参数方程综合应用

课题:参数方程的综合应用

顺昌二中周元清1.参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数①并且对于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的

，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.参数方程中的参数可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数.参数方程2.常见曲线的参数方程(1)直线过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程的标准形式为__________________________.(2)圆①圆x2＋y2＝r2的参数方程为______________________；②圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为________________________.(3)椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a>b>0)的参数方程为______________________.(4)双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线b2x2－a2y2＝a2b2(a>0，b>0)的参数方程为______________________.(5)抛物线抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为_______________________

或____________________.参数方程与普通方程的互化反思与感悟参数方程化为普通方程的注意事项(1)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，由参数方程化为普通方程时需要考虑x的取值范围，注意参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定.(2)消除参数的常用方法：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用特殊的消参手段.练习3:已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.练习3:已知A,B两点是椭圆与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭圆弧上求一点P,使四边形OAPB的面积最大.命题角度2曲线参数方程的应用例3

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

(α为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝2.(1)求曲线C与直线l在该直角坐标系下的普通方程；解答可得(x－2)2＋y2＝1，可得ρ(sinθ＋cosθ)＝4，即x＋y＝4.(2)动点A在曲线C上，动点B在直线l上，定点P(－1,1)，求|PB|＋|AB|的最小值.解答解方法一设P关于直线l的对称点为Q(a，b)，所以Q(3,5)，由(1)知曲线C为圆，圆心C(2,0)，半径r＝1，|PB|＋|AB|＝|QB|＋|AB|≥|QC|－1.仅当Q，B，A，C四点共线时，且A在B，C之间时等号成立，反思与感悟(1)关于折线段的长度和或长度差的最大值或最小值的求法，常常利用对称性以及两点之间线段最短解决.(2)有关点与圆、直线与圆的最大值或最小值问题，常常转化为经过圆心的直线、圆心到直线的距离等.直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.解答(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.解答类型三极坐标与参数方程解答例4

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；解由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.解答(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；解答(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.类型三极坐标与参数方程解答例4

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；解由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.解答解方法一在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.得t2＋(12cosα)t＋11＝0，设A，B对应的参数为t1，t2，所以t1＋t2＝－12cosα，t1t2＝11.反思与感悟(1)极坐标与参数方程综合是高考的重点、热点.(2)解决此类问题一般可以转化为直角坐标下求解.当然也可以转化为极坐标下求解，关键是根据题目特点合理转化.跟踪训练4

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3ρcosθ＋2ρsinθ＝12.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；解答在3ρcosθ＋2ρsinθ＝12中，由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，得3x＋2y－12＝0，所以直线l的直角坐标方程为3x＋2y－12＝0.解答(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，M为曲线C与y轴负半轴的交点，求四边形OMAB的面积.易得A(4,0)，B(2,3)，达标检测1.曲线

(θ为参数)的焦点坐标为A.(±3,0) B.(0，±3)C.(±6,0) D.(0，±6)解析答案12345√这是焦点在y轴上的椭圆，c2＝a2－b2＝62，所以焦点坐标为(0，±6).√答案123453.已知直线l的参数方程为

(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则直线l与圆C的位置关系为A.相离 B.相切C.相交 D.由参数确定答案√123454.点P(1,0)到曲线

(t为参数)上的点的最短距离为___.解析设点P(1,0)到曲线上的点的距离为d，所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.解析答案1123455.在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆

＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值.解答12345规律与方法1.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关