2021年中考数学综合题冲刺20 因动点产生的相似三角形问题（拔高）（含答案及解析）

专题20因动点产生的相似三角形问题（提优）

1.如图，在△ABC中，AB^Ucrn,BC=9cm,动点尸从点A开始沿48边以4cm/s的速度向点B运动；动

点。从点B开始沿8c边以2clnls的速度向点C运动.点P和点0同时出发,当其中一个点到达终点时，

请问当△Q3P与△ABC相似时，，的值是多少？

DDR0DD

【分析】分两种情形：当77；=m时，两主角形相似，当二=m时：两三角形相似，分别构建方程求

BABCBCBA

•解即可.-

【解答】解：由题意AB=L2a”<8C=9a”，AP=4t,BQ=2t,则8尸三（72-47）cm.

BPBQ

当云时，两三四形相似，♦,

D/iDCf

12-4C2£

129

解得uI.

DpDQ

当77=77时，两三角形相似，

BCBAJ

.12-4t2t

912

解得t=鲁

924

•综上所述，当△Q3P与A43C相似时，J的值是二或二.

---,*511.・.-

【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考

常存题型.

2.如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=5cm,ZBAC=60°,动点M从点8出发，在84边上以每

秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒的速度向点B匀速运

动，•设运动时间为f秒（0W）,连接MN.

（1）若与△ABC相似，求/的值.

（2）当「为何值时，四边形4CNM的面积最小？并求出最小值.

【分析1(1)分两种情况：①当ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得

出r的值：②当△NBMsaABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出f的值；

(2)过M作于点D,则MD〃AC,证出△8MDS/\84C,得出比例式求出MD=r.四边形

ACNM的面积y=/^ABC的面秋-/XBMN的面般，得出『是「的匚次函数二，由三次盲数的性质即可彳生出

结果.

【解答】解：(1)•.,在Rt^ABC中，N4CB=90°,AC=5,/8AC=60°,

c.■J,'tJ/i

;./B=3(r,

."8=2AC=10,J3C=5V3.

分两种情况：①当△MBNs/^BC时，

,----

MBBN2t5V3-x/3t

则=，即一=----7=一-，

>ABBC10573

解得：/=I-L。..七

f,

②当ANBMs△ABC时，

同理可得：仁攀

♦/•»•

综上所述：当片^^时，△M8N与△A6C疝以；

"TFte—0-工，.•

J

._rTF14°Tt

f9,4一/，・^4Q\

(2)过M作A/D_L8c于点D,则MD//AC,，

MDBMMD2t

：.——=——，即——=—,

ACAB510.

解得：MD=t.

设四边形ACMW的面积为y,

V=1X5X5V3-5(5V3-V3/)-2.5).2+^V3..《

“Zz28

根据二次函数的性质可知，’当t=2.5时，V的值最小值为3g.

,8

【•点评】本题是相似联综合题目，考查了相似三用形的判定与性质、含30。，角的直角三角形的性质、三

角形面积的计算；本题综合性强，证向三角形相似是解袂问题的关键.

3.如图，ZVIBC中，NC=90°,AC=3c"i,BC=4cm,动点P从点8出发以2c，m/s速度向点c移动，同

时动点。从C出发以\cmls的速度向点A移动，设它们的运动时间为t秒；

(I)根据题意知：8=tcm,CP=(4-2f)cm；(用含，的代数式表示)

(2)/为何值时，△CPQ与aABC相似.

(2)设经过/秒后两三角形相似，则可分不列两种情况进行求解：①若RtZxABCsRt/XQPC,②若Rt

.△ABCsRtZsPQC,然后列方心求解....•..一

，【解答】解：(.1)，经过/秒同CQ=t,CP^4-2t,,*..,.,、

故答案为：r；(4-2f).

(2)设经过f秒后两'三角形相似，则可分下列鬲种情况进行求解，

.4cOC3t

①若RtAABC^RtACPC则一=一，即-=^―，解得r=1.2；

BCPC4421

■.▼，_i*・

PCAC4—2t31A

•②若RtZXABCsRdPQC则n=―,即一^=-；解得匚挣

由P点在BC边上的运动速度为2cm/s,0点需AC边上的速度为\crhls,-前求出「的取值.范围应该为b<

<2,

验证可知①⑪两种情况下所求的;均满足条件.

A

答：要使△C,P。与△CBA相似，运动的时网为1.2或K秒.

JLJL

【.点评】本题考查动点问题，相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的性质是解决问题的关键：特

别是(2)注意分类讨论.

4.在RtzMBC中，ZC=90°,AC=20cm,BC=\5cm,现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，

动点。从点C出发，沿线段C8向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点。的速度是2cm/s,它

•••,V-

们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时间为/秒.求：

(1)当1=3时，这时，P,。两点之间的距离是多少.

(2)当r为多少时，P。的长度等于4JIU?

(3)当f为多少时，以点C,P,。为顶点的三角形与ABC相似？

【分析】先由运动知，CQ=2tcm,CP=(20-4f)cm,再确定出0W7W5；

(1;先求出CP=8q",CQ=6cm,最后用勾股定理求出入。，即可得出结泠；1«

(2)利用勾股定理得出(4V10)2=(20-4〃2+(202,解方程，即冲出结峪；

(3)分①△CPQS/XCAB和②△CPQSACBA,利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得

出结论.

【解答】解：山运动知，AP=4lcm,CQ=2tcm,

VAC=20cw,

；.CP=(20-4r)cm,

•点尸在AC上盒动，

；忘

.420,<•・・♦

・・・W5,」，

・・,点。在3。运动，

•••2/W15,•''•'

K7.5,，.、，.，,,-

.0WW5,

(1)当f=3时，CP=8cm,CQ=6on,

在RtZkPCQ中，.根据勾股定理得，22=〃7干软=10(。〃)；.

%•,■/b|L>">w**bL>*i-wL>*

,7■.ga<^】、，

(2)在RtZSPCQ中，根据团股定理德，P^^Cf^+CQ2,

\'PQ=4y/10,

：.C4V10)2=(20-4r)2+⑵)2,»»

解得，r=2或匚6洛去)，

即当f为2时，PQM长度等于44U；

'j»*<r5|r,，

y*y<-..

(3):以点C,P,。为顶点的三角形与48c相似，且NC=/C=90°,

:.①丛CPQ?NCAB,

,.££_££--.

••—,

ACBC.

；20-4t2t''—•［、

••~-,

2015

■，f=3,t..’.’

②△CPQ二△GA,

.CP_CQ..

••=1,

BCAC・・，

.20—4t2t

••二—,

1520、

・户竺^

y--:,1

40

即当，为3或五时，以点C,P,。为顶点的三角形与ABC相似.

【点评】此题是相似形综合题,.主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解

本题的关键.:

,-JC«.一二、>•«,jfTTir

5.在Rt/VIBC中，*kc=90°,AC=Scm,BC=6cnt.现有动点P从点3出发，沿AC向点C方向运动,

动点。从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是2a”/秒，点。的速度建Icvn/秒，

它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为/秒.

(1)用含t的代数式表示RtACPg的面积S；

(2)当f=2秒时，P,。两点之间的距离是多少？

(3)当f为多少秒时，以点C,P,。为顶点的三角形与AABC相似？

【分析】(1)先由运动知，AP^2t,CQ=t,得出。尸=8-2/,最后用三角形的面积公式，即可得出结论：

(2)先求出CP三4小，CQ^lcm,最后用勾扁理亲解，即可得出结论］

'(3)分RtACPC^RtACAS或RtACPQ^RtAcBA两种情况，利用相似:角形的性质得出比例式，’建

立方程求解，即可得也结论.,•f.

■Mr**:<**A**

【解答】解：(1)由题意得：AP=2t,CQ=r，则CP=8-2/,

11

：.R^ACPQ的面积为5=件尸、CQ=*x(8—2t)x亡=的一/(owW4)；

^T-，，,..bj...,,■

'(2)山题意彳*AP=2t,CQ=t,则C尸二8-2f,/；.

当1=2秒时，CP=8丁2/=4c〃z,CQ=2cm.

在RtACPg中，由勾股定理得：PQ=〃P2+CQ2=V42+22=2V5cm；

(3)由题意得：M〃2f；CQ=f,则CP=8-27,

•.•以点C,P.Q为顶点的三角形与△居(?相似，且48C=NPCQ=9(T,

...分RtACPQ^RtACAB或Rt/\CPQ^Rt^CBA两种情况：

1QpQQ

①当RtACPg^RtACAB时，则一=—,

CACB

.8-2tt

・•,=—，

86

:/W|r./w--.■

解得：f=导秒；.，

cpco

②当RtaCPQSRt^CBA时，则==三,

CDCA

8-2tt

•*•—i

68

解得：t=考秒；...，.......

用此U学秒或仁考秒时,，以点C、P、。为顶点的三角形与△ABC相似：

【点评】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，二角形的面积公式，相似三角形的性质，用分类

讨论的思想解决问题是解本题的关键.•

6.如图，在平面直角坐标系中，点B(12,10),过点B作x轴的垂线，垂足为A.作y轴的垂线，垂足为

C点。从。出发，沿)，轴正方向以每秒1个单位长度运动；点E从。出发，沿x轴正方向以每秒3个单

位长度运动；点厂从B出发，沿BA方向以每秒2个单位长度运动.当E点运动到点A时，三点随之停

止运动.设运动时间为人

(1)用含，的代数式分别表示点E,点尸的坐标.

(2)若△OQE与以苫A,E,F为顶点的三角弦相似，求/的值.

【分析】(1)由题可得。E=3f,OD=l,BF=2t,易证四边形OA8c器矩形，从而可得AB=OC；^10,

BC=OA=12,从而可求出OE、AF,即可得到点E、b的坐标；

(2)1需分两种情加(①△OCES^AEF,②幺OO-A4FE),讨论，破后运用相似三角形的性质薪

可解决问题

【解答】解：(1)由题可奔OE=3/,OD=t,BF=2t.»

：8AJ_x轴，8cL轴，NAOC=90。，*

/./AOC=蝠AO=ZBCO=90J,

，加边形048c是矩形，

：.AB=OC,BC=OA.

VB(12,10),

/.BC=OA=]2,AlT=OC=]0,

：.AF=]0-2t,'AE=I2-3t,

.•.点E的坐标为(3/,,0),点尸的坐标为(12,JO-29..

(2)①当△ODEsZ\AEF时，

■■■■

"-00OE...

则有77二77，•

AEAF

;t3t：

②当△OQEs缚FE时，

二一ODOE*

则有=二7，

AFAE

.t3t.

-12-3tr

解得“=0(舍5,〃=6.

:点E运动到点/时，三点随之停止运动，.

；.3忘12,

."W4.

V6>4,

•*.f—6舍去,

【点评】本题主要考查了相似三角形的判些与性质、矩形的判定与性庙、轴对称的性质等知识，送用分

，A.x.>•.-

亲讨论的思想臭解力本题组关键.

7.如图(1),在△ABC中，ZC=90°,AC=Scm,BC=6cro.点P由点8出发沿8A方向向点A匀速运

动，同时点。由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2c〃?/s.作PDLAC于D,连接

PQ,设运动时间为f(s)(0<?<4),解答下列问题:

(1)设△AP。的面积为S,求S与f之间的函数关系式，并求出S的最大值;

时，AAP。是等腰三角形.

【分析1⑴根据乖件的定义得到/的=/c=9(r,根据相似一角形的性质得到答二卷求得必

6-13根据三角形石面积公式得到S=累(？.P0=12t•(6-.)=—1I+6t=一—1)2+苧:

A

根据二次函数的性质即可得到结论；

(2)当AP=Z。方寸，即10-2f=2f,当AQ^QP时，如图1,过Q相于E,根据相似三疳形的

5-t2tf-f10-2tti

性质得到7-=G，当AP=P。时，如图2,-：PD±AC,根据相似三角形的性质得到一行一=1解方

程即可得到结论.

【解答】解：(1)'：PD±AC,

，/PZM=NC=90°,

XV44=乙4,

.△A3PsA4C8,

APPD

'AB~BC'

・42=8。〃，BC=6cm,ZC=90°,

.AB=\0cm,

%J^r1.,__«--，・

・AP=10-2f,4Q=2f,'二二

_1_0_-_2_t——MD

10____6

.PD=6-1tf

•♦♦

・S=,PD=12£,(6—等)=-3产+6t=—(t—))2+

-0<r<4,''^

..t二|时，S有最大值是手；,.

(2)&4P=AQ时，即10-4=*

解得：t=?,

Z-

当AQ=QP时,如图1,过，。作QELAP于卢,

1

：.AE=^AP=5-r,,

z

•二NA=N4NAEQ=NC=90°,

：./\AEQ^/\ACB,

.AEAQ

•.=,

ACAB

1•_5—t2t.

810

解得：t=lf,

当AP=P。时,，如图2,-：PD±AC,

：.AD=夕。=「，

J，">

u：l\ADPs丛ACB,

.4PAD

••—,

ABAC

（_1_0_—_2_t_t.

••-'=一,

108

而得：£=瞿「,

52540

综上所述，当r的值为3或6或^时，,△APQ是等腰三角形，

【点评】本题考查了相似•:角形的判定和性质，勾股定理，等腰二角形的性质，（3）分类讨论是解题的

二关键.・？.1W.，.一;..V

8.如图，在△ABC中，BA=BC=\2cm,AC=16cm,点P从A点出发，沿A5以每秒3cm的速度向3点

•,,▲1A

运动，同时点。从。点出发，沿CA以每秒4c〃?的速度向A点运动，设运动的时间为x秒.

（1）当X为何值时，△AP。与4008相似？

（2）当受”=工时，请直接写出醇2的值.

SAABC4S"BC

，_\L

・■

【分析】⑴分两种情况，根据相似三角形的性质列比例式求解即可:⑥当△APQsaCQB时；②当^

APQsACBQ时广

(2)先由出出=当得出C。的长，从而可得A’Q的长，再由点P和点。而速度，可得AP的长，从而

s4ABe4

P»L^5f―.^QT**•

8P的长可求，根据等高三角形的面积比等于高所在的底边之比，可求的答案.

【解答】（].）解：由题意得：•

*•,■

AP=3x,QC=4xtAQ=\6-4x

：.BA=BC

•••NA=NC^.^

④当△4”?JgcQB时

CQBC

■—s____

AP-AQ..

.4x12

••~~~*=_

3X16-4X

解得：X=[.,..

».>-■f.

②当△APQSACBQ时

CQ__B£4、

AQ「AP

•4，_12

"16-4X-3x.

解得：xi=-2+2西，;2-2V5（含去）

综上所述，当x=（或-2+2西时，A4PQ与△CQ8相似.

（2）由图形可施，当衿”=工时，^=-

S"BC，4AC4

►*

^：AC=\6cm"

:・CQ=4cm,AQ^Uem1

•・,84=30=12。外唐尸从4,点出发，沿A3以豫秒3o左的速度向8点运现，同时点。从C点出发，消

CA以每秒4cm的速度向

：.AP=3cmfBP=9cm

.S&BPQ93

S〉AQB124

..S&BCQ1•JI'

•=1J

S"BC4

.S&AQB_3

S^ABC4

,S&BPQ_S&BCQS&AQB_339

S^ABCS△月8cS“BC，4416.

.•・醇的值黑.」.一

S"BC16，

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等高三角形的面积问题等知识点，熟练掌握相关性质定

理并数形结合，是解题的关键.

9.如图1,RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发，在BA边上以每秒3aM

的速度向点A匀速运动，同时动点。从点C出发，在CB边上以每秒2c机的速度向点8匀速运动，运动

时间为r秒（0<f<2）,连接PQ.

（1）若ABP。与AABC相似，求r的值；

（2）（如图2）连接AQ,CP,若AQLCP,求/的值.

BB

【益析】⑴根据勾股定理求分△BPQ/ABAC、咽种情况，’根据相似三角尼第

快质列出比例前可算加乎>.>,>

(2)过尸作PM_L8C于点M,AQ,CP交于点M则有尸8=57,PM=3t,8Q=8-4f,根据zMCQs

△CMP,得出AC：CM^CQ：MP,代入计算即W.

【解答】解：(1)①当△8PQs/^54c时,

BPBQ

'：—=一,BP=3t,QC=2t,AB=Wcin,BC*cm,

BABC-.--

.3t8-2t

*'10-8

20

・•・t.=yp

②当△3P0S/\8CA时，

U9BP_BQ_...

'~BC_~BAf°■:，，，・■•,■,..

.8-2t3t

•010~•JL1

.「32

"t=23;,，

on20

.」=篇或一时,，△BP。与Z\ABC相似；

11

(2)如图所示；过户作PM^BC于点M,AQ,CP交吉点、N,

Q12.19

则有PB=33PM=[t,BM=芳3MC=8--yt,

,：ZNAC+ZNCA^^,/PGW+NNCA=90°,

.•./NAC=Z尸CM且N4CQ=NPMC=90°,,-

：./\ACQ^^CMP,

.ACCQ

"CM~MP'♦

62t

【点评】此题辱相似形练金题，主要考查了事似三角型的判定与性呵，多股定理;直角三角形段性即

等脾三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.

10.如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC=\0cm,8c=16c九点。由点A出发沿A8方向向点8匀速运

动，同时点E由点8出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为lc"?/s.连接DE,设运动时间为

t(.<)(0</<10),解答下列问题：

(1)当f为何值时，△BDE的面积为7.5C,〃2；

(2)在点£>,E的运动中，是否存在时间f,使得△BOE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间r；

若不存在，请说明理由.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形边8E的高即可求解;

(2)根据等腰三角形和相似三角形的的定和性质分两种情况说明‘即可.

■

【解答】解：（1?分别过点。、A作。AGA.BC,垂足为尸、G

>'.gifTrir*一9fQ

如图

9

：AB=AC=\OfBC=[6：.BG=&f：.AG=6.

'：AD=BE=t,1.80=10-3

■DF10-t

••—■一

610

<:，■■<-->*0.fx<*•*jTf

Q*A，>>'*A，*>

解得。9=耳(to-t)

•••♦/

1，

・：S»BDE=”E・DK=7.5

3

A-(10-r)y=15

5.•

,解得f=5.J々”.‘°・々'J

答：/为5秒时，ABDE的面积为7.5C/M2.»J'

存在.理由如下：

(2)/ff,,

①当时，ABDEs^BCA,

BEBDt10-t

—=—即nn—=----,

ABBC1016

解得/=涔."，,，1'''►二，，•.―

②当BD-DE^yABDESABAC,

BEBDt10-t

—=—BP--=-------,

BCAB1610

解得仁胃J

■■..

SORO

♦答：存在时间f为一^一;秒时，使得△8DE与△4Bd相似.

.1313

'【点评】本题考古f相似三角形吃判定和性庙：等腰三角形的性质，解状'本题的关键是动点变化过程中

••^

形成不同的等腰三角修.■人^,^,

11.如图，平面直角坐标系中，菱形OABC的边0A在x轴正半轴上，。4=10,cosNCQ4=|.一个动点尸

从点0出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段0A方向运动，过点P作PQLOA,交折线段OC-CB

于点Q,以PQ为边向右作正方形PQMN,点、N在射线04上，当尸点到达A点时，运动结束.设点P

的运动时间为［秒（r>0）.

（1）C点的坐标为（6,8）,当1=7时N点与A点重合:

（2）在整个运动过痛中，设正方形PQMN与嶷0ABC的重合部分面积为S,直接写出S与r之间的'函

数关系式和相应的日变量，的取值范围；

（3）如图2,在运动过程中，过点。和点B的直线将正方形PQMN分成了两部分，请问是否存在某一

1

时刻，使得被分成的两部分中有一部分的面积是菱形面积的g?若存在，请求出对应的/的值；若不存在，

请说明理由.

【分析】（1）根般菱形的性质得出0A=0C,最根据三角函数求出点C温标即可，根据。4=10,编

建方程求解即前

（2）根据面积公式列，出函数关系式，注意动点运动时的.几种情况，得出自变量的成值范围；

（3）根据被分成的两部分中有一'部分的面积是菱形面积的;，画出图示，分几种情况进行讨论解答.-

【解答】解：（1）二菱形0ABe中，04=10,

・・・"=10,

VcosZC0A=p,

・••点C的坐标为：（6,8）,

・・•动点尸从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段0A方向运动，

30P

VcosZCO>4=|=^,OP=t,

•；。4=10,N点'与4点重合，

4、・

・・.-，+,=10,

3.••

・30

1,r=T

.••G当时，N点与A点重合；，

（2）①0之tM苧,5=绛2,

„3050280200

②——VtW6,S=———t7+-----1-------,

J7,2793

③6VtW8,S=一|严+9+噤：:

④8<W10,,S二104-8f；

•••-

（3）S奏畛=80,,宜线08过原点（0,0）,8点\1618）,故直线。8解析次为y=*,

•„1„,15tt4t•广

右S两边形QEFM=耳S说,叱（7+6）-T=16，口=2倔

者S四边形EPNF=GS菱形,则5（5+1）]=16」2=耳同，

②当6V/W8,EP=1,EQ=8-1,FN="4,FM=4一5.

若S四边形EPNF=2s菱形则5«+4）•8=16；f=0（舍），

♦•♦*>♦

11

•若S龈施EFM=/荔，则5（12-t）•8=16，/3=8;

③810,不存在符合条•'件的/值.

【点评】此题考查的是函数综合题，难度比较大»关键是运用四边形的性廨和面积•公式进行分析，注藏

出现的几种情况讨论，不能漏解.

*X

12.如图，Rt/VIBC中，ZACB=90a,AC=6cm,8C=8an,动点P从点8出发，在区4边上以每秒5c〃?

的速度向点A匀速运动，同时动点。从点C出发，在CB边上以每秒4c机的速度向点3匀速运动,■■运动

时间为I秒(0<r<2),连接P。.

(1)若△BP。与aABC相似，求f的值；

(2)连接42、CP,若AQLCP,求f的值.

【芬析】(「)分两恸青况，「①雪时，BP-BA=BQ-.BC；第ABPQ晨ABCA时，BP：

BC=BQ：BA,*根据、P=5f,QC=4t,AB=\Ocm,BC=8cm,代入同等即可；

(2)过P作PM_LBC于点M,AQ,CP交于点N,则有PB=5r,PM=3t,MC=8-4t,根据△ACQs

△CMP,得出AC：CM^CQ：A/P,代入计算即句.

【解答】解；根据勾股定理得：84=府不/=10;

,(1)分两种情况讨论：

「■",BPBQ

①当△8PQS\8AC时，一=—,

2BABC

\'BP=5t,QC=4f,AB=10,8C=8,

5t8-4t…gr

—=一~一，解得，r—1,

108

.BPBQ

②*BPQs/\BCA时，—=—,

5t8-4C，片?2

.••1=刀~',麻，得'Z=41：

32.

.\r=l或一时,，XBPQSXBCA；

41

(2)过P作PM_L8c于点M,AQfCP交于点N,如图所示:

则PB=5t,PMKt,A7C=8-4t,

；/NAC+NNCA=90°，./尸dW+/NCA=90°.,

：.4NAC=乙PCM,

•；ZACQ=ZPMC,

■

【点评】本题考杳了相似三角形的判定与性质；由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键.

13.如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴上，NOC£>=NO=90°,AO=OC=10c，〃，CD=6cm.

•••

(I)请求出点A的坐标.

(2)如图2,动点P、。以每秒Itro的速度分别从点。和点C同时出发，点尸沿OA、AD,0c运动到

点C停止，点。沿C。运动到点。停止.设P、Q同时出发，秒.

①是否存在某个时间f(秒)，使得△。尸。为直角二角形？若存在，请求出r的值；若不存在，请说明理

由.

【分析】(1)做AEL0C,根据平行线的性质推出的长度，然后运用勾股定理即可推出MA的长度，

即可推出A点的坐标：

(2)①作AN±0A,设与0C的延长线交于N点,延长DA到y轴，设与y轴交于点M,通过求证人

OAMsaNA。,-推出0N=郛m再分情况进行讨论.若NOPQ=90°,则为直角

'三角形，由PQ〃AM推向詈=算即可求出仁铮若NOQP=90°子则公。尸。为直角三角形，施

过求证NAONS*QOP,隹出—=—即司求出i=咨所以Wt=萼却7?或若f=孚cm时，ZXOPQ

ONOAv，丫

为鲁角三角形；

②作那10P视作底边，山”〃AN,推出先=嬴，再由OQ=10-3AN=?ON/

J，.TV'J/V■_<«^****

推出高。〃的长度，然后根据0P=f,即可■推出5=-2产+3£（o〈yi0）.

【解答】解：（1）如图1,作4EJ_0C’于E.

•••ZOCQ=NC=90°,・、••

：.AD//OC,

、：CD=6cm,'1k

••AE=DC=Gci7itf.

・/04=OC=10。小

.'.0E=Scm,

•**

・"(8,6)；-.

•_A",j•Jk"——A

(2)作4VL04,设与。C的延长线交于M点:，延长ZM,与y轴交手点日.

①如图2,

：.AM±OMf

；.DM//0C,

'：A(8,6),

.'.AM=8c〃？，OM—CD—6cm,

・・・ZAON=ZMAO,

,♦1L二二一

/AMO=/OAN=90°

:.XOMAS*NAO,•・

.OMMAOA

9,AN~AO~ON'

,;dM=6cm,AM=ScmfOA—\Ocm,

15?5

/.AN=-^-cm,ON=gam,

如图，若NOPQ=90°,则AOP。为直角三角形,

：.PQ//AN,

.OPOQ

••=,

OAON

,:P,。两点的运动时间为I秒，OC=