几何中的类比探究讲义及答案

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页几何中的类比探索（讲义）知识点睛类比探索是一类个性条件与异常条件相结合，由异常情形到普通情形（或由容易情形到复杂情形）逐步深入，解决思想主意一脉相承的综合性题目，常以几何综合题为主．解决类比探索问题的普通主意：（1）按照题干条件，结合先解决第一问；（2）用解决_____________的主意类比解决下一问，倘若不能，_______________起来分析，找出不能类比缘故和不变特征，根据_______________，探索新的主意．二、精讲精练类比、转化、从异常到普通等思想主意，在数学学习和研究中常常用到，如下是一个案例，请补充残破．原题：如图1，在□ABCD中，点E是BC边的中点，点F是线段AE上一点，BF的延伸线交射线CD于点G，若，求的值．（1）尝试探索：在图1中，过点E作EH∥AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_______，CG和EH的数量关系是________，的值是．（2）则的值是（用含m的代数式表示），试写出解答过程．（3）拓展迁移：如图3，在梯形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的延伸线上一点，AE和BD相交于点F．若，（a＞0，b＞0），则的值是（用含a、b的代数式表示）．（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延伸AF交CD于点G．预测线段GF与GC有何数量关系，并证实你的结论．（2）类比探索：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？请说明理由．如图1，在△ABC中，∠ACB=，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，AC=mBC，CE=nEA(m，n为实数).试探索线段EF与EG的数量关系．（1）如图2，当m=1，n=1时，求EF与EG的数量关系.（2）如图3，当m=1，n为随意实数时，求EF与EG的数量关系．（3）如图1，当m，n均为随意实数时，求EF与EG的数量关系．（1）问题探索如图1，分离以△ABC的边AC与边BC为边，向△ABC外作正方形ACD1E1和正方形BCD2E2，过点C作直线KH交直线AB于点H，使∠AHK=∠ACD1，作D1M⊥KH，D2N⊥KH，垂足分离为点M，N，试探索线段D1M与线段D2N的数量关系，并加以证实．（2）拓展延伸①如图2，若将“问题探索”中的“正方形”改为“正三角形”，过点C作直线K1H1，K2H2，分离交为点M，N．D1M=D2N是否仍成立？若成立，给出证实；若不成立，说明理由．②如图3，若将①中的“正三角形”改为“正五边形”，其他条件不变，D1M=D2N是否仍成立？（要求：在图3中补全图形，注明字母，直接写出结论，不需证实）（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作□PCQD，请问对角线PQ、DC的长能否相等，为什么？（2）如图2，若P为AB边上一点，以PD、PC为边作□PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？倘若存在，哀求出最小值；倘若不存在，请说明理由．（3）若P为AB边上随意一点，延伸PD到E，使DE＝PD，再以PE、PC为边作□PCQE，请探索对角线PQ的长是否也存在最小值．倘若存在，哀求出最小值；倘若不存在，请说明理由．（4）如图3，若P为直线DC上随意一点，延伸PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE、PB为边作□PBQE，请探索对角线PQ的长是否也存在最小值．倘若存在，哀求出最小值；倘若不存在，请说明理由．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝2∠BCD＝2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A．（1）∠BEF=__________________（用含α的代数式表示）；（2）当AB＝AD时，预测线段EB、EF的数量关系，并证实你的预测；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延伸线上，且AE＞AB，AB＝mDE，AD＝nDE”，其他条件不变（如图2），求的值（用含m、n的代数式表示）．三、回顾与思量__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【参考答案】知识点睛2．（1）分支条件（2）上一问，两问结合，不变特征二、精讲精练2．（1）GF=GC（2）依然成立，理由略.3．（1）EG=EF（2）EG=nEF（3）EG=mnEF4．（1）D1M=D2N（2）依然成立，证实略（3）D1