第16章知识资料运动方程的变分形式

第十六章高等结构动力学运动方程的变分形式§16.1

广义坐标§16.2Hamilton原理§16.3Lagrange运动方程§16.4线性体系普遍运动方程的推导§16.5约束和Lagrange乘子第十六章运动方程的变分形式§16.1广义坐标

阐述多自由度的变分方法时广泛地应用了广义坐标。N个自由度体系的广义坐标用任意一组N个独立的量来定义，这些量是完全独立的，所以广义坐标之间不得以任何方式通过体系上的几何约束相关联。§16.1广义坐标§16.1广义坐标

图16-1所示的古典双摆可以用坐标x1,y1,x2,y2给定两个质量m1和m2的位置。但这些坐标必须满足两个几何约束条件，即

(16-1)§16.1广义坐标

由于这些约束条件，x1,y1,x2,和y2不是独立的，所以不能作为广义坐标。

另一方面，假定取和为坐标来确定m1和m2的位置，他们可以看成是完全独立的，而且是一组合适的广义坐标。§16.2Hamilton原理为建立动力学的变分表述，考虑图16-2所示质点m,它在外力向量F（t)作用下沿真实路径运动，在t1时刻离开点1，在t2时刻到达点2。§16.2Hamilton原理§16.2Hamilton原理§16.2Hamilton原理

在时刻t，如果质点经受合成虚位移，那么包括惯性力在内的所有力的虚功一定等于零，可表示为(16-2)

重新整理各项并对此方程从t1到t2积分，则给出(16-3)§16.2Hamilton原理

对第一个积分式（）进行分步积分，并认识到在这个变分路径是首、尾虚位移一定为零，则得到(16-4)其中T（t）是质点的动能，即(16-5)§16.2Hamilton原理

此时，将力向量F（t）分成保守的和非保守的分量有助于这里的讨论，如下所示：(16-6)

根据定义，必须满足分量关系(16-7)§16.2Hamilton原理

式中等于向量中各非保守力所作的虚功。利用式（16-4）和式（16-8），则方程（16-3）可以表示为如下形式(16-9)

利用式（16-6）和式（16-7），则式（16-3）中的第二积分式（）为(16-8)§16.2Hamilton原理

值得注意的是Hamilton方程还能应用于静力学问题，简化为(16-10)

方程（16-9）就是众所周知的Hamilton变分表述。用这个原理可直接导出对于任一给定体系的运动方程。

即著名的广泛应用于静力分析的最小势能原理§16.3Lagrange运动方程

只要用一组广义坐标q1,q2,…qN表示总动能T、总位能V和总的虚功，就可以从动力学的变分形式，即Hamilton原理直接推导出N自由度体系的运动方程：§16.3Lagrange运动方程§16.3Lagrange运动方程

上述三点T、V、用数学形式可表示如下：这里系数Q1，Q2，…，QN分别是对应于坐标q1，q2，…，qN的广义力函数。(16-11a)(16-11b)

(16-11c)§16.3Lagrange运动方程

把式（16-11）代入（16-9）中，并完成第一项的变分，给出

（16-12）§16.3Lagrange运动方程

对于（16-12）中与速度有关的项分布积分，导得：

对于（16-13）中右边第一项等于零。把式（16-13）代入（16-12），重新排列各项后给出：

(16-13)§16.3Lagrange运动方程由于所有变分都是任意的，只有当方括号内的项为零时，式（16-14）才能满足，即Lagrange方程：

(16-14)(16-15)§16.3Lagrange运动方程Lagrange方程

是在特定条件下应用Hamilton变分原理的一个直接结果，条件就是能量和功能用广义坐标及它们对时间的导数和变分表示，如式（16-11）所示。因此Lagrange方程适用于满足这些限制的所有体系，而且它们可以是线性的，也可以是非线性。§16.4线性体系普遍运动方程的推导(16-16)

(16-17)

承受小振幅震荡的线性工程体系的动能和势能可以表示为两次型：§16.4线性体系普遍运动方程的推导§16.4线性体系普遍运动方程的推导

这里N是自由度数。对于这种体系，式（16-15）的第二项等于零，它使Lagrange方程简化为：

(16-18)§16.4线性体系普遍运动方程的推导

(16-20)

当把式（16-16）和（16-17）代入（16-18）中，换成矩阵形式时Lagrange运动方程变成：

(16-19)

现在考虑离散化问题，即用有限个坐标来近似无限自由度体系。例如一个弯曲构件的侧向挠度能用关系式：§16.4

线性体系普遍运动方程的推导

(16-21)

若m(x)是构件单位长度的质量，动能（忽略转动惯量的影响）能表示成：

把式（16-20）代入（16-21）给出（16-16）：§16.4线性体系普遍运动方程的推导弯曲应变能为:其中：（16-23）把式（16-20）代入（16-23）得：

(16-17)

(16-24)其中：

(16-22)§16.4线性体系普遍运动方程的推导为了得到广义力函数Q1，Q2，...，QN，必须求出虚功，它是对体系施加任意一组虚位移时，由作用在弯曲构件上的全部非保守力所做的功。假定弯曲构件的材料服从单向应力应变关系利用(16-25)和构件横断面上正应变是线性变化的Bevnoulli-Euler假定导得弯矩-位移关系：（16-25）

（16-26）§16.4线性体系普遍运动方程的推导外加的非保守力只限于横向分布荷载p（x，t)，则这些力做的虚功为(16-28)这些内部的非保守力做的总虚功是：

（16-27）§16.4线性体系普遍运动方程的推导把式（16-20）代入式（16-27）和（16-28）中，相加后得这里：

(16-29)

(16-30)

(16-31)§16.4线性体系普遍运动方程的推导把式（16-29）和（16-11c)比较，显然：最后把式（16-16），（16-17）和（16-32）代入Lagrange方程（16-15）内，得到矩阵形式的运动方程：

(16-32)

(16-33)§16.5约束和Lagrange乘子假如把一般情形中的m个约束方程表示成：

(16-35)

§16.5约束和Lagrange乘子§16.5约束和Lagrange乘子的形式。取式（16-35）的变分，结果为：

(16-36)§16.5约束和Lagrange乘子对（16-36）每一个乘一个未知函数，并且将这个乘积在时间间隔t1到t2上积分，然后在Hamilton变分方程（16-9）中加上前面的积分，在完成变分后的下述方程：

(16-37)§16.5约束和Lagrange乘子由于变分是任意的，所以（16-37）中每一个方括号内的项必须等于零，即：式（16-38）是Lagrange方程的修正形式。这种与时间有关的函数叫做Lagrange乘子。

(16-38)§16.5约