高二数学选修4-4极坐标系

4.1.3.极坐标系高中数学选修4-4坐标系与参数方程学习要点：极坐标系是不同于直角坐标系的另一种坐标系，在这两种坐标系中都可以确定点的位置，其各有特点。通常情况下，在运动的过程中，假设点作平移变动，那么选择直角坐标系；而假设点作旋转变动，那么采用极坐标系。1〔1〕假设有一艘军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定他们的位置以便将它们引爆呢？军舰水雷群创设情境2创设情境从这向北1000米请问去农行路怎么走？3请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从这向北走1000米！出发点方向距离在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的根本思想。情境分析4一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点。引一条射线Ox，叫做极轴。再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向〔通常取逆时针方向〕。这样就建立了一个极坐标系。xO新课讲解5二、极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点M，用表示线段OM的长度，用表示从Ox到OM的角度，叫做点M的极径，叫做点M的极角，有序数对〔，〕就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从Ox到OM的角度，即以Ox〔极轴〕为始边，OM为终边的角。xOM

新课讲解6题组1：说出以下图中各点的极坐标练一练7①平面上一点的极坐标是否唯一？②假设不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定:

当M在极点时，它的极坐标

=0，可以取任意值。想一想？8三、点的极坐标的表达式的研究:XOM

如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的其他表达式.思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。此题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角。新课讲解9题组2：在极坐标系里描出以下各点练一练10ABCDEFGOX解析：11五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M〔3，/4〕的所有极坐标六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况[1]给定〔,〕,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。OXPM(ρ,θ)…原因在于：极角有无数个。12一般地,假设(ρ,θ)是一点M的极坐标,那么(ρ,θ+2kπ)也表示M的极坐标，或，极点的极坐标为(0,θ)，假设限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可一一对应了.七、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况132.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD题组41.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－)D.(－3,－)143.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A15思考：平面内的一个点的直角坐标是(1,)，这个点如何用极坐标表示?点M〔5，〕这个点如何用直角坐标表示?极坐标与直角坐标的互化在直角坐标系中,以原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相同的长度单位点M的直角坐标为Oxyθ设点M的极坐标为(ρ,θ)极坐标与直角坐标的互化关系式:设点M的直角坐标是(x,y)

极坐标是(ρ,θ)x=ρcosθ,y=ρsinθ

例1.将点M的极坐标化成直角坐标.解:所以,点M的直角坐标为以下点的极坐标，求它们的直角坐标。例2.将点M的直角坐标化成极坐标.练习:点的直角坐标,求它们的极坐标.[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？[1]建立一个极坐标系需要哪些要素？极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数.极径有正有负；极角也有正负且无数个。课堂小结1、极坐标〔ρ，2kπ+θ〕和〔-ρ，2kπ+θ+π〕其中表示同一个点〔ρ，θ〕；23课堂小结1、点M〔ρ，θ〕关于极点的对称点的一个坐标为〔-ρ，θ〕或〔ρ，π+θ〕；2、点M〔ρ，θ〕关于极轴的对称点的一个坐标为〔ρ，-θ〕或〔-ρ，π-θ〕；3、点M（ρ，θ）关于直线的对称点的一个坐标为（-