2020-2021学年山东省高二（上）期中数学试卷 (一)人教A版

的数学问题一"将军饮马"问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样

2020・2021学年山东省高二（上）期中数学试卷

走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为/+y2工2,若将军从点4（3,0）处出发，河

一、选择题（共8小题）岸线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则"将军饮马”的最短总路程

为（）

1.直线k：ax+2y+a=0与直线％：2%+ay-Q=0互相平行，则实数a=（）

A.2V5B.\j7-V2C.V17D.3-鱼

A.-4B.4C.-2D.2

7.已知Fi，F2分别为双曲线。$一卷=1（。>0">0）的左、右焦点，点力在双曲线上，且“遇尸2=60°,

2.如图，已知三极锥。一48C,点M.N分别是。4,8c的中点，点G为线段MN上一点，且MG=2GN,若记

若，04F2的角平分线经过线段OF2（。为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（）

OA=a,OB=b,OC=c,则成;=()

A.V7B.yC.V14D.当

8.椭圆捺+，=l（a>6>0）上一点4关于原点的对称点为8,尸为其右焦点，若AF工BF,设乙谢=a,且

aw成,J则该椭圆离心率的取值范用为（）

A.停,1]B.停,中C.停,1）增净

B.-a+-b+-c二、多选题（共4小题）

336

D.-a+-b+-c正方体成⑺一公%口为中，E、F、G、，分别为CQ、BC、CD、881的中点，则下列结论正确的是（）

663

3.若圆Ci：/+y2=i与圆c?：/+*-6x-8y+m=0外切，则m=<）

A.21B.19C.9D.-ll

4.已知2=（2,—1,2）,b=（-1,3,-3）,c=（13,6,A）,若向量工b,K共面，贝以=（）

A.B[G1BCB.平面产n平面=ADy

A.2B.3C.4D.6C.&H〃面4EFD.二面角E-AF-C的大小为彳

4

5.对抛物线y=4M,下列描述正确的是（）

A.开口向上，焦点为（0,1）B.开口向上，焦点为（0,勺已知直线xsina+ycosa+1=0（aGR）,给出下列命题正确的是（）

A.直线的倾斜角是朽-a

C.开口向右，焦点为（1,0）D.开口向右，焦点为（0,劫

B.无论a如何变化，直线不过原点

C.无论a如何变化，直线总和•个定圆相切

D.当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴阐成的三角形的面积不小于1

6.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣

已知曲线C的方程为三+恶=l(k€A),则下列结论正确的是()

已知过点M(0,2)且斜率为k的直线/与圆C：(x-l)z+y2=1交于48两点.

A.当〃=4时，曲线C为圆

(1)求斜率k的取值范围;

B.当k=0时，曲线。为双曲线，其渐近线方程为y=±6x

C."k>4"是"曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件

(2)以点M为圆心，r为半径的圆与圆C总存在公共点，求r的取值范围;

D.存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为我

(3)0为坐标原点，求证：直线。4与OB斜率之和为定值.

已知F［、F2是椭圆(?吟+5=1(。>6>0)的左、右焦点，M、2是左、右顶点，e为椭圆。的离心率，过右

如图，四面体48co中，平面。力C_L底而48C,AB=BC=AC=4,AD=CD=2>/2,。是24c的中点，E是80

焦点尸的直线与椭圆交于两点，已知京月=族，设直线力的斜率

2।48LLO,342\AFr\=2\AF2\,B的中点.

为k,直线和直线4V的斜率分别为k2,直线BM和之间BN的斜率分别为自，k4,则下列结论一定正

确的是()

A.e=yB.k=1C.k］•七=一gD.&•七=g

三、填空题(共4小题)

已知点P(2,-3),Q(3,2),直线ax+y+2=0与线段PQ相交，则实数a的取值范围是.

(1)证明：DOJ_底面48C：

如图所示，在正方体4凤:0-&8传1。1中，M为极CCi的中点，则异面直线85与4M所成角的余弦值为

(2)求二面角。一AE-C的余弦值.

已知中心在原点的双曲线的渐近线方程是y=±V3x,且双曲线过点(四,V3)

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线右焦点尸作倾斜角为押J直线交双曲线于4B,求|力叫

若a/IBC的两个顶点坐标做-4,0)、B(4,0),a/IBC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为.

已知在四棱锥P-ABCD中，底面A8C0是边长为4的正方形，△P4。是正三角形，CD1平面P4D,E,F,

0分别是PC,PD,BC,AD的中点.

设尸1，Fz是双曲线1的两个焦点，P是该双曲线上一点，且伊氏|:仍尸2|=2：1，则4「尸/2的面积等(I)求证：P0，平面力BCD；

(口)求平面EFG与平面力BCD所成锐二面角的大小；

于________

(ID)线段PA上是否存在点M,使得直线GM与平面EFG所成角为也若存在，求线段PM的长度：若不存在，

四、解答题(共6小题)

说明理由.

已知P(3,2),一直线!过点P.

(1)若直线［在两坐标轴上截距之和为12,求直线，的方程:

(2)若直线，与4、y轴正半轴交于4、8两点，当ZiOAB面积为12时，求直线，的方程.

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已知椭圆。与+5=19>6>0)的离心率。=当，且圆/+y2=2过椭圆C的上，下顶点.

(I)求椭圆C的方程.

(2)若直线，的斜率为右且直线I交椭圆。于P、Q两点，点P关于原点的对称点为E,点4(一2,1)是椭圆C

一点，判断直线AE与力Q的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理由.

4.

【答案】

参考答案与试题解析

B

【考点】

2020-2021学年山东省高二(上)期中数学试卷

共线向量与共面向量

一、选择题(共8小题)【解析】

1.根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于耍求的两个方程组，解方程组即可.

【答案】【解答】

D

解：=a=(2,-1,2),b=(-1,3,-3),K=(13,6,义)，三个向量共面，

【考点】

直线的•般式方程与直线的平行关系

a=xb+yCf

【解析】

根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值.•1.(2,—1,2)=x(-l,3,-3)+y(13,6,A)

【解答】t-x+13y=2

直线匕:ar+2y+Q=0与直线％：2x+ay-a=0互相平行,j3x+6y=-1

l-3x+yA=2

QH0,且？=:不W,

a2a

卜=一三

9

则实数a=2,解得“y=l

2.J9

、入=3

【答案】

故选:B.

C

5.

【考点】

共线向量与共面向量【答案】

【解析】B

利用向量三角形法则、向量共线定理、平行四边形法则即可得出.【考点】

【解答】抛物线的性质

【解析】

OG=OM+MG,MG=^MN,MN=ON-OM,OM=^OA=1a,ON=+OC)=|(d4-c),

根据二次函数的性质进行判断.

【解答】

可得：OG=：a+[b+：c.

,/a=4>0,

3.二.图象开口向上，

【答案】焦点为(0噌).

C

6.

【考点】

圆与圆的位置关系及其判定【答案】

圆的切线方程B

【考点】

【解析】

直线与圆的位置关系

化两圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，由两圆心间的距离等于半径和列式求得m值.

【解析】

【解答】

求出4关于x+y=4的对称点4',根据题意，AC-/为最短距离，求出即可.

由G：/+y2=i,得圆心G(0,0),半径为1,

【解答】

由圆C2：/+y2-6x-8y4-m=Q,得(％-3)2+(y-4)2=25-m,

设点4关于直线x+y=4的对称点4(a,b),设军营所在区域为的圆心为。，

圆心Cz(3,4),半径为"25-m.

根据题意，HC-/为最短距离，先求出A的坐标，

V圆Ci与圆Cz外切，

V32+42=\/25-m+l,41’的中点为(等，9,直线44的斜率为1,

解得：m=9.

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故直线44为y=x-3,\BF\=2ccosa…③

fa+3b.

由|一二+5=4,联立得②③代入①2csina4-2ccosa=2a

kb=a-3...£=_1_

故a=4,b=l,asina+cosa

所以41=、42+12=后,

即。=-------=-=■--——科

故HC-V2=VI7-伉sina+cosaV2(sin(a+-)

7.

■­'a呜中，

【答案】

B<ar+TT/4<

【考点】

双曲线的离心率y<sin(a+^)<1

【解析】

先假设A在右支上，利用角平分线的性质和双曲线定义可求出|4FJ,lAFzl与。的关系，然后在一:角形中利用

余弦定理化简即可求解.

二、多选题(共4小题)

【解答】

【答案】

设OF?的中点为M,另设|力月|=772,|4尸2|=71,假设人在双曲线的右支上，

B,C

由角平分线的性质可得巴=鹄=露，

【考点】

n\AF2\\MF2\

二面角的平面角及求法

又M是OF2的中点，则T=苧=3,

直线与平面垂直

根据双曲线的定义可得：m-n=2a,所以m=3a,71=a,直线与平面平行

则在三角形4F/z中，由余弦定理可得：cosz&AFz=必翳之，【解析】

建立空间坐标系，求出各向量坐标，利用向量的平行和垂直关系判断.

所以cos6(F=驾冲丝=：,化简可得0=：,即£=¥，

2x3axa2a24a2

所以双曲线的离心率为?，

8.

【答案】

B

【考点】

椭圆的离心率

【解析】

设左焦点为F',根据椭圆定义:|4F|+MF'|=2a,根据8和4关于原点对称可知|8F|=|4Fl,推知|4F|+

\BF\=2a,又根据。是取△48F的斜边中点可知|48|=2c,在Rt△48尸中用a和c分别表示出|4用和|8/|代入

设正方体棱长为1,则4(1,0,0),E(0,1,1),F(p1,0),8式1,1,1),G(0,0),

\AF\+|BF|=2a中即可表示出洲离心率e,进而根据a的范围确定e的范围.

H(l,1,1),冬(1,0,1),8(1,1,0),C(0,1,0),

【解答】

8和总关于原点对称A；H=(0,1,-i),AF=1,0),FE=0,1),疝=(-1,0,1),BC=(-1,0,0),

B也在椭圆上

设左焦点为F

BiG=(-1,-1),

根据椭圆定义：\AF\+\AF'\=2a

又\BF\=\AF'\:.\AF\+\BF\=2a...①

ADr=2FE,/.AD//EF,

0是我亡△48F的斜边中点，\AB\=2cX

又|4F|=2csina...②平面4EF与平面AOO14的交线为4。1，故8正确:

8；G•h=1*0,，81G与BC不垂直，故力错误；k>6时，曲线C为双曲缥其离心率为‘=等'甯，如果甯=历可得—=1,无解,

设平面4EF的法向量为益=(x,y,z),则［二蒜―，所以霁K遮

{Tn,rc=u

-^x+y=0.»及<2时，笔^等.然后暮=也可得4_=6-3显然不成立，所以等,扬所以。不

ii，令y=1可得m=(2,1,2),

x+z=

{~22°正确.

【答案】

AiH-m=0+l-l=0,A〃平面Z1EF,故C正确；

【考点】

平面ABCO的一个法向量为1=(0,0,1),

椭圆的离心率

【解析】

cos<tn,n>=bnllnl=—=

1"13X13过点尸2作用8的平行线，交AFi于点E,设内川=2匕旧川=43可得AB|=53由椭圆定义可得。=

3t.|BF/=|BF2|=3t,在△EF/2中，由勾股定理可得：c,b即可判断AB的正误，

设二面角E-AF-C的大小为8,则cos。=全故。错误.

叫&=号£=言=学学即可判断。正误.

【答案】设4(x,y),=T=T

BCD【解答】

【考点】

命题的真假判断与应用

直线的倾斜角

【解析】

根据倾斜角的范围，可判断力：将(0,0)代入直线方程，可判断&将原点和直线方程代入直线距离公式，可

得直线总和单位圆相切，可判断C：求出-:角形面积公式，结合三角函数的图象和性质，可判断D.

【解答】

根据倾斜角的范围为［0,7T)，而又一。6/?,可知4错误；

当x=y=。时，xsincr+ycosa+1=1*0,故直线必不过原点，故B正确：

原点到直线的距离d=L故宜线总和单位圆相切，故C正确：

当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的二•角形的面积S=J|‘一|二』二1,故。正确：4F「8Fi=0,过点尸2作&B的平行线，交于点

21sinacosa'|sm2a|

【答案】E,AFi1EFi-

设|七川=2t,因川=43

A,B

【考点】又3欣=2蠢,：.\AB\=5t,

充分条件、必要条件、充要条件

1BFi，]FiB\=3t,12t=4a,a=3t.

曲线与方程AFY

\BF1\=\BF2\=3t=a,/.B(0,b),

双曲线的离心率

在AEFiF2中，FFi=^AF=^,EF=lBF=j,2c,

121FYF2=

【解析】

通过〃的值，判断曲线的形状，然后判断选项的正误即可.

EF；+EF/=F[琦，；.c=^=,b=y/a2—c2=-^=,

【解答】