2021-2022学年高中数学北师大版练习考点综合提升练2

考点综合·提升练2一、选择题(每小题5分，共30分，在每小题给出的选项中，只有一个正确选项)1．(2020·丹东高一检测)已知p：x＝－5，q：x2＋2x－15＝0，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】选A.因为(x－3)(x＋5)＝0，所以x＝3或x＝－5.由x＝－5可以推出(x－3)(x＋5)＝0；反之，不成立．2．“x>1”是“x>2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】选B.由x>1推不出x>2，反之，由x>2可以推出x>1所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条件．【变式备选】已知x，y∈R，则“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】选A.若x2＋y2＝0，则x＝y＝0，则xy＝0，若xy＝0，取x＝0，y＝1，此时x2＋y2＝1≠0，故“x2＋y2＝0”是“xy＝0”的充分不必要条件．Ｋ3．“x<y”是“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】选D.取特殊值代入，当x＝－4，y＝0时，满足x<y但eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))>eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))，所以不充分；当x＝1，y＝－2时，满足eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))，但x>y，所以不必要；故“x<y”是“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))<eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y))”的既不充分也不必要条件．【变式备选】(2020·衡水高一检测)已知a>0，b>0，则“ab>1”是“a＋b>2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】选A.已知a>0，b>0.充分性：若ab>1，因为a2＋b2≥2ab，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))2≥4ab，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))2>4，所以a＋b>2；必要性：若a＋b>2，则当a＝3，b＝eq\f(1,3)时，ab＝1，所以必要性不成立；因此“ab>1”是“a＋b>2”的充分不必要条件．Ｋ4．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2＜0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0B．存在xR，x3－x2＋2≥0C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0D．存在x∈R，x3－x2＋2＜0【解析】选C.命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2＜0”是全称量词命题，否定时将量词对任意的实数x∈R变为存在x∈R，再将不等号＜变为≥即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.5．“a＜0”是“方程ax2＋1＝0至少有一个负根”的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】选C.当a<0时，方程ax2＋1＝0，即x2＝－eq\f(1,a)，故此一元二次方程有一个正根和一个负根，符合题意；当方程ax2＋1＝0至少有一个负根时，a不可以为0，从而x2＝－eq\f(1,a)，所以a<0，由上述推理可知，“a<0”是方程“ax2＋1＝0至少有一个负根”的充要条件．6．已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是()A．a<1 B．a≤1C．a>1 D．a≥1【解析】选D.因为p为假命题，所以p为真命题，即：∀x＞0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，则a≥1.所以a的取值范围是a≥1.二、选择题(每小题5分，共10分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)7．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是()A．r是q的充要条件B．p是q的充分不必要条件C．r是q的必要不充分条件D．r是s的充分不必要条件【解析】选AB.依题意p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，即pr⇔q⇔s，所以r是q的充要条件，A选项正确．p是q的充分不必要条件，B选项正确．r是q的充要条件，C选项错误．r是s的充要条件，D选项错误．8．下列命题中，是真命题的是()A．a－b＝0的充要条件是eq\f(a,b)＝1B．a>1，b>1是ab>1的充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2＋x＋1≥0”D．命题“∀x∈R，x2＋x＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1＝0”【解析】选BCD.A.当b＝0时，eq\f(a,b)＝1不成立，故不充分；由eq\f(a,b)＝1可推出a－b＝0，故必要，故错误；B.由不等式的基本性质知a>1，b>1可推出ab>1，故充分，故正确；C．存在量词命题的否定是全称量词命题，故正确；D．全称量词命题的否定是存在量词命题，故正确．三、填空题(每小题5分，共20分)9．命题p：“∀x∈R，x2＋x＞0”，则p：________．【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＋x＞0”的否定是“∃x∈R，x2＋x≤0”．答案：∃x∈R，x2＋x≤010．设p：x<2，q：x<a，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．【解析】因为p是q的必要不充分条件，所以{x|x<a}是{x|x<2}的真子集，即a<2.答案：a<211．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的____．(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的__________．【解析】(1)当ac<0时，Δ＝b2－4ac>0，此时ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根；当ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根时，Δ＝b2－4ac≥0，推不出ac<0，比如b＝2，a＝c＝1时，满足Δ＝b2－4ac≥0，但是ac>0，所以“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的必要不充分条件．(2)三角形全等能推出三角形相似，但是三角形相似推不出三角形全等，所以“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的充分不必要条件．答案：(1)必要条件(2)充分条件12．若命题“∃x∈R，x2－2x－a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是________．【解析】命题“∃x∈R，x2－2x－a≤0”为假命题，故x2－2x－a>0恒成立．Δ＝4＋4a<0，故a<－1.答案：a<－1【变式备选】若命题“∀x∈R，x2＋x＋a－1≠0”是假命题，则实数a的取值范围为________．【解析】因为命题“∀x∈R，x2＋x＋a－1≠0”为假命题，所以∃x∈R，x2＋x＋a－1＝0即为真命题，所以Δ＝12－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－1))≥0，解得a≤eq\f(5,4).答案：a≤eq\f(5,4)Ｋ四、解答题(每小题10分，共40分)13．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．【解析】(1)p：x2>0则x>0，或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(2)q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．14．求证：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b＝0.【证明】①充分性：如果b＝0，那么y＝kx.当x＝0时，y＝0，所以一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过坐标原点．②必要性：因为一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过坐标原点，所以当x＝0时，y＝0，即k×0＋b＝0，所以b＝0.综上，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过坐标原点的充要条件是b＝0.15．设集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－3x＋2＝0))，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|ax＝1))，若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，试求满足条件的实数a组成的集合．【解析】因为A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x2－3x＋2＝0))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，2))，由于“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件．所以BA.当B＝∅时，得a＝0；当B≠∅时，由题意得B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1))或B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2)).当B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1))时，得a＝1；当B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2))时，得a＝eq\f(1,2).综上所述，实数a组成的集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，1，\f(1,2))).16．请在①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数m存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．已知集合A＝{x|－2≤x≤6}．B＝{x|1－m≤x≤1＋m}，其中m>0.若x∈A是x∈B成立的________条件，判断实数m是否存在？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解析】若选择条件①，即x∈A是x∈B成立的充分不必要条件，集合A是集合B的真子集，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2,1＋m≥6))，解得m≥5，所以，实数m的取值范围是m≥5.若选择条件②，即x∈A是x∈B成立的必要不充分条件，集合B是集合A的真子集，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2,1＋m≤6))，又因为m>0，解得0<m≤3，所以，实数m的取值范围是0<m≤3.若选择条件③，即x∈A是x∈B成立的充要条件，则集合A等于集合B，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2,1＋m＝6))，方程组无解，所以，不存在满足条件的实数m.【变式备选】已知P＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－2<x<10))))，S＝{x|1－m<x<1＋m}．是否存在实数m，使得x∈P是x∈S的充要条件？若