第5章-弯曲应力

1第

5章弯曲应力

对称弯曲正应力

对称弯曲切应力

梁的强度分析与设计

非对称弯曲应力

弯拉(压)组合问题本章主要研究：2§1

对称弯曲正应力

§2

惯性矩与平行轴定理§3对称弯曲切应力§4梁的强度条件与合理强度设计§5双对称截面梁的非对称弯曲§6弯拉(压)组合§7惯性积与主惯性矩§8

一般非对称弯曲应力§9

剪心概念3§1

对称弯曲正应力

引言

弯曲试验与假设

对称弯曲正应力公式

例题4

引言弯曲应力

弯曲正应力梁弯曲时横截面上的s

弯曲切应力梁弯曲时横截面上的t对称弯曲对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式－对称弯曲5

弯曲试验与假设弯曲试验6试验现象

横线为直线,仍与纵线正交

靠顶部纵线缩短,靠底部纵线伸长

纵线伸长区,截面宽度减小纵线缩短区,截面宽度增大弯曲假设

横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平面假设

各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设（纯弯与正弯矩作用）7推

论

梁内存在一长度不变的过渡层－中性层中性层与横截面得交线－中性轴

横截面间绕中性轴相对转动

中性轴⊥截面纵向对称轴8

对称弯曲正应力公式公式的建立几何方面:物理方面:静力学方面:9(a)

(b)中性轴通过横截面形心(a)

(c)(d)

(a)－抗弯截面系数(d)－惯性矩

10结论中性轴过截面形心

中性轴位置：

正应力公式：

中性层曲率：,对称弯曲,纯弯与非纯弯

应用条件：总

结假设平面假设，单向受力假设综合考虑三方面11一些易混淆的概念

对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与变形形式纯弯曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常数的受力状态

中性轴－横截面受拉与受压区的分界线形心轴－通过横截面形心的坐标轴

弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力

抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度的影响中性轴与形心轴对称弯曲与纯弯曲截面弯曲刚度与抗弯截面系数12

例题例

1-1梁用№18工字钢

制成，Me=20kN•m,E=200GPa。试计算：最大弯曲正应力smax，梁轴曲率半径r解：1.工字钢（GB706-1988）一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材№18工字钢：132.应力计算3.变形计算Me=20kN•m，E=200GPa，求

smax与r14§2

惯性矩与平行轴定理

静矩与惯性矩

简单截面惯性矩

平行轴定理

例题15

静矩与惯性矩静矩惯性矩－截面对z轴的静矩－截面对z轴的惯性矩16

简单截面惯性矩矩形截面惯性矩圆形截面惯性矩17

平行轴定理平行轴定理Cy0z0－形心直角坐标系Oyz－任意直角坐标系同理得：二者平行18

例题例

2-1已知：F=15kN,l=400mm,b=120mm,d=20mm试计算：截面

B-B的最大拉应力st,max与压应力sc,max解：1.弯矩计算2.形心位置计算由矩形

1

与矩形

2

组成的组合截面193.惯性矩计算4.最大弯曲正应力20例

2-2

已知：钢带厚

d=2mm,宽b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。试计算：带内的smax与M解：1.

问题分析

应力～变形关系：

内力～变形关系：已知钢带的变形（轴线曲率半径），求钢带应力与内力21带厚

d=2mm,宽

b=6mm,D

=

1400mm,E

=

200GPa，求smax与M2.应力计算3.

弯矩计算22§3

对称弯曲切应力

矩形截面梁的弯曲切应力

薄壁与圆形截面梁的弯曲切应力

弯曲正应力与弯曲切应力比较

例题23

矩形截面梁的弯曲切应力假设

t

(y)

//

截面侧边，并沿截面宽度均匀分布狭窄矩形截面梁(h>b)Sz(w)－面积

w

对中性轴

z

的静矩弯曲切应力公式2425截面翘曲与非纯弯推广

切应变非均布

截面翘曲（aba'b'（=，弯曲s仍保持线性分布切应力非均布

当梁上作用横向分布载荷时，只要l>

5h，纯弯s公式仍足够精确当FS=常数时，

26

薄壁与圆形截面梁的弯曲切应力工字形薄壁梁假设:t//腹板侧边,并沿其厚度均匀分布w－y下侧部分截面对中性轴

z的静矩27盒形薄壁梁w假设:

t//腹板侧边,并沿腹板厚度均布28圆形截面梁分析表明，最大弯曲切应力仍发生在中性轴上，并可近似认为沿中性轴均匀分布29

弯曲正应力与弯曲切应力比较当l>>h时，smax>>tmax30

例题例

3-1FS=15kN,Iz=8.8410-6m4,b=120mm,d=20mm,yC

=45mm。试求:tmax；腹板与翼缘交接处切应力

ta解：31解：例

3-2已知梁段剪力FS，试分析铆钉的受力32

－上翼板横截面对中性轴z的静矩M1－横截面1的弯矩M2－横截面2的弯矩33§4

梁的强度条件与合理强度设计

梁危险点处的应力状态

梁的强度条件

梁的合理强度设计

例题34

梁危险点处的应力状态实心与非薄壁截面梁a与c点处－单向应力b点处－纯剪切35薄壁截面梁c与d点处－单向应力a点处－纯剪切b点处－s与t联合作用d36

梁的强度条件

弯曲正应力强度条件：

弯曲切应力强度条件：[t]-材料纯剪切许用应力[s]-材料单向应力许用应力强度条件的应用

细长非薄壁梁

短而高梁、薄壁梁、M小FS大的梁或梁段梁的强度条件

对一般薄壁梁，还应考虑

s、t

联合作用下的强度问题（参见第8章中的强度理论）37

梁的合理设计

将较多材料放置在远离中性轴的位置，并注意塑性与脆性材料的差异上下对称塑性材料脆性材料

注重弯曲强度，兼顾腹板的剪切强度与稳定性避免剪切破坏与局部失稳合理截面形状38－弯曲等强条件等强度梁－各横截面具有同样强度的梁－剪切等强条件合理截面变化3940合理安排约束

a=?[F]最大41合理安排加载方式42

例题例

4-1简易吊车梁，F=20kN，l=6m，[s]=100MPa，[t]=60MPa，选择工字钢型号解：1.危险工作状态分析移动载荷问题432.按弯曲s条件选截面选№22a,Wz=3.09×10-4m43.校核梁的剪切强度44例

4-2铸铁梁，

y1

=45mm，y2

=95mm，[st]=35MPa，[sc]=140MPa，Iz=8.84

10-6m4，校核梁的强度解：MD－最大正弯矩MB－最大负弯矩危险截面－截面D,B45危险点－a,b,c截面D截面B46§5

双对称截面梁的非对称弯曲

弯曲正应力分析

中性轴与最大弯曲正应力

例题47

弯曲正应力分析非对称弯曲双对称截面梁非对称弯曲非对称截面梁非对称弯曲48弯曲正应力分析矢量沿坐标轴正向的弯矩M为正利用叠加法分析内力与应力弯曲正应力沿横截面线性分布49

中性轴与最大弯曲正应力中性轴为通过横截面形心的直线中性轴位置与方位中性轴的方位角为：50smax发生在离中性轴最远的各点处矩形、工字形与箱形等具有外棱角截面：最大弯曲正应力51

例题例

5-1Fy=Fz

=F=1.0kN，a=800mm，截面高

h=80mm，宽

b=40mm，[s]=160MPa，校核梁强度解：1.内力分析危险截面－截面

A522.应力分析危险点－d,f3.强度校核危险点处于单向应力状态53§6

弯拉(压)组合

弯拉(压)组合的应力

偏心压缩应力

例题54

弯拉(压)组合的应力实例弯拉组合偏心拉伸（外力平行与偏离轴线）（横向载荷＋轴向载荷）55弯拉(压）组合分析危险点处－单向应力内力－FN，Mmax56

偏心压缩应力外力向形心简化弯压组合

－中性轴与载荷作用点位于形心轴z

两侧57

例题例

6-1

F=

10

kN，l

=

2

m，e

=

l

/

10，a

=

30

，[s]

=

160

MPa，选择工字钢型号解：1.计算简图外力分解，向梁轴简化582.

内力分析3.截面型号初选选№12.6,Wz=7.75×10-4m4,A=1.81×10-3m24.校核与修改设计№12.6满足强度要求，否则修改设计按弯曲强度初步设计59例

6-2图示圆截面铸铁杆，直径为d。试证明当偏心距e

d

/

8时，横截面上无拉应力，并讨论有关概念。横截面上无拉应力的条件－中性轴与周边相切解：1.问题证明602.截面核心概念

使横截面仅受压之偏心压力作用点的集合,称为截面核心

脆性材料杆偏心承压时,外力作用点宜控制在截面核心内61§7

惯性积与主惯性矩

截面惯性积

惯性积平行轴定理

转轴公式与主惯性矩62

截面惯性积惯性积截面对

y,

z

轴的惯性积当y或z轴为截面对称轴时惯性积为代数量(为正、负或零）63试计算图示三角形截面的惯性积Iyz算例64

惯性积平行轴定理平行轴定理Cy0z0－形心直角坐标系Oyz－任意直角坐标系二者平行-C在坐标系Oyz中的坐标65算例试计算图示矩形截面的惯性积

Iyz66

转轴公式与主惯性矩转轴公式a：始边-y轴，为正67主轴与主惯性矩满足惯性积为零的坐标轴

-主轴对主轴的惯性矩

-主惯性矩通过形心的主轴－主形心轴相应惯性矩－主形心惯性矩主形心轴主形心轴68算例确定主形心轴与主形心惯性矩，h=2b69§8

一般非对称弯曲应力

一般非对称弯曲正应力

开口薄壁梁弯曲切应力

例题70

一般非对称弯曲正应力平面假设与单向受力假设假设综合考虑三方面中性轴通过截面形心

71中性轴与主形心轴z重合

(f)

(d)应用条件：;smax

spM矢量//任一主形心轴72几个概念及其间关系

对称弯曲非对称弯曲弯曲

平面弯曲（M

矢量//

主形心轴时）斜弯曲（M矢量不//

主形心轴时）－平面弯曲斜弯曲＝两个互垂平面弯曲的组合

中性轴不垂直于弯矩作用面的变形形式－斜弯曲

中性轴垂直于弯矩作用面的变形形式－平面弯曲

几个概念间的关系73

开口薄壁梁弯曲切应力Sz-截面

w

对

z

轴的静矩Iz-整个截面对

z

轴的惯性矩推导详见假设

切应力平行于截面中心线切线，并沿壁厚均布y,z轴－主形心轴74例

8-1已知F=6kN,l=1.2m,[s]=160MPa,校核梁的强度

例题解：1.问题分析

截面

A最危险MA=Fl

矢量MA//主形心轴y，发生平面弯曲

中性轴位于

y轴，边缘

ab与

ed各点处的

s最大752.应力计算

F=6kN,l=1.2m,[s]=160MPa,校核梁的强度76例

8-2确定工字形截面梁的剪流分布解：1.翼缘剪流计算

2.腹板剪流计算77§9

剪心概念

剪心概念

常见截面的剪心位置