上海八年级数学上册-一元二次方程的应用-实际问题（同步练习）

17.4.2一元二次方程的应用一实际问题

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2020.上海第二工业大学附属龚路中学八年级期中）受疫情影响某厂今年第一季度的产

值只有20（）万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助

下，该厂第三季度的总产值提高到5（）0万元.若平均每季度的增产率是工，则可以列方程（）

A.200（1+2.v）=500B.500（1-2x）=200

C.200（1+A）2=500D.5OO（1-X）2=2OO

二、填空题

2.（2021.上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）某厂3月份的产值为25万元，5月份的

产值上升到36万元，期间，每个月的增长率相同，如果设相同的增长率是x,那么列出方程

是.

3.（2021.上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）我们学校响应国家对垃圾分类处理的号召，

组织同学们积极学习垃圾分类相关知识.初二年级某班每月进行一次垃圾分类知识测试，结

果显示9月份32名同学测试结果优秀，到11月份增加到38名同学测试结果优秀，设平均每

月优秀人数增长的百分率为工，则可以列出的方程是_.

4.（2022・上海师范大学第三附属实验学校八年级期中）某件商品连续两次降价后，零售价

由原来的500元降为405元，设此商品平均每次降价的百分率为x,则恨据题意列出的方程是

5.（2022・上海•八年级专题练习）农机厂计划用两年时间把产量提高44%,如果每年比上一

年提高的百分数相同，这个百分数为.

6.（2022.上海浦东新.八年级期末）随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量，一家

今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别

是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长是居由题意列出关于工的

方程：.

7.（2022・上海,八年级专题练习）某厂工业废气年排放量为2000万立方米，为了改善大气质

量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到1280万立方米，如果每期治理中废气减

少的百分率相同，每期减少的百分率是______.

8.（2022.上海市浦东外国语学校东校八年级期中）一件衬衫原价200元，经过连续两次降

价后售价为162元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为.

9.（2022・上海・八年级期末）某单位在两个月内将开支从25万元降到16万元，如果每月降

低开支的百分率均为那么这个无的值是________.

10.（2022・上海•八年级专题练习）一种型号的手机，原来每台售价7500元，经过两次降价后,

现在每台售价为4800元，假设两次降价的百分率均为x..则'=.

11.（2022・上海・八年级期末）定义符号min{〃，〃}的含义为：当〃泌时，b}=b；当。

时，min{〃，b}=af如：min{l,-2）=-2,min{-3,-2）=-3,则方程min{x,-%}=/-1的解

是________•

三、解答题

12.（2021.上海.八年级期中）某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围

成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，按下列要求，分别求长方形的两条

邻边的长.

（1）长方形的面积是1152平方米

（2）长方形的面积是1800平方米

（3）长方形的面积是2000平方米

13.（202。上海市建平实验中学八年级期中）对于一线的医护工作者来说，与新冠肺炎战斗,

最大的风险就是被感染.为此，放舱每名医护人员在进入放舱前，从清洁区到达病人所在的

病区，中间要穿过三个区，过四道门，工作人员利用体育馆门口一段20米的墙，搭建一个消

毒区域，三个区的总面积为96平方米，共用去建筑材料36米.四扇门，每扇门宽1米，且

不需要建筑材料，求A8、/3C的长各为多少米？

BEG

14.（2022.上海.八年级专题练习）市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出

30件，每件盈利40元.为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售

量，增加盈利.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件.

⑴若每件童装降价3元，那么平均每天就可售出件，可以赚元.

⑵为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元.要想平均每天销售这种童装盈利18（）0

元，那么每件童装应降价多少元？

15.（2022•上海•八年级专题练习）将进价为40兀的商品加价25%出售能卖出500个，若以

后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为8000元，售价应该定为多少元？

16.（2022・上海•八年级专题练习）某小区要对一块长20米，宽8米的长方形空地ABCZ）进

行绿化工程改建.设计方案如图所示，阴影部分为两块形状大小完全相同的长方形绿地，它

们的面积之和为56平方米，长方形A8CO内空白部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的

宽度.

4D

OO

BC

17.（2022・上海•八年级专题练习）阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上

销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低

10元，月销售件数增加20件，已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情

况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？

18.（2022・上海•八年级专题练习）某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是50元，

若每箱销售80元，每星期可卖200箱.为了促销，该水果店决定降价促销.市场调查反映:

若售价每降低1元，每星期可多卖出10箱.设该苹果每箱售价1元（5080）,每星期的

销售量为），箱.

（1）求），与犬之间的函数关系式；

（2）当每箱为多少元时，每星期的销售利润达到6000元？

19.（2022・上海・八年级期末）某口罩厂2020年1月口罩生产数：S40万个，2月份口罩产量

增长了25%,为应对“新冠”疫情，计划通过两个月进行产能爬坡，预计到4月份时月产量达

到60.5万个，求该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率.

20.（2022・上海•八年级专题练习）如图是宽为2（）m,长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽

的三条道路（互相垂直），把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为57（）1/,问:

道路宽为多少米？

I..■■1I

21.（2022・上海•八年级专题练习）如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边

靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现

有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？

22.（2022・上海•八年级期中）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间.据预测，当每间

的年租金定为10万元时，可全部租出.每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间.该

公司要为租出的商铺每间每生交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.

⑴当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？

⑵当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益=租金-各种费用）为275

万元？

【能力提升】

一、单选题

1.（2019.上海民办浦东交由初级中学八年级阶段练习）某初中毕业班的第一个同学都将自

己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生,

根据题意，列出方程为（）

A.x（x+1）=2550B.x（x-1）=2550

C.2Mx+1）=2550D.x（x-1）=2550x2

2.（2022.上海.八年级期末）同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会,

列方程为（）

45I

A.x（x-1）=45B.x（x-l）=—C.-x（x-1）=45D.x（x+1）=45

二、填空题

3.（2019•上海市西南模范中学八年级阶段练习）某班第一小组的学生互寄贺卡，每位学生

都给同组同学寄一张，他们一共寄出90张贺卡，则这个小组有_____位学生.

4.（2022•上海市奉贤区青溪中学八年级阶段练习）某工厂计划用三年时间把原产量从100

台增加到500台，已知每年产量增长的百分率相同.设每年产量增长的百分率为•一可列出

的方程为.

5.（2022・上海•八年级期中）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品

的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是300（）元，生产1

吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率一乙药品成本的年平均下降率

（用“大于”“小于”或“等于"填空）

6.（2022・上海•八年级专题练习）如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地A3。

上修建三条同样宽的小路，使其中两条与人8平行，另一条与人。平行，其余部分种草.若草

坪部分的总面积为160m2,则小路的宽度为m.

7.（2019•上海市闵行区上虹中学八年级阶段练习）一个两位数，它的数值等于它的个位上

的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2.若设个位数字为元列出求该两位数的

方程式为.

8.（2022・上海•八年级专题练习）某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次

所打折扣相同，则这件商品每次打折.

三、解答题

9.（2022・卜，海,八年级专题练习）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投

资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到

185.9万元.

（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；

（2）从202（）年到2（）22年，这三年我校将总共投资多少万元？

10.（2022・上海•八年级专题练习）经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入是22

万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月

罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不

但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长.经

预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36万元.3月份以后，

每月的生产收入稳定在3月份的水平.

（1）求出投资治污后，2月和3月每月生产收入增长的百分率；

（2）如果利润看作是生产累计收入减去治理污染的投资和环境部门的罚款，试问：治理污染

多少个月后，所投资金开始见成效？即治污多少个月后所获利润不小于不治污情况下所获利

润）

11.（2022・上海•八年级专题练习）随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国

各地都在加快公共充电桩的建设，某省2018年公共充电桩的数量为1万个，2020年公共充电桩

的数量为2.89万个.

（1）求2018年至2020年该省公共充电桩数量的年平均增长率；

（2）按照这样的增长速度，预计2021年该省将新增多少万个公共充电桩？

12.（2022•上海.八年级专题练习）山清水秀的东至县三条岭已成为游客最喜欢的旅游地之一,

其中“蔡岭，，在2019年“五一”小长假期间，接待游客达2万人次，预计在2021年“五一”小长

假期间，接待游客2.88万人次，在蔡岭，一家特色小面店希望在“五一”小长假期间获得好的

收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将

销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为

168元.

（1）求出2019至2（）21年“五一”小长假期间游客人次的年平均增长率；

（2）为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为

多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润=总收入-总成本-其它各种费用）

13.（2022・上海•八年级专题练习）某单位组织员工前往九棵树艺术中心欣赏上海说唱《金铃

塔》的表演.表演前，主办方工作人员准备利用26米长的墙为一边，用48米隔栏绳为另三

边，设立一个面积为300平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边空出两

个各为1米的出入口（出入口不用隔栏绳）.假设这个长方形平行于墙的一边为长，垂直于

墙的一边为宽，那么围成的这个长方形的长与宽分别是多少米呢？

出IIMI

14.（2022・上海・八年级期末）如图所示，要建设一个面积为90平方米的仓库，仓库的一边

靠墙，这堵墙长16米；仓库如图要求开两扇1.5米宽的小门.已知围建仓库的现有材料可使

新建木墙的总长为30米，那么这个仓库设计的长和宽应分别是多少米？

15.（2022・上海•八年级专题冻习）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润

120元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价.据测算，若每箱降价1元，每天可

多售出2箱.如果要使每天销售饮料获利14000元，每箱应降价多少元？

16.（2022・上海•八年级专题练习）重庆奉节脐橙，柚子非常出名，奉节大力发展经济作物.其

中果树种植已经具有规模性了，今年受气候、雨水等因素的影响，所样产量较去仁有小幅度

的减少.而柚子产量有所增加.

（1）奉节某果农今年收获脐澄和柚子共4200千克，其中脐橙的产量不超过柚子产量的6倍,

求该果农今年收获柚子至少多少千克？

（2）该果农把今年收获的脐橙、柚子两种水果的一部分运往市场销售.该果农去年脐橙的市

场销售量为10（）0千克，销售沟价为15元千克，今年脐橙的市场销售量比去年减少了〃％销售

均价与去年相同.该果农去年柚子的市场销售量为2000千克，销售均价为10元/千克，今年

柚子的市场销售量比去年增加了2a%,但销售均价比去年减少了该果农今年运往市场

销售的这部分脐橙和柚子的销售总金额与他去年脐橙和柚子的市场销售总金额相同，求。的

值.

17.（2022・上海•八年级专题练习）返校复学之际，某班家委会出于对学生卫生安全的考虑，

为每位学生准备了便携式免洗抑菌洗手液.去市场购买时，发现当购买量不超过100瓶时，

免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，单价就降低0.2元，但最低价

不能低于每瓶5元，设家委会共买了X瓶免洗抑菌洗手液.

（1）当x=8（）时，每瓶洗手液的价格是元；当;t=150时，每瓶洗手液的价格是

元；

（2）若家委会购买洗手液共花费1200元，问一共购买了多少瓶洗手液?

18.（2019,上海民办浦东交口初级中学八年级阶段练习）如图所示，在^ABC中，NC=90。,

AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以lcm/s的速度移动，点Q从C点出

发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.

（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm2?

（2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得4PCQ的面积等于△ABC的面积的

一半？

B

19.（2021・上海长宁•八年级期末）某旅游园区对团队入园购票规定：如团队人数不超过。人,

那么这个团队需交200元入园费；若团队人数超过〃人，则这个团队除了需交200元入园费

外，超过部分游客还要按每人2元交入园费，下表是两个旅游团队人数和入园缴费情况：

旅游团队名称团队人数（人）入园费用（元）

旅游团队18()35()

旅游团队245200

根据上表的数据，求某旅游园区对团队入园购票规定的。人是多少？

20.（2021・上海•八年级期中）某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游.下

面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话.

领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？

导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元.

领队：超过25人怎样优惠呢？

导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70

元.该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元.

请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人.

17.4.2一元二次方程的应用一实际问题（（解析版）

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、单选题

1.（2020.上海第二工业大学附属龚路中学八年级期中）受疫情影响某厂今年第一季度的产

值只有20（）万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助

下，该厂第三季度的总产值提高到5（）0万元.若平均每季度的增产率是工，则可以列方程（）

A.200（1+2.v）=500B.500（1-2x）=200

C.200（1+A）2=500D.5OO（1-X）2=2OO

【答案】C

【分析】若平均每季度的增产率是x,经过两次增长后应该为200（1+”2,建立方程即可.

【详解】解：若平均每季度的增产率是x，则可以列方程200（1+疗=500

故本题选择C

【点睛】本题是一元二次方程的应用问题当中的变化率问题，解题时找到等量关系是关键.

二、填空题

2.（2021.上海奉贤区阳光外国语学校八年级期中）某厂3月份的产值为25万元，5月份的

产值上升到36万元，期间，每个月的增长率相同，如果设相同的增长率是「那么列出方程

是.

【答案】25（1+x）2=36

【分析】根据题意用增长后的量二增长前的量x（1+增长率），如果设平均每月的增长率为X,

根据题意即可列出方程.

【详解】解：设平均每月的增长率为-

根据题意即可列出方程:25（1+x）2=36.

故答案为:25（1+x）2=36.

【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程中增长率问题，注意掌握其一般形式

为。（1+x）"=匕,。为起始时间的有关数量，。为终止时间的有关数量，〃为间隔时间.

3.（2021.上海市洋泾菊园实验学校八年级期末）我们学校响应国家对垃圾分类处理的号召，

组织同学们积极学习垃圾分类相关知识.初二年级某班每月进行一次垃圾分类知识测试，结

果显示9月份32名同学测试结果优秀，到11月份增加到38名同学测试结果优秀，设平均每

月优秀人数增长的百分率为，则可以列出的方程是一.

【答案】32（1+4=38

【分析】根据“11月份的优秀人数=9月份的优秀人数*（1+平均增长率）2”列出方程即可得.

【详解】解：由题意,可列方程为32（1+4=38,

故答案为：32（1+»=38.

【点睛】本题考查了列一元二次方程，正确找出等量关系是解题关键.

4.（2022.上海师范大学第三附属实验学校八年级期中）某件商品连续两次降价后，零售价

由原来的500元降为405元，设此商品平均每次降价的百分率为x,则恨据题意列出的方程是

【答案】500（17）2=405

【分析1设平均每次降价的百分率为X，则第一次降价后售价为500（1-X）,第二次降价后

售价为500（"x/，然后根据两次降价后的售价建立等量关系即可.

【详解】解：根据题意得500口7尸=405.

故答案为：500（1-4）2=405.

【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程，要注意题意指明的是降价，应该是

（1-x）而不是（1+x）.

5.（2022.上海.八年级专题练习）农机厂计划用两年时间把产量提高44%,如果每年比上一

年提高的百分数相同，这个百分数为.

【答案】20%

【分析】设每年比上一年提高的百分数为达根据农机厂计划用两年时间把产量提高44%,

即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【详解】解：设每年比上一生提高的百分数为达

依题意得：（1+x）2="44%,

解得：x/=0.2=20%,工2=-2.2（不合题意）.

故答案为：20%.

【点睹】此题考查了一元二次方程的实际应用一增长率问题，熟记增长率问题的计算公式是

解题的关键.

6.（2022.上海浦东新•八年级期末）随着网络购物的兴起，增加了快递公司的业务量，一家

今年刚成立的小型快递公司业务量逐月攀升，今年9月份和11月份完成投送的快递件数分别

是20万件和24.2万件，若该公司每月投送的快递件数的平均增长是x,由题意列出关于x的

方程：.

【答案】20（l+x『=24.2

【分析】根据撅意，该公司每月投送的快递件数的平均增长是x,则10月份完成投送的快递

件数为20（1+幻万件，则11月份完成投送的快递件数为20（1+，万件，根据11月份完成投送

的快递件数为24.2万件，列出一元二次方程即可

【详解】解：设该公司每月投送的快递件数的平均增长是X,根据题意得

20（l+x）2=24.2

故答案为：20（1+A）2=24.2

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出一元一次方程是解题的关键.

7.（2022・上海•八年级专题缜习）某厂工业废气年排放量为2000万立方米，为了改善大气质

量，决定分两期投入治理，使废气的年排放量减少到1280万立方米，如果每期治理中废气减

少的百分率相同，每期减少的百分率是_______.

【答案】20%

【分析】设每期减少的百分率是-等量关系为：2000x（1.减少的百分率）2=1280,再解方

程即可.

【详解】解：设每期减少的百分率是x,

贝I]2000（1）2=1280,

.•.（1）2=0.64,

解得：西=1.8（舍去），%=0.2

答：每期减少的百分率是20%.

故答案为：20%.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，增长率问题，掌握“两次变化后的量二原来的量x

（1-下降的百分率）2”是解题的关键.

8.（2022.上海市浦东外国语学校东校八年级期中）一件衬衫原价200元，经过连续两次降

价后售价为162元，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为.

【答案】10%

【分析[根据衬衫原来价格X（1-每次降价的百分率）2二现在价格，设出未知数，列方程解答

即可.

【详解】解：设这种衬衫平均每次降价的百分率为X,根据题意列方程得，

200x（1-x）2=162,

解得x/=0.1,X2=-1.9（不合题意，舍去）；

答：这种衬衫平均每次降价的百分率为10%.

故答案为：10%.

【点睛】本题考杳了一元二次方程在实际生活中的应用，此题列方程得依据是：衬衫原来价

格x（1-每次降价的百分率）2二现在价格.

9.（2022.上海.八年级期末）某单位在两个月内将开支从25万元降到16万元，如果每月降

低开支的百分率均为那么这个x的值是_______.

【答案】20%

【分析】利用降低后的开支=原开支x（1-降低率）2,即可得出关于x的一元二次方程，解之

取其符合题意的值即可得出结论.

【详解】解：依题意得：25（1-x）2=16,

解得：x/=0.2=20%,戈2=1.8（不合题意,舍去）.

故答案为：20%.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

10.（2022.上海.八年级专题练习）一种型号的手机，原来每台售价7500元，经过两次降价后，

现在每台售价为4800元，假设两次降价的百分率均为工，则八=.

【答案】20%

【分析】设两次降价的百分率均为孙根据两次降价后，售价从7500元到4800元列出方程

求解即可.

【详解】设两次降价的百分率均为盯根据题意得，

7500（17）2=48（X）,

解得工=20%或x=180%（舍去），

・••两次降价的百分率均为20%,

故答案为:20%.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是关键.

11.（2022•上海.八年级期末）定义符号min{m的含义为：当。以时，min{a,b}=b；当。

<bH'j,min{«,b}=at如：min{l,-2）=-2,min{-3,-2）=-3,则方程min{%,-%}=//的解

是________.

【答案】内=”,3T

2-2

【分析】利用min{m切的含义分类讨论：若启子时，代入解方程即可，若时，代入

解方程即可.

【详解】解：①当应-人,即它0时,根据min{a,0}的含义

/.min{x,-x]=-x

XVmin(x,-x]=x2-\

-x=x2-\

解得K=与！,为=二1三立

・・•此时於o,故々=三"不符合，故舍去；

②当xV-x,即xVO时，根据min{a,的含义

.*.min(x,-x}=x

XVmin{x,-x}=x2-\

；・尸1-1

解得：“号多甘

・・,此时xVO,故用=与1不符合，故舍去；

综上所述：方程min{x,・幻=d-1的解是：凡=存1.2=1.

【点睛】此题考查的是利用min{m切的含义进行分类讨论题，分类讨论时要注意先写清前

提条件，解出方程后再根据前提条件判断方程的解是否满足即可.

二、解答题

12.(2021.上海.八年级期中)某建筑工程队，在工地一边的靠墙处，用120米长的铁栅栏围

成一个所占地面为长方形的临时仓库，铁栅栏只围三边，按下列要求，分别求长方形的两条

邻边的长.

(1)长方形的面积是1152平方米

(2)长方形的面积是1800平方米

(3)长方形的面积是2000平方米

【答案】(1)长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.(2)长方形的长为

6。米，宽为3U米.(3)此时的长方形不存在.

【分析】本撅可根据撅意分别用X表示垂直于墙的一切的长或平行于墙的一动的长，再根据

面积公式列出方程求解即可.

【详解】设垂直于墙的一边的长为X米，则平行于墙的一边为(120-2X)米.

(1)根据题意得x(12()-2x)=1152.

X2-60X+576=0

(x-12)(x-48)=0

解得玉=12,马=48

当x=12时，120-21=120-2x12=96；

当x=48D寸，120-2x=120-2x48=24；

答：长方形的长为96米，宽为12米或长为48米，宽为24米.

(2)x(120-2x)=1800

12O.r-2x2=18(X)

2A2-120.V+1800=0

x2-6().r+9(X)=()

(x-30『=0

解得》=30

当x=30时，120-2x=120-2x30=60

答：长方形的长为60米，宽为30米.

(3)x(120-2x)=2000

120X-2X2=2000

2r-120x+200()=0

x2-60x+1000=0

•/△=(-60)2-4xl(XX)=3600-4000=-400<0

・,•方程无实数根.

故此时的长方形不存在.

【点睛】本题考查的是一元二次方程的运用，要注意靠墙的那面不需要栅栏，不要把平行于

墙的一边算成是g(120-2X).

13.(202().上海市建平实验中学八年级期中)对于一线的医护工作者来说，与新冠肺炎战斗,

最大的风险就是被感染.为此，放舱每名医护人员在进入放舱前，从清洁区到达病人所在的

病区，中间要穿过三个区，过四道门，工作人员利用体育馆门口一段20米的墙，搭建一个消

毒区域，三个区的总面积为96平方米，共用去建筑材料36米.四扇门，每扇门宽1米，且

不需要建筑材料，求/W、AC的长各为多少米？

20米

EGC

【答案】AB为6米，BC为16米

【分析】设的长为x米，BC为(36-4x+4)米，根据三个区的总面积为96平方米列出方程

求解即可.

【详解】解：设AB的长为x米，8c为(36-4X+4)米，

由题意得(36—4X+4)X=96,解得内=4,x2=6

经检验X=4,X2=6都是方程的解，

当内=4时，36-4X+4=36-4X4+4=24>20,不符合题意，应舍去，

所以A8=6,8c=36-4x6+4=16.

【点暗】此题考查了一元二次方程的应用题，解题的关键是根据题意设出未知数列出方程求

解.

14.(2022・上海•八年级专题练习)市百一店童装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出

30件，每件盈利40元.为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售

量，增加盈利.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件.

⑴若每件童装降价3元，那么平均每天就可售出件，可以赚元.

(2)为保持节后销售价格的稳定性，降价不能超过15元.要想平均每天销售这种童装盈利1800

元，那么每件童装应降价多少元？

【答案】⑴39；1443

(2)10元

【分析】(1)利用销售数量=30+3x降低的价格，即可求出每件童装降价3元时平均每天可

出售39件，利用每天销售童装获得的总利润=每件童装的销售利润x每天的销售量，即可求

出每件童装降价3元时每天可以赚1443元；

(2)设每件童装应降价x元，则每件盈利(40-X)元，每天可售出(30+3x)件，利用每天

销售童装获得的总利润=每件童装的销售利润x每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方

程，解之即可得出x的值，再结合降价不能超过15元即可得出每件童装应降价10元.

(1)

(1)30+3x3=39(件)，

(40-3)x39=1443(元).

故答案为：39；1443.

⑵

设每件童装应降价x元，则每件盈利(40-x)元，每天可售出(3O+3x)件，

依题意得：(40-x)(30+3x)=1800,

整理得：x2-30.r+200=0,

解得：x/=10,X2=20.

又;降价不能超过15元，

.*.x=10.

答：每件童装应降价10元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

15.(2022.上海.八年级专题练习)将进价为40元的商品加价25%出售能卖出500个，若以

后每涨1元，其销售量就减少10个，如果使利润为8000元，售价应该定为多少元？

【答案】60元或80元

【分析】设涨价”元,则利润为每件(10+x)元，销售量为(500-100个，根据总利润二单件

利润x数量计算即可.

【详解】40x25%=1(),

设涨价X元，根据题意，得利润为每件(10+X)元，销售量为(500-10%)个，

/.(10+jr)(500-10x)=8(XX),

解得％=10,%=30,

・•・售价分别为40(1+25%)+10=60,

或40(1+25%)+30=80元.

故售价应该定为60元或80元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用一利润问题，熟练掌握利润的计算方法是解题的关

键.

16.(2022・上海•八年级专题练习)某小区要对一块长20米，宽8米的长方形空地A8CQ进

行绿化工程改建.设计方案如图所示，阴影部分为两块形状大小完全相同的长方形绿地，它

们的面积之和为56平方米，长方形ABCQ内空白部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的

宽度.

AD

DO

BC

【答案】人行通道的宽为2米.

【分析】利用矩形绿地，它们的面积之和为56平方米，进而得出等式求出答案.

【详解】解：设人行通道的宽度为x米，根据题意得，

(20-3x)(8-2x)=56,

解得：x尸2,右二个(不合题意，舍去).

答：人行通道的宽为2米.

【点暗】本题主耍考查了元二次方的应用，正确得出等量关系是解题关键.

17.(2022・上海.八年级专题练习)阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上

销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，售价每件每降低

10元，月销售件数增加20件，已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情

况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？

【答案】售价应定为250元.

【分析】根据月利润=每件利润x月销售量，可求出售价为300元时的原利润，设售价应定为

火•元，则每件的利润为(x-200)元，月销售量为100+4哈立二(700-2x)件，根据月利润

=每件利润x月销售量，即可得出关于X的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论.

【详解】解：设售价应定为x元，则每件的利润为(A-200)元，月销售量为100+20(3；；r)二

(700-2%)件，

依题意，得：(x-200)(700-21)=(300-200)X100,

整理，得：X2-550X+75000=0,

解得：折250,我二300(舍去).

答：售价应定为250元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

18.(2022.上海.八年级专题练习)某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是50元，

若每箱销售80元，每星期可卖200箱.为了促销，该水果店决定降价促销.市场调杳反映：

若售价每降低I元，每星期可多卖出10箱.设该苹果每箱售价1元（50M，80）,每星期的

销售量为），箱.

（1）求），与x之间的函数关系式；

（2）当每箱为多少元时，每星期的销售利润达到6000元？

【答案】（1）y=1000-10.v（50<x<80）;（2）当每箱售价为70或80元时，每星期的销售利

润达到6000元

【分析】（1）根据每星期的销售量=200+10x降低的价格，即可找出），与x之间的函数关系

式；

（2）根据每星期的利润=每箱的利润x每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，

解之取其符合题意的值即可得出结论.

【详解】解：（1）依题意得：），=200+10（80-幻=1000—10x（5砥&80）,即y=1000—10.«5噫上80）；

（2）依题意得；（%—50）（1000-10x）=6000,

整理得：x2-150.r+5600=0,

解得：％=70,x2=8（）,

答：当每箱售价为7（）或8（）元时，每星期的销售利润达到600（）元.

【点睛】本题考查一元二次方程的应用、一次函数的实际应用等知识，是重要考点，难度较

易，掌握相关知识是解题关键.

19.（2022・上海•八年级期末）某口罩厂2020年1月口罩生产数量40万个，2月份口罩产量

增长了25%,为应对“新冠”疫情，计划通过两个月进行产能爬坡，预计到4月份时月产量达

到60.5万个，求该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率.

【答案】10%

【分析】首先求出2月份口罩的产量，然后设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长

率为-然后根据题意列出方程就，解方程即可.

【详解】40x（1+25%）=50（万个），

・・・2月份口罩的产量为50万个，

设该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为达根据题意得，

50（1+x）2=60.5,

解得x=0.1=10%或%=一2.1（舍去），

・・・该口罩厂这两个月口罩生产数量的月平均增长率为10%.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是关键.

20.(2022・上海•八年级专题练习)如图是宽为20m,长为32m的矩形耕地，要修筑同样宽

的三条道路(互相垂直)，把耕地分成六块大小相等的试验地，要使试验地的面积为570m2,问:

道路宽为多少米？

I"III

【答案】1米

【分析】设道路宽为X米，根据题意列出一元二次方程即可求出结论.

【详解】解：设道路宽为X米，依题意得：

(32—2x)(207)=570

解得内=1应=35(不合题意，舍去)

答：道路宽为1米.

【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解题关键.

21.(2022.上海.八年级专题练习)如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边

靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门，已知围建仓库的现

有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别是多少米？

c

TA_____B

【答案】长和宽分别为14米和10米.

【分析】首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为g(32+27),再根据面积为140平方米的

仓库可得g(32+2-x)x=140,再解一元二次方程即可.

【详解】解：设这个仓库的长为x米，由题意得：

-(32+2-x)x=140,

2

解得：x,=20,X2=14,

这堵墙的长为18米，

.3=20不合题意舍去，

x=14,

宽为：-x(32f2-14)=10(米).

答：这个仓库的宽和长分别为14米、10米.

【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形

的长和宽•

22.(2022.上海.八年级期中)某公司投资新建了一商场，共有商铺30间.据预测，当每间

的年租金定为10万元时，可全部租出.每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间.该

公司要为租出的商铺每间每色交各种费用1万元,未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.

⑴当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？

(2)当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益(收益=租金-各种费用)为275

万元？

【答案】(1)24；(2)10.5万元或15万元

【详解】解：(1)V(13()(XX)-l(XXX))4-500=6

，能租出30-6=24|'H]

(2)设每间商铺的年租金增加X万元，则00-关上(10+x)-00-用xl一送x0.5=275,

2A2-11X+5=0

1=5或工二0.5

・••每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元.

【能力提升】

一、单选题

1.(2019.上海民办浦东交中初级中学八年级阶段练习)某初中毕业班的第一个同学都将自

己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张照片，如果全班有《名学生,

根据题意，列出方程为()

A.x(x+1)=2550B.x(x-l)=255()

C.2Mx+1)=2550D.x(x-1)=2550x2

【答案】B

【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生应该送的相片为(x-1)张，根据“全班共送了

2550张相片”,可得出方程为x(x-1)=2550.

【详解】解：・・•全班有1名学生，

・•・每名学生应该送的相片为(心1)张，

(x-1)=2550.

故选：B.

【点睛】此题是一元二次方程的应用，其中x(x-l)不能和握手问题那样除以2,要注意题

目中是共送，也是互送，所以要把握住关键语.

2.(2022.上海.八年级期末)同学聚会，每两人都握手一次，共握手45次，设x人参加聚会,

列方程为()

451

A.x(x-1)=45B.x(x-l)=—C.-x(x-1)=45D.x(x+1)=45

【答案】C

【分析】本题利用一元二次方程应用中的基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，

握手总次数为a-1),列方程即可.

【详解】由题意列方程得：(x-1)=45.

故选C.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用.找准相等关系是解答本题的关键.

二、填空题

3.(2019•上海市西南模范中学八年级阶段练习)某班第一小组的学生互寄贺卡，每位学生

都给同组同学寄一张，他们一共寄出90张贺卡，则这个小组有位学生.

【答案】10

【分析】由题意可得，每个人都要送给这个小组中除了自己之外的所有人卡片，设该小组有

n人，则每个人要送n-1张卡片，所以共送出n(n-1)张，又知全组共送出90张，列出方程

求出n值.

【详解】设该活动小组有n人，则每个人要送n-1张卡片，由题意得：

n(n-1)=90,

即：n2-n-90=0,

解得，ni=10,nz=-9(不合题意舍去).

故答案为10.

【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出一元二次方程

求解.

4.(2022•上海市奉贤区青溪中学八年级阶段练习)某工厂计划用三年时间把原产量从100

台增加到500台，已知每年产量增长的百分率相同.设每年产量增长的百分率为3可列出

的方程为.

【答案】100(1+x)3=500

【分析】设每年产量增长的百分率为盯根据等量关系用增长率表示第三年的产量，两种量

相等列方程100(1+X)3=500即可.

【详解】解：设平均每年增长的百分率为孙

根据题意可得出：100(1+4=500.

故答案是：1。0(1+幻3=500.

【点睛】本题考查列高次方程解增长率应用题，掌握列方程解应用题的方法与步骤是解题关

键.

5.(2022.上海•八年级期中)两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品

的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1

吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率—乙药品成本的年平均下降率

(用“大于”“小于，，或“等于，，填空)

【答案】等于.

【分析】设甲药品成本的年平均下降率为q歹U方程得5000(1-4=3000,化简为(IT)?q,

设乙药品成本的年平均下降率为列方程得6000(1-4=3600,化简为(「)》=|,比较得

(l-x)2=(l-y)2,求出x与y的大小即可.

【详解】设甲药品成本的年平均下降率为巴由题意得：

5000(1-x)2=300()

化简得：(­1①

设乙药品成本的年平均下降率为y,由题意得：

6000(1->')2=3600

化简得：(1-4=|②

比较①②得：(17尸=(1_»

•”=丁或"+)=2(不合题意，舍去)

/.x=y

故答案为：等于.

【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意并解方程(1-、)2=(1-4是解题的

关键.

6.(2022・上海•八年级专题练习)如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地A8CQ

上修建三条同样宽的小路，使其中两条与48平行，另一条与AO平行，其余部分种草.若草

坪部分的总面积为160m"则小路的宽度为m.

【答案】2

【分析】设小路的宽度为“九则根据平移的性质得草坪是一个长为(242Y)〃Z,宽为(10-x)〃?的

矩形，根据其面积为160m,可得方程，解方程即可.

【详解】设小路的宽度为切：，则由题意可得：(24-2x)x(10㈤=160

解方程，得：A-=2,X2=20

当x=20时，10-x=-10<0,不合题意，舍去

所以於2

故答案为：2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键是利用平移性质，通过左右平移和上下平移,

得到一个新的矩形，此时新矩形跟原矩形相比，长减小了两个路宽，宽减小了一个路宽，同

时注意检验解的合理性.

7.(2019.上海市闵行区上虹中学八年级阶段练习)一个两位数，它的数值等于它的个位上

的数字的平方的3倍，它的十位数字比个位数字大2.若设个位数字为x,列出求该两位数的

方程式为.

【答案】10(x+2)+x=3x2.

【详解】试题分析：设个位数字为X,则这个数为3x2,十位数字为X+2,根据题意表示出这

个两位数，列出方程.

解：设个位数字为x,则这个数为3x2,十位数字为x+2,

由题意得，10(x+2)+x=3x2.

故答案为10(x+2)+x=3x2.

考点：由实际问题抽象出一元二次方程.

8.(2022・上海•八年级专题练习)某商品原价100元，连续两次打折后售价为81元，若每次

所打折扣相同，则这件商品每次打折.

【答案】九

【分析】根据题意列出一元二次方程并解方程即可：

【详解】解：设这件商品每次打X折，

依题意得：100X（5）2=81,

解得：x/=9,X2=-9（不合题意，舍去），

即这件商品每次打九折销售.

故答案为：九.

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，正确列出方程是解题的关键.

三、解答题

9.（2022・上海•八年级专题练习）为了让我们的小朋友们有更好的学习环境，我校2020年投

资110万元改造硬件设施，计划以后每年以相同的增长率进行投资，到2022年投资额将达到

185.9万元.

（1）求我校改造硬件设施投资额的年平均增长率；

（2）从2020年到2022年,这三年我校将总共投资多少万元?

【答案】（1）我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%；（2）从2020年到2022年,

这三年我校将总共投资438.9万元

【分析】（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为达利用2022年投资额=2020

年投资额x（1+年平均增长率）2,即可得出关于X的一元一次方程，解之取其正值即可得出

结论；

（2）利用这三年我校总共投资的金额=2020年投资额-2020年投资额x（1+年平均增长率）

+2022年投资额，即可求出结论.

【详解】解：（1）设我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为-

依题意得：110（1+x）2=185.9,

解得：x/=0.3=30%,x?=・2.3（不合题意，舍去）.

答：我校改造硬件设施投资额的年平均增长率为30%.

（2）llO+IIOx（1+30%）+185.9

=110+143+185.9

=438.9（万元）.

答：从2020年到2022年，这三年我校将总共投资438.9万元

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准

等量关系，正确列出一元二次方程：（2）根据各数量之间的关系，列式计算.

10.（2022・上海•八年级专题练习）经预算，某工厂从2022年1月份起，每月生产收入是22

万元，但在生产过程中会引起环境污染，若再按现状生产，将会受到环境部门的处罚，每月

罚款2万元；如果投资85万元治理污染，治污系统可在2022年1月份启用，这样，该厂不

但不受处罚，还可降低生产成本，使1月至3月份的生产收入以相同的百分率逐月增长.经

预算，投资治污后，1月份生产收入为25万元，3月份的生产收入可达36