模型41 单中点、双中点模型（教师版）

模型介绍模型介绍有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。模型一、双中点-中位线模型如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.模型二、单中点-倍长中线模型模型二、单中点-“三线合一”模型如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.例题精讲例题精讲考点一：单中点-倍长中线模型【例1】．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，则AE的长为（）A．6 B． C．5 D．解：延长AE交BC于F，如图所示：∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC，∴∠D＝∠C，∵点E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AE＝FE，AD＝CF＝5，∴BF＝BC﹣CF＝5，在Rt△ABF中，AF＝＝＝13，∴AE＝AF＝．故选：B．变式训练【变式1-1】．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（）A．35° B．45° C．50° D．55°解：延长PF交AB的延长线于点G．在△BGF与△CPF中，，∴△BGF≌△CPF（ASA），∴GF＝PF，∴F为PG中点．又∵由题可知，∠BEP＝90°，∴EF＝PG（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∵PF＝PG（中点定义），∴EF＝PF，∴∠FEP＝∠EPF，∵∠BEP＝∠EPC＝90°，∴∠BEP﹣∠FEP＝∠EPC﹣∠EPF，即∠BEF＝∠FPC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC，∠ABC＝180°﹣∠A＝70°，∵E，F分别为AB，BC的中点，∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣70°）＝55°，易证FE＝FG，∴∠FGE＝∠FEG＝55°，∵AG∥CD，∴∠FPC＝∠EGF＝55°故选：D．【变式1-2】．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围为4＜AD＜16．解：延长AD到E，使得DE＝AD，连接BE，如图，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴BE＝AC＝20．∵BE﹣AB＜AE＜AB+BE，∴20﹣12＜2AD＜12+20，∴4＜AD＜16．故答案为：4＜AD＜16．考点二：双中点中位线模型【例2】．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为8．解：∵AD＝AC，AE⊥CD，∴E为CD的中点，又∵F是CB的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴EF∥BD，EF＝BD，∵BD＝16，∴EF＝8，故答案为：8．变式训练【变式2-1】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DF、EF，则EF的长为．解：连接DE，CD，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴DE∥CF，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四边形DCFE是平行四边形，∴EF＝CD，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，∴CD＝＝＝，∴EF＝CD＝，故答案为：．【变式2-2】．如图，在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于M．求证：FM＝EM．证明：连接DE，DF，∵BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，∴DF＝BC，DE＝BC，∴DF＝DE，即△DEF是等腰三角形．∵DM⊥EF，∴点M时EF的中点，即FM＝EM．考点三：单中点三线合一模型【例3】．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，交BC于D，M为BC的中点，AB＝10，求DM的长．解：延长CB到N，使BN＝AB＝10，连接AN，AM，则∠N＝∠NAB，∵∠ABC＝∠N+∠NAB，∠ABC＝2∠C，∴∠N＝∠C，∴AN＝AC，∵AD⊥CN，∴DN＝DC，∴BN+BD＝CD＝DM+CM＝DM+BM＝BD+2DM，∴BN＝2DM，∴2DM＝10，∴DM＝5．变式训练【变式3-1】．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（）A． B． C．6 D．11解：连接AM，∵AB＝AC，点M为BC中点，∴AM⊥CM（三线合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根据勾股定理得：AM＝＝＝4，又S△AMC＝MN•AC＝AM•MC，∴MN＝＝．故选：A．【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．解：连接BD．∵D是AC中点，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，BD＝AD＝CD，BD⊥AC∵∠EDB+∠FDB＝90°，∠FDB+∠CDF＝90°，∴∠EDB＝∠CDF，在△BED和△CFD中，∵，∴△BED≌△CFD（ASA），∴BE＝CF；∵AB＝BC，BE＝CF＝3，∴AE＝BF＝4，在Rt△BEF中，EF＝＝5．【变式3-3】．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．求证：∠BAC＝2∠DCB．解：过A作AE⊥BC于E，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠B＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠B＝90°，∴∠DCB＝∠BAE，∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠BAC，∴∠BAC＝2∠DCB．1．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确的有（）A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②④解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH．∵CD＝2AD，DF＝FC，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠FBH，∴∠CBF＝∠FBH，∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D＝∠FCG，∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，∴△DFE≌△CFG（ASA），∴FE＝FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBG＝90°，∴BF＝EF＝FG，故②正确，∵S△DFE＝S△CFG，∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，∴CF＝BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF＝BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC＝∠BFH，∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，故选：C．2．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正确结论的是（）A．①③④ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①③⑤解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°，∵E、F分别为边AB，BC的中点，∴AE＝BF＝BC，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF＝∠ADE，∵∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠DAF＝∠BAD＝90°，∴∠AMD＝180°﹣（∠ADE+∠DAF）＝180°﹣90°＝90°，∴∠AME＝180°﹣∠AMD＝180°﹣90°＝90°，故①正确；∵DE是△ABD的中线，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②错误；∵∠BAD＝90°，AM⊥DE，∴△AED∽△MAD∽△MEA，∴＝＝＝2，∴AM＝2EM，MD＝2AM，∴MD＝2AM＝4EM，故④正确；设正方形ABCD的边长为2a，则BF＝a，在Rt△ABF中，AF＝＝a，∵∠BAF＝∠MAE，∠ABC＝∠AME＝90°，∴△AME∽△ABF，∴＝，即＝，解得AM＝a，∴MF＝AF﹣AM＝a﹣a＝a，∴AM＝MF，故⑤正确；如图，过点M作MN⊥AB于N，则＝＝，即＝＝，解得MN＝a，AN＝a，∴NB＝AB﹣AN＝2a﹣a＝a，根据勾股定理，BM＝＝a，过点M作GH∥AB，过点O作OK⊥GH于K，则OK＝a﹣a＝a，MK＝a﹣a＝a，在Rt△MKO中，MO＝＝a，根据正方形的性质，BO＝2a×＝a，∵BM2+MO2＝（a）2+（a）2＝2a2，BO2＝（a）2＝2a2，∴BM2+MO2＝BO2，∴△BMO是直角三角形，∠BMO＝90°，故③正确；综上所述，正确的结论有①③④⑤共4个．故选：C．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝．解：如图，连接BE，∵AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，∴AE＝BE，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝10，又∵BC＝6，∴AC＝8，设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x，∵∠BCE＝90°，∴Rt△BCE中，CE2+BC2＝BE2，即（8﹣x）2+62＝x2，解得x＝，∴AE＝，故答案为：．4．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点D作DE垂直AB交BC的延长线于点E，则CE的长是．解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝5，∵点D是AB的中点，∴BD＝AB＝，∵DE⊥AB，∴∠BDE＝∠ACB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BDE∽△BCA，∴，∴，∴BE＝，∴CE＝BE﹣BC＝﹣3＝，故答案为：．5．如图．AB是半圆O的直径．点C、D在上．且AD平分∠CAB．已知AB＝10，AC＝6，则AD＝4．解：如图，连接OD交BC于E点，∵AB为直径，∴AC⊥BC，又∵AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝8，∵AD平分∠CAB，∴＝，∴OD垂直平分BC，由此可得：OE＝AC＝3，DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2，又∵BE＝BC＝4，在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2＝BE2+DE2＝20，在Rt△ABD中，AD＝＝＝4．故答案为：4．6．如图，四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，∠ADB＝∠BCA＝90°，以AD，AC为边作平行四边形DACE，连接BE，则BE的长为2．解：连接AE交CD于O，连接DM、CM，取AB的中点M，连接OM，如图所示：∵AB＝8，∠ADB＝∠BCA＝90°，∴DM＝CM＝AB＝4，∵四边形DACE是平行四边形，∴OA＝OE，OC＝OD＝CD＝3，∴OM是△ABE的中位线，∴BE＝2OM，∵DM＝CM，OC＝OD，∴OM⊥CD，∴∠MOC＝90°，由勾股定理得：OM＝＝＝，∴BE＝2OM＝2；故答案为：2．7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②GH＝；③AD＝AH；④＝，其中正确结论的序号是①③④．解：∵四边形ABCD是边长为6的正方形，点E是BC的中点，∴AB＝AD＝BC＝CD＝6，BE＝CE＝3，∠DCE＝∠ABE＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，∴△ABE≌△DCE（SAS），∴∠CDE＝∠BAE，DE＝AE，∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBG，BG＝BG，∴△ABG≌△CBG（SAS），∴∠BAE＝∠BCF，∴∠BCF＝∠CDE，又∵∠CDE+∠CED＝90°，∴∠BCF+∠CED＝90°，∴∠CHE＝90°，∴CF⊥DE，故①正确；∵CD＝6，CE＝3，∴DE＝＝＝3，∵S△DCE＝×CD•CE＝×DE•CH，∴CH＝，∵∠CHE＝∠CBF，∠BCF＝∠ECH，∴△ECH∽△FCB，∴，∴CF＝＝3，∴HF＝CF﹣CH＝，∴＝，故④正确；如图，过点A作AM⊥DE于点M，∵DC＝6，CH＝，∴DH＝＝＝，∵∠CDH+∠ADM＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°，∴∠CDH＝∠DAM，又∵AD＝CD，∠CHD＝∠AMD＝90°，∴△ADM≌△DCH（AAS），∴CH＝DM＝，AM＝DH＝，∴MH＝DM＝，又∵AM⊥DH，∴AD＝AH，故③正确；∵DE＝3，DH＝，∴HE＝，ME＝HE+MH＝，∵AM⊥DE，CF⊥DE，∴AM∥CF，∴，∴＝，∴HG＝，故②错误．综上，正确的有：①③④．故答案为：①③④．8．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3EF，求的值．解：如图，∵BE是△ABC的中线，∴BE是△ABC的中线，∴＝，过点E作EG∥DC交AD于G，∴∠AGE＝∠ADC，∠AEG＝∠C，∴△AGE∽△ADC，∴＝＝，∴DC＝2GE，∵BF＝3FE，∴＝，∵GE∥BD，∴∠GEF＝∠FBD，∠EGF＝∠BDF，∴△GFE∽△DFB，∴＝＝，∴＝，∴＝．9．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．证明：延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，在△BDG和△CDA中，∵，Ⅳ∴△BDG≌△CDA（SAS），∴BG＝AC，∠CAD＝∠G，又∵AF＝EF，∴∠CAD＝∠AEF，又∠BEG＝∠AEF，∴∠CAD＝∠BEG，∴∠G＝∠BEG，∴BG＝BE，∴AC＝BE．10．已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）．（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，点N是线段BP的中点，求的值．解：（1）①当点C在线段AB上时，如图1，∵AC＝3BC，设BC＝x，则AC＝3x，∵AB＝AC+BC，∴8＝3x+x，∴x＝2，∴BC＝2，AC＝6，∵点D是CB的中点，∴CD＝BD＝BC＝1，∴AD＝AC+CD＝6+1＝7；②当点C在线段AB的延长线上时，如图2，设BC＝x，AC＝3BC＝3x，∵AB＝AC﹣BC＝2x＝8，∴x＝4，∴BC＝4，AC＝12，AB＝8，∵点D是CB的中点，∴BD＝CD＝BC＝2，∴AD＝AB+BD＝8+2＝10；③当点C在BA的延长线上时，明显，此情况不存在；综上所述，AD的长为7或10；（2）如图3，∵M是线段AB的中点，点N是线段BP的中点，∴BM＝AB，BN＝PB，∴MN＝BM+BN＝AB+PB＝（AB+PB）＝AP，∴＝＝+1＝2+1＝3．11．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE（1）证明：CG＝EG；（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的长．解：（1）证明：CG＝EG．连接DE，如图．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，又E为AB中点，∴DE＝AE＝BE，∵CD＝AE，∴DE＝CD，又DG⊥EC，∴EG＝CG；（2）过E作EM⊥BC于M，如图．∵AD⊥BC，EM⊥BC，∴EM∥AD，∵E为AB中点，∴EM是△ABD的中位线，∴EM＝AD＝3．∵AD＝6，BD＝8，∴AB＝＝10，∵DE＝AB＝5，∴DM＝4，∵CD＝AE＝DE＝5，∴CM＝CD+DM＝9，∴CE＝＝3．12．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB＝14．（1）若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．解：（1）∵AP＝8，点M是AP中点，∴MP＝AP＝4，∴BP＝AB﹣AP＝6，又∵点N是PB中点，∴PN＝PB＝3，∴MN＝MP+PN＝7．（2）①点P在AB之间；②点P在AB的延长线上；③点P在BA的延长线上，均有MN＝AB＝7．（3）选择②．设AC＝BC＝x，PB＝y，①＝＝（在变化）；（定值）．13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的长．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形，∴OB＝OD，∵点E为AD中点，∴OE为△ABD的中位线，∴OE∥FG，∵OG∥EF，∴四边形OEFG为平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG＝90°，∴平行四边形OEFG为矩形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝10，由（1）得：OE为△ABD的中位线，∴OE＝AB＝×10＝5，∵点E为AD的中点，∴AE＝AD＝×10＝5，由（1）可知，四边形OEFG是矩形，∴∠EFG＝∠AFE＝∠OGB＝90°，OG＝EF＝4，FG＝OE＝5，∴AF＝＝＝3，∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2，∴BO＝＝＝2．14．在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点．（1）如图1，点G在BC边上时，①判断△BDF的形状，并证明；②请连接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，连接PG、PC．试判断PC、PG有怎样的关系，并给予证明．解：（1）①如图1，△BDF是直角三角形，理由是：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∵△BGF是等边三角形，∴∠GBF＝60°，∴∠DBF＝∠DBC+∠GBF＝90°，∴△BDF是直角三角形；②如图2，过A作AH⊥BD于H，∵∠BAD＝120°，AB＝AD，∴∠BAH＝60°，∴∠ABH＝30°，Rt△ABH中，AB＝10，∴AH＝5，∴BH＝＝5，∴BD＝2BH＝10，∵△BGF是等边三角形，∴BF＝BG＝4，由勾股定理得：DF＝＝＝＝2，由①知：△BDF是直角三角形，且P是DF的中点，∴PB＝DF＝；（2）如图3，PG＝PC，理由是：延长GP交DA于点E，连接EC，GC，∵∠ABC＝60°，△BGF是等边三角形，∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP＝∠GFP，在△DPE和△FPG中，，∴△DPE≌△FPG（ASA），∴PE＝PG，DE＝FG＝BG，∵∠CDE＝∠CBG＝60°，CD＝CB，在△CDE和△CBG中，，∴△CDE≌△CBG（SAS），∴CE＝CG，∠DCE＝∠BCG，∴∠ECG＝∠DCB＝120°，∵PE＝PG，∴CP⊥PG，∠PCG＝×120°＝60°，∴PG＝PC．15．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．（1）如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF+S△CEF与S△ABC的数量关系为S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；（3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．解：（1）当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为：S△DEF+S△CEF＝S△ABC；（2）（1）中的结论成立；证明：过点D作DM⊥AC，DN⊥BC，则∠DME＝∠DNF＝∠MDN＝90°，又∵∠C＝90°，∴DM∥BC，DN∥AC，∵D为AB边的中点，由中位线定理可知：DN＝AC，MD＝BC，∵AC＝BC，∴MD＝ND，∵∠EDF＝90°，∴∠MDE+∠EDN＝90°，∠NDF+∠EDN＝90°，∴∠MDE＝∠NDF，在△DME与△DNF中，，∴△DME≌△DNF（ASA），∴S△DME＝S△DNF，∴S四边形DMCN＝S四边形DECF＝S△DEF+S△CEF，由以上可知S四边形DMCN＝S△ABC，∴S△DEF+S△CEF＝S△ABC．（3）连接DC，证明：同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°，∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+，∴S△DEF﹣S△CFE＝．故S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．16．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是B．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是2＜AD＜10．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．【灵活运用】如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．解：（1）∵AD是BC边上的中线，∴CD＝BD，在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故选：B；（2）∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即12﹣8＜AE＜12+8，∴4＜AE＜20，∵AD＝AE，∴2＜AD＜10，故答案为：2＜AD＜10；【初步运用】延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图2所示：∵AE＝EF．EF＝3，∴AC＝AE+EC＝3+2＝5，∵AD是△ABC中线，∴CD＝BD，∵在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB（SAS），∴BM＝AC，∠CAD＝∠M，∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠AFE，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，∴BF＝BM＝AC，即BF＝5；【灵活运用】线段BE、CF、EF之间的等量关系为