一元线性回归模型参数的最小二乘估计导学案

8.2.1一元线性回归分析

8.2.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计

导学案

【学习目标】

1.了解随机误差、残差、残差图的概念

2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果

3.掌握建立线性回归模型的步骤

4.掌握非线性回归转化为线性回归的方法，会求非线性回归方程，并作出预测

【自主学习】

知识点一线性回归模型

(1)函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系.

(2)回归分析是对具有幽关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.

(3)对于一组具有线性相关关系的数据(M，(及，")，…，(X,,，%),回归直线的斜率和截

n

、:(Xi—x)(yj—y)

距的最小二乘估计公式分别为金:.——二一=错误！，错误！=错误！一错误！

£(%,—x)2

X,其中(x,y)称为样本点的中心.

(4)线性回归模型y=bx+“+e,其中〃和〃是模型的未知参数，e称为随机误差,自变量x

称为解释变量,因变量y称为螂变量.

知识点二残差的概念

对于样本点(为，yi),(M，竺)，…，(斯，％)而言，它们的随机误差为ei=1i—bxi—a,z=l,

1

、AAAAA

2,…，n,其估计值为6=y—y尸a,i=l,2,…，n,e,称为相应于点(为，y)的残

差.

知识点三刻画回归效果的方式

⑴残差图法

作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号,或身高数据，或体重估计值等，这样作出

的图形称为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模

型比较合适，这样的带状区域的宽度越室，说明模型拟合精度越高.

(2)残差平方和法

n

残差平方和Z,残差平方和越小,模型拟合效果越好.

I-I

(3)利用心刻画回归效果

n

X(Mf)2

R2=i—亍----------；a表示解释变量对于预报变量变化的贡献率.R2越接近于L表示

,?!(v-y)2

回归的效果越好.

2

【合作探究】

探究一求线性回归方程

【例1】某班5名学生的数学和物理成绩如下表:

(1)画出散点图；

(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；

(3)一名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩.

解(I)散点图如图.

V,物理成绩

90

80

70

60・J.J...

657075808590曲成绩

(2)x=|x(88+76+73+66+63)=73.2,

(78+65+71+64+61)=67.8.

5

.5^=88X78+76X65+73X71+66X64+63X61=25054.

5

E^=882+762+732+662+632=27174.

I=I

所以公=错误！=错误!-0.625.

A-A-

^=y-/?x^67.8-0.625X73.2=22.05.

3

所以)，对x的回归直线方程是£=0.625x+22.05.

A

(3)x=96,则产0.625X96+22.05=82,

即可以预测他的物理成绩是82.

归纳总结：(1)散点图是定义在具有相关关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组

数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析.

(2)求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才

有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义.

【练习1］以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据:

房屋面积/n?11511080135105

销售价格/万元24.821.618.429.222

(1)画出数据对应的散点图；

(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；

(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150a?时的销售价格.

解(1)数据对应的散点图如下图所示：

55

（2）x=&?产=1。9,篙S-*）2=1570,

4

y=23.2,E(xi~~x)(y/—y)=308.

i-i

AAA

设所求回归直线方程为)，=6x+m

5_

A篙(为一一(y，-y)308

则匕=----,--------------=7^^0.1962,

£(X,—x)2157U

1=I

«=y—/>x=0.18142.

故所求回归直线方程为£=0.1962x+1.8142.

回归直线如上图所示.

(3)据(2),当x=150n?时,销售价格的估计值为

£=0.1962X150+1.8142=31.2442(万元).

探究二线性回归分析

【例2】为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体

进行测量，数据如下表所示：

X51015202530

y7.258.128.959.9010.911.8

(1)作出散点图并求线性回归方程;

(2)求出R?；

(3)进行残差分析.

解(1)散点图如图

5

4刊弹簧长度/厘米

102

8

6

4

2

51015202530354重量/克

x=/5+10+15+20+25+30)=17.5,

y=|(7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8)^9.487,

66

£讶=2275,1076.2

1=1I—1

计算得，£-0.183,6.285,

所求回归直线方程为f=0/83x+6.285.

(2)列表如下：

A

yi—yi0.050.005-0.08-0.0450.040.025

-2.24-1.37-0.540.411.412.31

yi-y

66

所以Z,(y,—y,)2«0.01318,S(y,—y)2=14.6784.

所以，改=1一黑需-09991,

14.0/o4

回归模型的拟合效果较好.

(3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时

候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看

出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的线性回归模型

的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与拉力成线性关系.

归纳总结：在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,

6

是否可以用线性回归模型来拟合数据.然后，通过残差e,会，…，当来判断模型拟合的效

果，判断原始数据中是否存在可疑数据.若残差点比较均匀地分布在水平带状区域内，带状

区域越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程预报精度越高.

【练习21已知某种商品的价格x（元）与需求量y（件）之间的关系有如下一组数据：

X1416182022

y1210753

求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏.

解x=1（14+16+18+20+22）=18,

y=g(12+10+7+5+3)=74,

5

142+162+182+202+222=I660,

5

Ex/y/=14X12+16X10+18X7+20X5+22X3=620,

z=lJ

A

所以。=错误！=错误！=一1.15.

^=7.4+1.15X18=28.1,

所以所求回归直线方程是f=-1.15x+28.1.

列出残差表：

A

00.3-0.4-0.10.2

4.62.6-0.4-2.4-4.4

55

所以，Zg—y)2=0.3,z(y—y)2=53.2,

i—1/—I

7

5

2

/?2=1-----------......-.994,

高(y-y)2

所以回归模型的拟合效果很好.

探究三非线性回归分析

【例3】下表为收集到的一组数据:

X21232527293235

y711212466115325

(1)作出x与y的散点图，并猜测x与y之间的关系；

(2)建立x与y的关系，预报回归模型并计算残差；

(3)利用所得模型，预报x=40时y的值.

解(1)作出散点图如下图，从散点图可以看出x与y不具有线性相关关系，根据已有知识

可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线丫=。“加的周围，其中臼，C2为待定的参数.

3

350

200

250

00

150

100

20222426283032343638x

(2)对两边取对数把指数关系变为线性关系，令z=lny,则有变换后的样本点应分布在直线z

=%x+a(a=lnci,b=C2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来建立y与x之间的非线性

回归方程了，数据可以转化为

X21232527293235

8

Z1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784

A

求得回归直线方程为z=0.272x—3・849,

・.0.272.1-3.849

•»y——e.

残差

711212466115325

A

yi6.44311,10119.12532.95056.770128.381290.325

0.557-0.1011.875-8.9509.23-13.38134.675

(3)当x=40时，y=e0,272A'-3849：Ss1131.

归纳总结：解决非线性回归问题的方法及步骤

(1)确定变量：确定解释变量为x,预报变量为)

(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幕、指数、对数函数、二次函数)作比较，选

取拟合效果好的函数模型；

(3)变量置换：通过变量置换把非线性回归问题转化为线性回归问题；

(4)分析拟合效果：通过计算相关指数等来判断拟合效果；

(5)写出非线性回归方程

【练习3】为了研究某种细菌随时间x变化时，繁殖个数y的变化，收集数据如下：

天数x/天123456

繁殖个数w个612254995190

(1)用天数x作解释变量，繁殖个数y作预报变量，作出这些数据的散点图;

9

⑵描述解释变量X与预报变量y之间的关系；

⑶计算相关指数.

解(1)作散点图如图所示.

W个

200•

150

100•

50•

~_9._*__1-------------------■——-

2468A天

(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=cec＞的周围，于是令z=lny,则有变换后

的样本点应分布在直线Z=6x+a(a=ln〃=C2)的周围，这样就可以利用线性回归模型来

建立y与尤之间的非线性回归方程了，数据可以转化为

X123456

Z1.792.483.223.894.555.25

由计算器得：Z=0.69x+1.115,则有y=eS69.r+Lll5

(3)

A6.0812.1224.1748.1896.06191.52

V

612254995190

377AA

y=~.e仁篙(y,-y)2=4.8161,

n_

g8—),)2=24642.8,/?2=]_1^^=0.9998，

即解释变量天数对预报变量繁殖细菌个数解释了99.98%.

10

课后作业

A组基础题

一、选择题

1.在下列各量之间，存在相关关系的是（）

①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身

高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电价之间的关

系.

A.②③B.③④C.④⑤D.②③④

【答案】D

2.若劳动生产率4千元）与月工资y（元）之间的线性回归方程为£=50+80X,则下列判断正

确的是（）

A.劳动生产率为1000元时，月工资为130元

B.劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高80元

C.劳动生产率提高1000元时，月工资平均提高130元

D.月工资为210元时，劳动生产率为2000元

【答案】B

3.某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是（）

A£=—10X+200B.£=10X+200

AA

C.y=-1Ox-200D.y=10x-200

【答案】A

解析由于销售量y与销售价格x成负相关，故排除B、D.又当x=10时，A中），=100,而

11

C中y=-300,C不符合题意，故选A.

4.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）有线性相关关系，根据一组样本数

A

据（如y,）（/=1,2,〃），用最小二乘法建立的回归方程为y=0.85x—85.71,下列结论中

不正确的是（）

A.），与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心（x,y）

C.若该大学某女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm,则可断定其体重必为58.79kg

【答案】D

解析由回归方程为f=0.85x—85.71知y随x的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关

AAAA-A-A-A-

关系；由最小二乘法建立回归方程的过程知（〃=y—bx）,所以回归直

线过样本点的中心y）；利用回归方程可以估计总体，所以D不正确.

A.63.6万元B.65.5万元

C.67.7万元D.72.0万元

【答案】B

4+2+3+5749+26+39+54

解析=4=2fy=4=42,

12

AAA7AA

又了=法+。必过(x,y),「.42=]><9.4+。，.\a=9A.

・••线性回归方程为f=9.4x+9.1.

A

当x=6（万元）时，y=9.4X6+9.1=65.5（万元）.

6.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,3两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方

n

和石8一）62如下表

甲乙丙T

BBB

*

・.

散点图*•

*•*•,,J.

~o\A0A0\A

残差平

115106124103

方和

哪位同学的实验结果体现拟合A,8两变量关系的模型拟合精度高？（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【答案】D

二、填空题

7.如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为,残差平方和为,

相关指数为.

【答案】00I

8.对具有线性相关关系的变量x和y,由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5,且恒

过（2,3）点，则这条回归直线的方程为.

【答案】y=-10+6.5x

AA-A-

解析由题意知亢=2,y=3,6=6.5,所以〃=丫一以=3—6.5乂2=—10,即回归直线的方

13

程为y=-10+6.5x.

三、解答题

9.某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表:

推销员编号12345

工作年限X/年35679

推销金额W万元23345

(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程;

(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额.

AAA

解(1)设所求的线性回归方程为)，=版+〃,

5

5元=0.5,

E(即一x)2

I-1

A-A-

a=y—bx=()A.

所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为•f=0.5x+0.4.

(2)当x=ll时，f=0.5x+0.4=0.5X11+04=5.9(万元).

所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元.

10.某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间

的一组数据如下表:

X3456789

y66697381899091

(1)求样本中心点;

14

(2)画出散点图;

(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程.

解⑴x=6,y=79.86,中心点(6,79.86).

(2)散点图如下：

元

90••,

80•

70.,

60•

3123456789件薮

AW(X,—X)(y,—>')

(3)因为6=^---7---------------七4.75,

£(X,—x)2

0=y-£x=51.36,所以f=4.75x+5L36.

15

B组能力提升

一、选择题

1.已知x与y之间的几组数据如下表:

X123456

y021334

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为£=源+：若某同学根据上表中的前两组数据（1，

0）和（2,2）求得的直线方程为则以下结论正确的是（）

AAAA

A.b>b',coa'B.h>bf,a<a'

AAAA

C.b<b',a>a'D.b<b',a<a'

【答案】C

1+2+3+4+5+67

解析x=6=5'

0+2+1+3+3+413

产6二不

3=错误!=错误!,

A_八-J

ci~y-bx——q.

2—0人

»F=2>b,a

A.点(2,3)B.点(1.5,4)

16

C.点(2.5,4)D.点(2.5,5)

【答案】C

解析回归方程必过样本点的中心(x,y),即(2.5,4).

二、填空题

3.如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据后，剩下的4组数据的

相关指数最大.

•£(10,12)

0(3.10)

•C(4,5)

.,8(2,4)

4(1,3)

o'----------------------1

【答案】£>(3,10)

解析去掉。(3,10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即

两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大.

三、解答题

4.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：

年份20022004200620082010

需求量/万吨236246257276286

⑴利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程；=源+2

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量.

解(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程,

先将数据处理如下：

年份一2006-4-2024

17

需求量一257-21-1101929

对处理的数据，容易算得x=0,y=3.2,

A(-4)X(—21)+(—2)X(-11)+2219+4X29—5X003.2260

b=(-4)2+(-2)2+22+42-5X02=而=6.5,

：=丫一源=3.2.由上述计算结果，知所求回归直线方程为(-257=6.5。—2006)+3.2.

即£=6.5(X-2006)+260.2.

(2)利用所求得的直线方程，可预测2012年的粮食需求量为6.5X(2012-2006)+260.2=

6.5X6+260.2=299.2(万吨).

5.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，

得到如下数据：

单价x(元)88.28.48.68.89

销量y(件)908483807568

(1)求回归直线方程y=/?x+a,其中/?=-20,a=y-bx；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为

使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入一成本)

8+8.2+84+8.6+8.8+9=8.5,y=((90+84+83+80+75+68)=80

解⑴户6

AAAA-

*.*/?=-20,a=y—bx9

.,.^=80+20X8.5=250

・•・回归直线方程£=-20x+250；

33

(2)设工厂获得的利润为L元，则L=x(-20x+250)-4(-20x+250)=-20U-y)2+361.25

18

...该产品的单位应定为亍元，工厂获得的利润最大.

6.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入以单位：千元)与月储蓄以单

1010101()

位：千元)的数据资料，算得自酉=8(),占凶=20,髭X，M=184,备行=720・

(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程£=£+梃

(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.

附：线性回归方程£=源+1中，金=错误!，错误！=错误！一人错误！，

其中二;为样本平均值.

解(1)由题意知

-

in1"80-1"20.

〃=10,X=G吝x产而=8,占)，产元=2，

n

又&=篙/一心2=720—10X82=80,

n

l-Y.Xiyi-nxy=184—10X8X2=24,

nJi=\

AI24A-A-

由此得占=产=合=0.3,a=y—bx=2—0.3X8=—0.4,

txx80•

故所求回归方程为f=0.3x-0.4.

(2)由于变量y的值随x的值增加而增加(力=0.3>0),故x与y之间是正相关.

(3)将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为£=().3X7—0.4=1.7(千元).

7.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料

成本y(元)与生产该产品的数量x(千件)有关，经统计得到如下数据：

X12345678

19

y1126144.53530.5282524

根据以上数据，绘制了散点图

观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型y=a+与和指数函数

模型），=ce"'分别对两个变量的关系进行拟合.己求得用指数函数模型拟合的回归方程为£=

96.54屋°2"，Iny与x的相关系数n=-0.94.

参考数据（其中々=工）：

8888

40.61X6185.5e-2

2产，UU2石田

183.40.340.1151.5336022385.561.40.135

（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程;

（2）用相