数学-难点特训（二）和正方形有关的压轴大题（原卷版）

难点特训（二）和正方形有关的压轴大题1．如图，正方形边长为4，点E在边上（点E与点A、B不重合），过点A作，垂足为G，与边相交于点F．(1)求证：；(2)若的面积为，求的长；(3)在（2）的条件下，取的中点M，N，连接，求的长．2．正方形中，，分别为，上一点，，，交于点，为的中点．(1)求证：≌；(2)求证：；(3)求证：3．如图，在正方形ABCD中，点M在CD边上，点N在正方形ABCD外部，且满足，，连接AN，CN，取AN的中点E，连接BE，AC，交于F点．(1)依题意补全图形；

(2)求的度数；(3)设，若点M沿着线段CD从点C运动到点D，则在该运动过程中，线段EN所扫过的面积为多少？4．如图，在正方形OABC中，边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，4），点D在线段OA上，以点D为直角顶点，BD为直角边作等腰直角三角形BDE，BE交y轴于点F．(1)当时，求点E到x轴的距离；(2)连接DF，当点D在线段OA上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长；(3)连接CE，当点D在线段OA上运动时，求CE的最小值．5．已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点，过点P作PE⊥PB，PE交射线DC于点E，过点E作EF垂直AC所在的直线，垂足为点F．（1）如图，当E点在线段DC上时，求证：PB＝PE；（2）在点P的运动过程中，△PEC能否为等腰三角形？如果能，直接写出此时AP的长，如果不能，说明理由；（3）在点P的运动过程中，AP、PF、FC的长度是否满足某种数量关系？若满足，试写出解答过程；若不满足，试说明理由．6．如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O．（1）如图1，设E、F分别是AD、AB上的点，且∠EOF＝90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF＝45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明．

7．如图1，已知四边形ABCD是正方形，E是对角线BD上的一点，连接AE，CE．（1）求证：AE＝CE；（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；（3）在（2）的条件下，若OE＝，求CE的长．8．已知正方形，点在对角线上，交于，交于，，垂足为点，求证：(1)；(2)；(3)．9．如图，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到．延长交于点，连接．（1）四边形的形状是．

（2）如图，若，猜想线段与的数量关系并加以证明；（3）如图，若，，则的长度为．（请直接写出答案）10．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AB的延长线上，且PC＝PE．(1)求证：PA＝PE；(2)求证：AE＝DP；(3)若已知正方形的边长为2，求CP+BP的最小值．11．在正方形ABCD中，E是CD边上任意一点，连接AE．∠EAF＝45°，AE所在的直线与BC交于点F，连接EF．

(1)以A为圆心，AE为半径作圆，交CB的延长线于点G，连接AG（如图1）．求证：BF+DE＝EF；(2)点E在DC边上移动，当EC＝CF时，直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N（如图2）,直接写出EF、MF、NE的数量关系：________________．12．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．（1）探究PG与PC的位置关系及的值；（写出结论，不需要证明）（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFC换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC＝∠BEF＝60°，探究PG与PC的位置关系及的值．写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转．使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变，你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．13．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．(1)如图1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF；(2)如图2，若DE＝CF．试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？并证明你的结论；(3)如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，若∠FCD＝15°，求的值．14．如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．

（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是；②直线DG与直线BE之间的位置关系是．（2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE．（3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）15．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝12，P为线段AB上一动点．将△BPC沿PC翻折至△EPC，延长CE交射线AD于点D．（1）如图1，当P为AB的中点时，求出AD的长；（2）如图2，延长PE交AD于点F，连接CF，求证：∠PCF＝45°；（3）如图3，∠MON＝45°，在∠MON内部有一点Q，且OQ＝8，过点Q作OQ的垂线GH分别交OM、ON于G、H两点．当QG＝2时，求QH的值．16．定义，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．概念理解：如图②，在四边形ABCD中，如果AB=AD，CB=CD，那么四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．性质探究：如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB、CD与BC、AD之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明．问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE．若AC=2，AB=5，则①求证：△AGB≌△ACE；

②GE=．17．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）18．已知：正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在的直线上，且随着点P的运动而运动，PE=PD总成立．（1）如图1，当点P在对角线AC上时，