第4章 现代检测技术的理论基础-2012

第4章

现代信号测试理论基础14.1非线性特性补偿方法智能测控系统的测量信号大都为非线性的，检测信号线性化是提高检测系统测量准确性的重要手段。非线性信号在示波器中显示存在如下图中的四种现象：24.1.1模拟非线性补偿法模拟非线性补偿法是指在模拟量处理环节中增加非线性补偿环节，使系统的总特性为线性。线性集成电路的出现为这种线性化方法提供了简单而可靠的物质手段。开环式非线性补偿法开环式非线性补偿法是将非线性补偿环节串接在系统的模拟量处理环节中实现非线性补偿目的。具有开环式非线性补偿的结构原理如下图所示3

2.闭环式非线性补偿法闭环式非线性补偿法是将非线性反馈环节放在反馈回路上形成闭环系统，从而达到线性化的目的。具有闭环式非线性补偿的结构原理如下图所示，非线性反馈环节的特性方程为

4

3.差动补偿法在实际测量系统中，由于环境干扰量的出现，使得系统的总输出呈现非线性。采用差动补偿结构的目的就是消除或减弱干扰量的影响，同时对有用信号，即被测信号的灵敏度有相应提高。差动补偿结构的原理图如下图所示。5

4.分段校正法分段校正法的实施就是将下图中的传感器输出特性，由逻辑控制电路分段逼近到希望的特性上去。64.1.2数字非线性补偿法拟合法最小二乘曲线拟合最小二乘曲线拟合是利用已知的n个数据点，求m-1次最小二乘拟合多项式 其中。选取适当的系数后，使得

即，保证拟合的整体误差最小。74.1.2数字非线性补偿法切比雪夫曲线拟合切比雪夫曲线拟合是用设定的n个数据点其中.求m-1次（m<n）多项式使得在n个给定点上的偏差最大值为最小，即：

84.1.2数字非线性补偿法查表法如果某些参数计算非常复杂，特别是计算公式涉及指数、对数、三角函数和微分、积分等运算时，编制程序相当麻烦，用计算法计算不仅程序冗长，而且费时，此时可以采用查表法。此外，当被测量与输出量没有确定的关系，或不能用某种函数表达式进行拟合时，也可采用查表法。94.2信号插值算法信号插值算法的应用范围主要包括：（1）由于系统采样频率的限制，提高了显示效果；（2）为了节省硬件成本，以软代硬；（3）尽可能减少远距离、大量数据通信的需要；（4）进行数据、图像解压缩，求解微分方程、积分方程；（5）计算函数值、零点、极值点、导数以及积分。10定义设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义，且已知在

a≤x0≤…≤xn≤b上的值f(xi)=yi，若存在一简单φ(x)，使得φ(xi)=yi

成立，就称φ(x)为f(x)的插值函数，点xi为插值节点，包括插值节点的区间[a,b]称为插值区间，求插值函数y=f(x)的方法称为插值法。4.2信号插值算法114.2.1拉格朗日插值（1）拉格朗日插值就是求插值代数多项式。（2）两点一次插值（线性插值）多项式就是在满足插值条件：求在n=1时的一次多项式。从几何上看，就是过两点作直线。如下图所示：（3）用点斜式表示为：124.2.1拉格朗日插值可推出不同次数插值多项式：①

两点一次插值（线性插值）点斜式：②

三点二次插数值（抛物插值）多项式：

③ 拉格朗日n次插值多项式：134.2.1拉格朗日插值满足插值条件：推导拉格朗日插值多项式的误差估计：

①

零次插值误差为：

②

两点一次插值（线性插值）误差为：

③

三点二次插数值（抛物插值）多项式：144.2.2牛顿插值为降低系统的硬件成本，智能检测系统原则上采用软件处理方法。通过一组测量数据求表达该组数据的近似表达式，并通过该表达式求任意给定点的函数值。智能检测系统可采用不等点距的牛顿插值法，其优点是运算次数少，节点改变时使用方便。154.2.2牛顿插值由不等节距的牛顿基本插值公式可得牛顿插值n次代数多项式为：误差项为：

所以当增加一个节点时，牛顿插值公式只需增加一项，有如下递推公式：164.2.3样条插值高次多项式插值虽然光滑，但不具有收敛性，而且会产生龙格现象。为了克服其不收敛性和提高分段线性插值函数在节点处的光滑性，引入样条插值。样条（spline），是早期飞机、造船工业中绘图员用来画光滑曲线的细木条或细金属丝。样条函数插值实质上是指光滑连接起来的分段多项式曲线。174.2.3样条插值1. 三次样条函数插值设在节点处的函数值，求关于分段的三次样条函数，使满足则S(x)称为y=f(x)的三次插值样条函数。

2. 基本方程组184.2.3样条插值3.端点条件

M关系式是N+1个未知数的N-1个方程，通过端点可减少2个未知数。步骤如下：给定M0、MN。在[X0，X1]与[XN-1，XN]上S(x)为二次多项式，此时M0=M1，MN=MN-1。特别可取M0=0、MN=0，此时称S(x)为自然三次插值样条。194.2.3样条插值4.方程组求解此时的方程组可写成统一的形式联立求解：204.3信号滤波在实际应用中，对信号作分析和处理时，需要从接收到的信号中，根据有用信号和噪声的不同特性，消除或减弱干扰噪声，提取有用信号。实现这个滤波功能的系统就称为滤波器。信号滤波是信号处理中最基本的一种处理。本节介绍几种常见的滤波器。214.3.1匹配滤波器匹配滤波器就是这样一种最佳线性滤波器，在输入为确知信号加噪声的情况下，所得输出信噪比达到最大。匹配滤波器是许多最佳检测系统的基本组成部分，其在最佳信号参量估计、信号分辨、某些信号波形的产生和压缩等方面起重要作用。22匹配滤波器：指滤波器的性能与信号的特性取得某种一致，使滤波器输出端的信号瞬时功率与噪声平均功率的比值最大。即当信号与噪声同时进入滤波器时，它使信号成分在某一瞬间出现尖峰值，而噪声成分受到抑制。定义23依据：滤波器使信号平方与噪声功率之比达到最大值。匹配滤波器的约束关系其冲激响应为2425由于得所以264.3.1匹配滤波器当加性噪声不同时，讨论2种情形时的最优滤波：1.白噪声情况下的最优滤波

——匹配滤波器白噪声具有零均值和单位方差，其功率谱密度，当滤波器达到最大信噪比时，滤波器的幅频特性与信号的幅频特性相等，或者说二者相“匹配”。因此，常将白噪声情况下使信噪比最大的线性滤波器称为匹配滤波器。274.3.1匹配滤波器2.有色噪声情况下的最优滤波

——广义匹配滤波器工作原理如下图所示：284.3.2数字滤波器数字滤波器通常是指用一种算法或者数字设备实现的、一种线性时不变离散时间系统，以完成对信号进行滤波处理的任务。其基本工作原理是利用离散系统特性在改变输入数字信号的波形或频谱，使有用信号频率分量通过，抑制无用信号频率分量输出。29这里主要讨论经典滤波器的设计。按功能划分经典滤波器又可分为低通、高通、带通、带阻四种滤波器

理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性30经典滤波器设计从实现方法上分为IIR滤波器和FIR滤波器。它是一个线性时不变离散时间系统，如果滤波器用单位脉冲响应序列h(n)

表示，其输入x(n)

与输出y(n)

之间的关系可以表示为：

h(n)

的Z变换称为系统函数。4.3.2数字滤波器31经典数字滤波器按照单位取样响应h(n)的时域特性可分为无限冲激响应(IIR，InfiniteImpulseResponse)系统和有限冲激响应(FIR，FiniteImpulseResponse)系统。如果单位取样响应是时宽无限的h(n)，则称之为IIR系统；而如果单位取样响应是时宽有限的h(n)，，则称之为FIR系统。

4.3.2数字滤波器32IIR滤波器和FIR滤波器的系统函数分别：4.3.2数字滤波器33(1)按照实际任务的要求，确定滤波器的性能指标。(2)用一个因果、稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这一性能指标。根据不同的要求可以用IIR系统函数，也可以用FIR系统函数去逼近。(3)利用有限精度算法实现系统函数，包括结构选择、字长选择等。4.3.2数字滤波器344.3.2数字滤波器

1.IIR数字滤波器:

①从模拟低通滤波器设计数字滤波器

IIR滤波器以模拟低通滤波器为基础的设计方法，为了设计其他的选频滤波器（高通，带通，带阻等），需要对低通滤波器进行频率转换，在设计过程中有两种不同的变换,频带变换和模拟/数字变换。根据这两种变换的先后次序，引出两种设计方法。

354.3.2数字滤波器②IIR数字滤波器设计1)按一定的规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标。

2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器G(s)。3)再按一定的规则将G(s)转换成H(z)。若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束，若所设计是高通、带通或带阻滤波器，那么还需进行以下步骤。4)将高通、带通或带阻数字滤波器的技术指标先转换为低通模拟滤波器的技术指标，然后按照上述步骤②设计出低通G(s)，再将G(s)转换为所需的H(z)。

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2. FIR数字滤波器根据FIR滤波器的幅频特性，可以将其分为以下4种情况其中h(n)为FIR滤波器的冲激响应h(n)为偶对称，且N为奇数(Ⅰ型滤波器)

h(n)为偶对称，且N为偶数(Ⅱ型滤波器)h(n)为奇对称，且N为奇数(Ⅲ型滤波器)

h(n)为奇对称，且N为奇数(Ⅲ型滤波器)

4.3.2数字滤波器374.3.2数字滤波器窗函数旁瓣峰值（dB）主瓣宽度最小阻带衰减（dB）矩形窗-13-21汉宁窗-32-44海明窗-42-53布莱克曼窗-57-744种窗函数的数据①窗口法38窗函数设计FIR数字滤波器是从时域出发，把理想的滤波器的单位取样响应hd(n)用合适的窗函数截短成为有限长度的h(n)，并使h(n)逼近理想的hd

(n)，以实现所设计的滤波器的频率响应Hd

(ejω)逼近于理想滤波器的频率响应Hd

(ejω)。4.3.2数字滤波器39②频率采样法然后，就可求出单位脉冲响应h(n)，或是系统函数H(z)。这样，h(n)或是H(z)就是滤波器的设计结果。频率采样法就是根据频域采样理论，由滤波特性指标构造希望逼近的滤波器频响函数Hd(ejω)，对其在[0,2π]上采样得到:40频率取样设计法的流程：41频率采样法的优点是可以在频域直接设计，并且适合最优化设计;缺点是采样频率只能等于2π/N的整数倍，因而不能确保截止频率ωc的自由取值，要想实现自由地选择截止频率，必须增加采样点数N，但这又使计算量加大。423.FIR滤波器和IIR滤波器的比较性能IIR滤波器FIR滤波器阶数少选择性好阶数差相位非线性效率高选择性差线性相位效率低结构递归型可能不稳定非递归始终稳定设计借助模拟滤波器的成果设计计算的工作量比较小对计算工具的要求不高只有计算程序可循对计算工具要求较高设计计算的工作量较大定常数特性的滤波器应用任意幅度特性的滤波器434、数字滤波器的应用

1)信号消噪滤波技术是信号消噪的基本方法。根据噪声频率分量的不同，可选用具有不同滤波特性的滤波器。当噪声的频率高于信号的频率时，应选用低通滤波器；反之，选用高通滤波器。当噪声的频率低于和高于信号的频率时，应选用带通滤波器。当噪声的频率处于信号的频率范围时，应选用带阻滤波器。对FIR滤波器，滤波器设计的结果是它的单位脉冲响应h(n)，含噪信号x(n)经过滤波器的输出y(n)为44对IIR滤波器，滤波器设计的结果是它的系统函数H(z)（即它的分子、分母多项式的系数b,a）。含噪信号x(n)经过滤波器的输出y(n)为H(z)对应的差分方程的解。即上面两式是利用滤波器在时域中消噪，也可利用FFT在频域中消噪。452）不同频带信号的分离在信号处理中，常遇到需要分离信号的不同频带分量，这可以利用滤波器来完成。例如，通讯中的子带编码，“子带”就是指不同频带。子带编码首先需要将信号按不同频带分离，然后根据不同频带分量特点设置比特数。

例

设信号x(n)是两个不同频率（50Hz和400Hz）的正弦波叠加，如图（a）。试将两分量分离。解利用双线性变换法设计IIR型低通、高通滤波器，如图（b）、(c)，信号x(n)分别经过低通、高通滤波器输出如图

(d)、(e)。可见两个不同频率的正弦波已完全分离。46图7-21信号分离47背景介绍：Kalman，匈牙利数学家。卡尔曼滤波器源于他的博士论文和1960年发表的论文《ANewApproachtoLinearFilteringandPredictionProblems》（线性滤波与预测问题的新方法）。4.3.3Kalman滤波器48

1.状态估计原理

状态估计是卡尔曼滤波的重要组成部分。一般来说，根据观测数据对随机量进行定量推断就是估计问题，特别是对动态行为的状态估计，它能实现实时运行状态的估计和预测功能。

状态估计所应用的方法属于统计学中的估计理论。最常用的是最小二乘估计，线性最小方差估计、最小方差估计、递推最小二乘估计等。其他如风险准则的贝叶斯估计、最大似然估计、随机逼近等方法也都有应用。49最优估计的基本概念什么是估计？待求系统状态测量得出的数据测量噪声X(t)的估计是Z(t)的函数,若为线性函数,则解算称作X(t)的线性估计50受噪声干扰的状态量是个随机量，不可能测得精确值，但可对它进行一系列观测，并依据一组观测值，按某种统计观点对它进行估计。使估计值尽可能准确地接近真实值，这就是最优估计。真实值与估计值之差称为估计误差。若估计值的数学期望与真实值相等，这种估计称为无偏估计。

卡尔曼提出的递推最优估计理论，采用状态空间描述法，在算法采用递推形式，卡尔曼滤波能处理多维和非平稳的随机过程。

卡尔曼滤波理论的提出，克服了威纳滤波理论的局限性使其在工程上得到了广泛的应用，尤其在控制、制导、导航、通讯等现代工程方面。

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2．为什么要用状态估计理论

在许多实际问题中，由于随机过程的存在，常常不能直接获得系统的状态参数，需要从夹杂着随机干扰的观测信号中分离出系统的状态参数。例如，飞机在飞行过程中所处的位置、速度等状态参数需要通过雷达或其它测量装置进行观测，而雷达等测量装置也存在随机干扰，因此在观测到飞机的位置、速度等信号中就夹杂着随机干扰，要想正确地得到飞机的状态参数是不可能的，只能根据观测到的信号来估计和预测飞机的状态，这就是估计问题。52

从观测到的信号中估计出状态的估值，并且希望估值与状态的真值的差越小越好，即要求有：

成立；

因此存在最优估计问题，这就是卡尔曼滤波。

卡尔曼滤波的最优估计需满足以下三个条件：

·无偏性，即估计值的均值等于状态的真值；

·估计的方差最小；

·实时性。53什么是预测？什么是平滑？tt0t1当t=t1时,称为X(t)的估计；设在[t0，t1]时间段内量测为Z，待求状态为当t>t1时,称为X(t)的预测；当t<t1时,称为X(t)的平滑。Z计算54

3．经典控制理论与现代控制理论

经典控制理论只适应与单输入—单输出的线性定常系统，研究方法是传递函数。传递函数在本质上是一种频率法，要靠各个频率分量描述信号。因此，频率法限制了系统对整个过程在时间域内进行控制的能力，所以经典控制理论很难实现实时控制。同时，经典控制理论也很难实现最优控制。55现代控制理论是建立在状态空间基础上的，它不用传递函数，而是用状态向量方程作为基本工具，因此可以用来分析多输入—多输出、非线性以及时变复杂系统的研究。现代控制理论本质上是时域法，信号的描述和传递都是在时间域进行，所以现代控制理论具有实现实时控制的能力。由于采用了状态空间法，现代控制理论有利于设计人员根据给定的性能指标设计出最优的控制系统。

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4.什么是卡尔曼滤波：

卡尔曼滤波是以最小均方误差为估计的最佳准则，来寻求一套递推估计的算法，其基本思想是：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新对状态变量的估计，求出现在时刻的估计值。它适合于实时处理和计算机运算。

卡尔曼滤波的实质是由量测值重构系统的状态向量。它以“预测—实测—修正”的顺序递推，根据系统的量测值来消除随机干扰，再现系统的状态，或根据系统的量测值从被污染的系统中恢复系统的本来面目。

57某一指标函数最小达到则所得估计为最优估计！最小方差估计最小方差估计的估计准则是估计的均方误差最小，即：系统的n维随机向量Z是m维随机量测向量利用Z计算得到的X的最小方差估值估计的误差估计均方差阵根据其他方法用Z计算得到的X的估值最小方差估计的误差小于等于其他估计的均方误差!58最小方差估计估计的均方误差就是估计误差的方差，即：最小方差估计具有无偏性质，即它的估计误差（亦可用表示）的均值为零。即：因此，最小方差估计不但使估值的均方误差最小，而且这种最小的均方误差就是估计的误差方差59线性最小方差估计如果将估值规定为量测矢量Z的线性函数，即式中A和b分别是（n×m）阶和n维的矩阵和矢量。这样的估计方法称为线性最小方差估计。可证明，这种估计只需要被估计值X和量测值Z的一、二阶统计特性，所以，它比最小方差估计较为实用。

ÙX60递推线性最小方差估计

——卡尔曼滤波卡尔曼滤波的准则与线性最小方差估计相同估值同样是量测值的线性函数只要包括初始值在内的滤波器初值选择正确，它的估值也是无偏的

计算方法——递推形式61递推线性最小方差估计根据k-1时刻以前所有的量测值得到X（k）也可以说是综合利用k时刻以前的所有量测值得到的一次仅处理一个量测量计算量大大减小主要适用于线性动态系统！在k时刻以前估值的基础上，根据k时刻的量测值Zk,递推得到k时刻的状态估计值

：)(ˆtX625.软件实现：线性动态离散时间系统的信号流图表示过程方程观测方程634.3.3Kalman滤波器新息过程为了求解卡尔曼滤波问题，这里将应用基于新息过程（innovationsprocess）的方法。给定观测值，求观测向量y(n)的最小二乘估计，记作：

所对应的新息过程定义为：其中向量表示观测数据y(n)中新的信息，简称新息。64利用新息过程进行状态估计状态向量的一步预测的最小均方估计：卡尔曼增益的实际计算公式如下：其中状态向量预测误差的相关矩阵的递推公式为：式中65

5.卡尔曼滤波器的应用

卡尔曼滤波器最初是专为飞行器导航而研发的，目前已成功应用在許多领域