高水平数学说课“说”什么

高水平数学说课“说”什么

—我的观点

2017.8.21

课堂观摩关注教师在课堂上“做”了什么．至于为什么这样做，大多有赖于听课教师自己的揣摩．

说课，就是把“说”放在“做”之前（也有在“做”之后的），由教师自己说出关于教学内容的思考、分析和课堂设想，提供同行之间相互启发、借鉴和讨论的机会．高水平数学说课“说”什么

数学教学是关于数学的教学，好的教学效果源于教师对数学科学和教学内容的深刻理解与把握．因此，要说“数学理解”；数学教学是以数学的知识、方法和思想育人的教学，把数学的学术价值转化为教学价值是体现教师作用的重要方面．因此，要说“教学价值”；

数学以抽象著称，数学教学的有效性建立在教师对学生知识经验的了解和分析的基础上．因此，要说“学生基础”；

教师对数学内容的理解、教学价值的确定、学生基础的分析，都要反映在教学设计中．因此，要说“课堂落实”．1说“数学理解”——静态的和动态的，动态为主数学的三种形态：原始形态、学术形态和教育形态．原始形态的数学是形成中的数学，充满着困惑、挫折和弯路，当然也有成功．相当于一个人站在数学家身边时亲眼看到的数学．学术形态的数学是反映数学研究结果的数学，形式化得厉害．相当于论文形式的数学，是原始形态的数学的精简版．教育形态的数学是基于育人的数学，介于前两者之间．

一方面，教育形态的数学要展现数学动态、发展的一面，一定程度上还原知识创造的思维过程，给予学习者探索和发现新知识的方法启示．

另一方面，要展现静态和稳定的性状，反映空间形式和数量关系的规律，提供学习者分析和解决数学问题的依据和模型．前者围绕数学知识（包括数学概念、性质、定理和法则等）的产生过程，解说逻辑背后的驱动力量．包括：研究问题是怎么提出来的？思考内容的核心是什么？数学思想方法在分析和解决问题中发挥了怎样的作用？反映了数学的什么特点和要求？等．后者围绕数学内容的形态结构，述说知识的意义价值．包括：数学知识的本质是什么？它在数学体系中的地位、作用和影响如何？等．说“数学理解”，就是从数学科学的角度阐述自己对教材内容的理解，包括说“动态的数学理解”和说“静态的数学理解”．解读1

路线1的关键词是“联想思维”．先具体化和特殊化，后续由猜想和验证跟进．反映的是“抽象→具体→抽象”、“一般→特殊→一般”的思考过程，感性思维(猜想)与理性活动(验证)交相辉映，在数学发现中有典型意义．解读2(知识的意义认识，静态理解)2说“教学价值”——近期的和长远的，长远为主说“教学价值”，就是基于前面的数学理解，对照数学教育目标，阐述说课者对教材内容的教学意义的理解，具体包括说“教学的近期价值”和说“教学的长远价值”．

说“教学的近期价值”，即分析通过教学活动，学生马上或很快有哪些收获，能够做哪些事．如，知晓某数学概念的涵义，学会某一数学技能，会操作某一数学方法，能够解决与教材内容相关的基本数学问题等；

说“教学的长远价值”，即思考教学对学生后续发展的积极影响．如，进一步领悟某数学思想的精髓，帮助形成某些数学观念，提高数学创造中某些阶段的水平，帮助学生成为一个有数学眼光、善于数学思考的人等．

教学价值的表达是析取动态数学和静态数学的育人因素的结果，是比教学目标上位的东西，是理论联系实践的“枢纽”．事实上，教学目标是基于数学教学内容的教学价值的认识，结合数学教育目标确定的．教学的近期价值和长远价值并非绝对的．从知识技能到方法思想，再到数学观念，乃至哲学观念，是一个连续发展、潜移默化的过程．

教学的近期价值体现了数学教学的基础性要求，但教育是指向学生未来发展的事业，数学教育需要长远的目光，因此，着眼于教学内容的长远价值，做到以近期价值促长远价值，具有重要的意义．3说“学生基础”——知识的和经验的，经验为主

美国著名教育心理学家奥苏泊尔指出，“……影响学习最重要的因素是学习者已经知道了什么，我们应当根据学生原有的知识状况去进行教学．”

就数学教学而言，这里的知识状况应该作广义的理解，它包括数学知识(数学概念及其定义、性质，法则，定理等)，也包括数学经验(数学思考的策略和方法)．说“学生基础”，指的是说围绕学习任务的学生基础，

首先，分析完成学习新任务需要的知识，和学生原有的知识（学生自己能感知，容易测试，与情境无关，学生个体差异不大，不妨称为“显性基础”）；

其次，分析完成学习新任务需要的经验和学生原有的经验（与具体情境相关，不容易测得，个体差异较大，不妨称为“隐性基础”）．

从学生的学习经历和思维水平、思维特点出发，可以将学生的原有经验大致分为：与需要的经验充分一致的经验（第一层次）；在教师的启发下可以达到需要的经验的经验（第二层次）；在教师的指导下不容易达到需要的经验的经验（第三层次）．实际教学中，学生的原有经验常处于第二、三层次．这既与学生的智力水平发展的局限性有关，也与数学本身的特点（特别是高度的抽象性）有关，后者是主要的．

用瑞士心理学家皮亚杰的认知发展理论来说，在数学学习中，同化的情况少，顺应的情况多．也就是说，在学生的数学学习中，原有经验往往不能直接和有效地解决面临的任务，需要调整原有认知结构或行为模式，创立新的图式．自然地，这对教师的工作提出了挑战．知识基础：等比数列的定义、通项公式及其性质；多项式乘多项式法则（学生的知识基础与需要的知识基础基本一致）．经验基础：第一层次：整体思想和方程思想的运用（借鉴“倒序相加法”求等差数列的和），抽象化具体（降低抽象度，显化量之间的联系）．第二层次：从数学概念的定义出发思考问题的意识（学生习惯于数学概念的性质运用）；对静态的数学知识意义加以分析的习惯和能力（不善于从运动变化的哲学视角看待知识）；第三层次：联想思维的运用（从结构特点出发），对数学思想方法内在机制分析和理解的自觉（习惯于形式模仿，机械套用知识和解题模式），理性思维及其精神（思维受挫后容易否定一切而另起炉灶，缺乏反思能力）．4说“课堂落实”——行为的和思维的，思维为主说一千，道一万，课堂效果是教学的根．教师对教学内容的数学理解、对数学内容的教学价值分析和对学生知识经验的把握，应有机融入教学设计．

为此，教师首先需要厘清自己的责任和学生的责任，做到积极有为（有些东西光靠学生达不到应有的高度，一定要老师去把他拽一拽)，但不越位(什么时机拽，怎么拽法，考验着教师的专业素养)．说“课堂落实”，就是阐述数学教师的课堂职责落实，具体表现为以下三个方面：一说“问题的提出”．创设情境(现实情境、数学情境、科学情境)，和学生一道挖掘促使概念或原理产生的实质性问题．二说“思维的引导”．指的是设计恰时恰点的提问，包括设问、追问和反问，以让学生想得更全面、更清晰、更深刻．设问是主动启发和引导学生思考的基本形式，有很强的目的性．追问是促使学生思考深入的方法，反问则有助于学生批判性思维的发展，常常伴随进一步的说理或举例，后两者本质上属于提示语．

波利亚《在数学的发现》一书中精辟地指出，“可能任何类型的思维守则都在于掌握和恰当地运用一系列合适的提问”．“三问”应具有数学方法论意义（如用数学概念驱动思维，从概念内涵的解读中产生数学方法），反映数学的基本思想(平时润物细无声的渗透，远比强化训练更有效果)．三说“反思的内涵”．指导学生的反思和评价活动，使学生积累宝贵的数学活动经验(减轻学生的认知负担，间接推动学生付出更多的努力)．学生的学习活动大致上可以区分为“行为活动”和“思维活动”．

前者指外显的运算操作和推理表达，后者指内隐的心智活动．在数学活动中，两者往往相辅相承，互为促进．思维依赖外显的行为而深入，行为受内隐的思维驱动，它们纠缠在一块，可谓“我中有你，你中有我”．数学问题的解决就是在行为活动和思维活动的辩证运动中实现的．

在课堂教学的各个环节，学生的活动是以行为活动为主还是以思维活动为主，教师要心中有数，并采取对应的策略(如善于等待，及时反馈).第一步,提出研究问题.

借用教材情境引出等比数列求和问题(富有趣味性,也体现对教材的尊重).问:你还能提出来自生活的等比数列求和问题吗?(如教育储蓄、国内生产总值的计算等).事实上,从数学内部来看,也有探索等比数列求和公式的必要.联系等差数列求和公式的学习，我们感觉公式的探求将大大简化等比数列的求和计算.另一方面,探索等比数列求和实际上也是研究等比数列性质的一次努力,我们必将从公式的结构特征分析中获得关于等比数列的新认识.(先行组织者.涉及数学观的影响、探索意义的认识、把握数学知识的方法)第二步,初步分析问题第三步,探索解决问题

学习启示：类比探索，求同存异.（推理和类比这些东西教材没明确写出，要学生在教师指导下慢慢地去悟）反思：与等差数列求和公式的推导比较，它们有什么共同点和不同点？(共同点：方程思想，整体思想，从已知等式产生另一等式.不同点：“性质应用”与“定义运用”，“倒序”与“两边同乘一个数”，“两式相加”与“两式相减”，“无须讨论”与“需要讨论”.结论：战略思想相同，战术方法有异.设问2：还有其它的推导方法吗？第四步,初步理解知识应用基础上的必要拓展,使学生感觉到拓展的需要，深化学生对等比数列及其求和的认识.第五步,应用拓展知识数学说课是提升数学教师专业素养的重要途径和方式．反映数学内容的本质，反映数学教育的追求，反映学生思维的特点和规律，反映数学学科的教学方法，是高水平数学说课的重要保证．集数学研究者、教育理论者、心理分析者和教学实践者等多重角色于一身，数学说课者浑身散发着成熟和睿智的气息，必将把数学教育科学与数学课堂艺术的融合推进到一个新的高度．结束语参考