，则实数a的取值范围为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知函数，(x)=-41nx+]x2.

(1)求/(x)的单调区间；

(2)讨论g(x)=+零点的个数.

18.(12分)已知函数，(x)=l+2x-----6aInx存在一个极大值点和一个极小值点.

x

(1)求实数a的取值范围；

(2)若函数/(x)的极大值点和极小值点分别为七和々，且/(xj+/(w)<2—6e,求实数”的取值范围.(e是自

然对数的底数)

19.(12分)某大学生在开学季准备销售一种文具套盒进行试创业，在一个开学季内，每售出1盒该产品获利50元，

未售出的产品，每盒亏损30元.根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示.该同学为这个开

学季进了160盒该产品，以x(单位：盒，100WxW200)表示这个开学季内的市场需求量，V(单位：元)表示这

个开学季内经销该产品的利润.

(1)根据直方图估计这个开学季内市场需求量x的平均数和众数；

(2)将)表示为》的函数；

(3)以需求量的频率作为各需求量的概率，求开学季利润不少于4800元的概率.

20.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。，底面ABC。是直角梯形，M为侧棱PO上一点,

已知30=2,8c=2百,CD=4,DP=4,Z)M=3.

(I)证明:平面P8C_L平面P3。；

(II)求二面角4一3拉一。的余弦值.

21.(12分)某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查.调查后，就顾客“购物体验”

的满意度统计如下：

n满意不满意

s3iq

iHJHJ

(1)是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？

(2)为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动.据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情

况如下:

购物卡支

支付方式现金支付APP支付

付

频率10%30%60%

按9折支其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾

优惠方式按8折支付

付客按8折支付

将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X,求X的分布列和数学期望.

附表及公式：犬=出；上2_

(〃+b)(c+d)(a4-c)(b+d)

PR*。)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

22.(10分)如图，矩形CDEE和梯形ABC。所在的平面互相垂直，ZBAD=ZADC=90，AB=AD=^-CD,

2

BELDF.

(1)若M为E4的中点，求证：AC//平面MDE；

(2)若AB=2,求四棱锥E—A3CD的体积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数.

【详解】

样本容量为：(150+250+400)x30%=240,

.•.抽取的户主对四居室满意的人数为：240X，“x40%-18.

150+250+400

故选4.

【点睛】

本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合

理运用.

2.B

【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

2-3/_(2-3Z)(1-/)_-1_5Z_15.

Z-1+z-(l+z)(l-z)-2

故选B.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

3.A

【解析】

画图取的中点M,法一：四边形0aMQ的外接圆直径为OM,即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据

即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出AC8D的外接圆直径CE,求出AC和sin/AEC,即可

求半径从而求外接球表面积；

【详解】

如图，取8。的中点M,AC8D和AA5。的外接圆半径为/=4=2,ACBO和AA3D的外心。|,。2到弦8。的

距离（弦心距）为4=4=1.

IwK

R（'

法一：四边形。的外接圆直径。"=2,R=#i,

S=28万；

法二：00=6，R=g,S=28TT；

法三：作出ACBD的外接圆直径CE,则A"=CW=3,CE=4,ME=1，

LLic7+16-271

AE=>/7,AC=3x[3,cosZ.AEC—r—4一，5y'

2R=―——=^^=2布厂

sinZA£C=—sinZAEC3G，R=@，S=28万.

2"2不

故选：A

【点睛】

此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径,方法较多，属于较易题目.

4.A

【解析】

试题分析：a_Lgb_Lm：&J■,嘴“又直线a在平面a内，所以a_Lb,但直线通幽1不一定相交，所以“a_L0”是"a_Lb"

的充分不必要条件，故选A.

考点：充分条件、必要条件.

5.D

【解析】

根据集合的基本运算即可求解.

【详解】

解：；A={1,3,5},8={1,2,3},C={2,3,4,5),

则(ACB)DC={1,3}D{2,3,4,5}={1,2,3,4,5}

故选：D.

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

6.A

【解析】

因为=所以/(x+4e)=/(x),即周期为4,因为/(x)为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]

示意图，如图“X)在(0,1)单调递增，因为5?<2、：于<252<3?.•逐<3与.•.0<c<a<〃<l，因此

/W>/(«)>/(c)>选A.

点睛：函数对称性代数表示

(1)函数/(X)为奇函数O八>)=-/(-X),函数f(x)为偶函数o/(x)=/(-X)(定义域关于原点对称)；

(2)函数/(X)关于点(a,b)对称o/(x)+/(—x+2a)=2b,函数/(x)关于直线x=对称u>/(%)=/(-%+2m),

(3)函数周期为T,则/(x)=/(x+T)

7.B

【解析】

试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可.

由P是r的充分不必要条件知“若P则r”为真，“若r则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q则力”

为真，“若则q”为假，故选B.

考点：逻辑命题

8.D

【解析】

分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定瓦c的大小关系.

1o

详解：由题意可知：log33<log3<log39,即lvav2,即Ovbcl,

^0S\--l°S^>l°Sy—,即C>。，综上可得：.本题选择。选项.

点睛：对于指数塞的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因嘉的底数或指数不相同，不

能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幕的大小比较时，若底数不同，则首先

考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幕的大小的比较，利用

图象法求解，既快捷，又准确.

9.D

【解析】

根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.

【详解】

从题设中提供的图像可以看出0<a<l/og°c>0,log〃（l+c）>0,

故得0<c<1,0<a<1,

故选：D.

【点睛】

本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.

10.B

【解析】

模拟程序框图运行分析即得解.

【详解】

k=l,S=O;左=2,S=OH—r--=—；

22+26

113

k=3,S=—+—z------=—；k=4,S=—+―：-----=—.

632+34442+410

所以①处应填写“鼠3?”

故选：B

【点睛】

本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

11.A

【解析】

分别判断命题，和4的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.

【详解】

对于命题〃，由于sin(x+〃)=-sinx,所以命题，为真命题.对于命题夕，由于。>(),由已立>。解得一。<x<a,

且/(-x)=ln匕=ln［史士］=-ln—=-/(%),所以/(力是奇函数，故4为真命题.所以。人4为真命题.

a+x\a-xJa-x

(—>p)v(―><7)、pA(->g)、(—，/?)Aq都是假命题.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.

12.D

【解析】

通过变形/(x)=sin［2x-・)=sin2(x--j|),通过“左加右减唧可得到答案.

【详解】

根据题意/(x)=sinf2x-51=sin2(x-二),故只需把函数y=sin2x的图象

上所有的点向右平移方个单位长度可得到函数y=sin12X一7胃T］的图象，故答案为D.

6

【点睛】

本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.10

【解析】

把y）5按照二项式定理展开，可得（x+2y）（尤-y）5的展开式中x3/的系数.

【详解】

解：（x+2y）（x—〉）5=0+2>）.（仁./—C4y+屐.xY—C；・fy3+或

故它的展开式中尤3）,3的系数为V+2C；=10,

故答案为：10.

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.

14.7

【解析】

表示初值S=l,i=l,分三次循环计算得5=10>0,输出i=l.

【详解】

S=l,/=1

第一次循环：S=l+l=2,i=l+2=3；

第二次循环：S=2+3=5,i=3+2=5；

第三次循环：5=5+5=10,1=5+2=7；

S=10>9,循环结束，输出：i=7.

故答案为：7

【点睛】

本题考查在程序语句的背景下已知输入的循环结构求输出值问题，属于基础题.

15.1

【解析】

leA分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.

【详解】

依题意，分别令加+1=1,（/”—=m2—3m+3=1>

由集合的互异性，解得加=1,则机2。2。=1.

故答案为：1

【点睛】

本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性.确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

作出了(X)图象，求出方程的根，分类讨论/(X)的正负，数形结合即可.

【详解】

当用,2时，令八x)=5—l=0,解得x=l,

e

所以当工,1时，r(x)>o,则“%)单调递增,当啜k2时，r(x)<o,则单调递减,

当x>2时，/。)=写4r上-8=三4-白8单调递减，且/(x)e[O,4-)

JX5JX5

作出函数f(x)的图象如图：

(1)当a=0时，方程整理得「(幻=0,只有2个根，不满足条件；

(2)若。〉0,则当y(x)<0时，方程整理得产3+3硝x)+2Q=[/(x)+2a]"(x)+a]=0,

贝!!/(x)=-2a<0,f(x)=-a<0,此时各有1解，

故当/㈤>0时，方程整理得,f2M-3af(x)+2a2="(x)-2a][f(x)-a]=0,

/(幻=2。有1解同时/*)=。有2解，即需为=1,a=-,因为/(2)-=故此时满足题意;

2e~e2

或/(x)=2a有2解同时/(x)=a有1解，则需a=0,由⑴可知不成立；

或f(x)=2a有3解同时/(x)=。有。解，根据图象不存在此种情况，

2a>1

24

或f(x)=2a有0解同时/(x)=a有3解，则24.解得士

a<-e5

[e5

24

故〃~)

⑶若"0,显然当_/(x)>0时，/。)=2。和/(幻=。均无解，

当/(幻<0时，/(》)=-2。和/*)=一。无解，不符合题意.

综上：”的范围是P，-)u{-}

e52

241

故答案为：仁，一)5—}

e52

【点睛】

本题主要考查了函数零点与函数图象的关系，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握

水平和分析推理能力，属于中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)见解析(2)见解析

【解析】

(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.

-41nx4-InxInt

(2)g(x)=-----+版,g(尤)有零点等价于方程-------+加=0实数根，再换元将原方程转化为b=——，再求导分

xxt

析/?«)=驷的图像数形结合求解即可.

t

【详解】

(1)/(X)的定义域为(0,+8),(X)=+X=二13，当0<X<2时,广(X)<o,所以y=f(x)在(0,2)单调递减；

XX

当X>2时,/'(x)>0,所以y=/(x)在(2,+8)单调递增，所以y=f(x)的减区间为(0,2),增区间为(2,+8).

-41nx41nx9In/

(2)g(x)=-----+bx,g(x)有零点等价于方程-------+bx=0实数根，令x2=t(t>0)则原方程转化为b=——,

XXt

令h(t)=,//(/)=2aJn。.令/⑺=o,t=e,e(0,e),〃'(/)>0,fe(e,+oo)Ji(r)<0,

21

〃⑺max=Me)=一,当f=-时,力⑺=-2e<0,当f>e时,/?(/)>0.

ee

如图可知

①当匕W0时,h(t)有唯一零点，即g(x)有唯一零点;

2

②当0<。<一时，〃⑺有两个零点，即g(x)有两个零点；

e

2

③当。=士时,hQ)有唯一零点，即g(x)有唯一零点；

e

2

④。〉一时，〃⑺此时无零点，即g(x)此时无零点.

e

【点睛】

本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法，同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.

<4A/、

18.(1)-,+00；(2)(e,-K0).

【解析】

(1)首先对函数/(X)求导，根据函数存在一个极大值点和一个极小值点求出”的取值范围；

(2)首先求出/(xj+/(x2)的值，再根据/(芯)+/(々)<2—6e求出实数a的取值范围.

【详解】

(1)函数“X)的定义域为是((),+a),

、c,2a6a_2x2-6ax+2a

J(x)=2+-r=2，

XXX

若/(x)有两个极值点，则方程2/-6G:+2a=0一定有两个不等的正根，

设为X]和42,且X,<X,,

A=36a2-16a>0

4

所以《%+%=3。>0解得。>一,

9

x[x2=a>0

此时尸(x)=

X2

当0<x<X时，/'(x)>0,

当用cxcx2时，/，(x)<0,

当时，r(x)>。，

故*是极大值点，々是极小值点,

故实数a的取值范围是+8)；

(2)由(1)知，xt+x2=3a,x1x2=a,

2a2a

贝!j/(xJ+/(*2)=]+2^1-----6aIn&+1+2x?------6aInx0,

否

=2+2(x)+，2)_2a*+%)_6alnX1%2，

52

ccc2。•3。/,C/1

=2+2x3a—O6Z1nQ=2-6aInci,

a

由/(Xi)+/(%2)v2—6e,得2-6oln。v2-6e,即alna>e,

4

令g(a)=aInaQ>一,考虑到g(e)=elne=e,

9

所以alna>e可化为g(a)>g(e),

所以g(a)在(；+oo］上为增函数，

由g(a)>g(e)，得4>e,

故实数a的取值范围是(e,”).

【点睛】

本题主要考查了利用导数研究函数的极值点和单调性，利用函数单调性证明不等式，属于难题.

_8ax—4800(100<x<160)(3)090

以⑴.153,众数为15。；⑵,^8000(］60〃42。。)；

【解析】

(1)由频率直方图分别求出各组距内的频率，由此能求出这个开学季内市场需求量x的众数和平均数；(2)由已知条

件推导出当10畸上160时，y=50x-(160-%)30=80;t-4800,当160<%,200时，y=160x50=8000,由此

能将y表示为X的函数；(3)利用频率分布直方图能求出利润不少于4800元的概率.

【详解】

(1)由直方图可估计需求量1的众数为150,

由直方图可知［100,120)的频率为：20x0.0050=0.10

由直方图可知［120,140)的频率为：20x0.010=0.20

由直方图可知［140,160)的频率为：20x0.0150=0.30

由直方图可知［160,180)的频率为：20x0.0125=0.25

由直方图可知［180,200］的频率为：20x0.0075=0.15

,估计需求量x的平均数为：

x=0.10x110+0.20x130+0.30x150+0.25x170+0.15x190=153

(2)当1004尤<160时，y-50x-30(160-x)=80x-4800

当160«x4200时，y=50x160=800()

80^-4800(1004x<160)

:.y—<

-8000(160<x<200)

(3)由(2)知当160<xW200时，y=50xl60=8()00>48()()

当100<x<160时，y=8()x—4800>4800得120Vx<160

开学季利润不少于4800元的需求量为120<x<200

由频率分布直方图可所求概率P=0.20+0.30+0.25+0.15=0.90

【点睛】

本题考查频率分布直方图的应用，考查函数解析式的求法，考查概率的估计，是中档题，解题时要注意频率分布直方

图的合理运用.

20.(I)证明见解析；(II)_叵.

4

【解析】

(I)先证明BCLPD,再证明平面尸3Q,利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；

(11)根据题意以94,比,分为工轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系，求出平面A3M和平面的向量，利用公式

即可求解.

【详解】

(I)证：由已知得瓦>+sc?=，3。

又平面A5C£),「BCu平面ABCD,:.BC上PD,

而PDcBD=D故,BC_L平面P8D

•:BCu平面P8C,平面BBC_L平面P3D

(II)由(I)知推理知梯形中A8//CD,AD±AB,ADVDC,

有ZADB+NBOC=90°，又NBCD+N5OC=9(T，故ZADB=NBCD

“，，』，，-ABBDAB2

所以AAfiZ）相似ABDC，故有=,a即n=—=>AB=1

BDDC24

AD=\lBD2-AB2=V22-l2=V3

所以，以方，配，而为X轴、），轴、Z轴建立如图所示的空间直角坐标系。一孙Z,

则0(0,0,0),A(6,0,0),B(V3,l,0),C(0,4,0),M(0,0,3)

A月=（0』,0）,5C=（-73,3,0）,丽=（—石,—1,3）,设平面ABM的法向量为片=（%,降4）,则

n^-AB=0卜|=0

Uy•BM-0--y+3z)=0

令玉=3,则Z[=百，..."i=卜,0,8）是平面AMB的一个法向量

设平面创纥的一个法向量为后=(%,%,Z2),

•BC-0-+x2+3%=0

<______zz><

〃2BM=0[-V3X2-^2+3Z2=0

令々=3,贝!J%=G

是平面8MC的一个法向量

(3,0,6)《3,6

COS<〃”〃2

同〃2占+疗3?+疔

又二面角AYMW为钝二面角，其余弦值为一孚

【点睛】

本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力,

属于中档题.

21.(1)有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；(2)67元，见解析.

【解析】

(1)根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；

(2)X的可能取值为40,60,80,1,根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可.

【详解】

(1)由题得

爪2=200(40x40-80x40)2

5.556>5