《4.4数学归纳法》教案、导学案与同步练习

《4.4数学归纳法》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数学归纳法前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。但由于有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.了解数学归纳法的原理.B.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1.数学抽象：数学归纳法的原理2.逻辑推理：运用数学归纳法证明数学命题3.数学建模：运用多米诺骨牌建立数学归纳法概念【教学重点和难点】重点：用数学归纳法证明数学命题难点：数学归纳法的原理.【教学过程】教学过程教学设计意图一、知识回顾在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{an}的通项公式an=a1+n-1d等，但并没有给出严格的数学证明，那么，对于这类与正整数探究1.已知数列{an}满足，a1=1,an+1=计算a2，a3，a分析：计算可得a2=1

，a3=1

，a4=1

，再结合a1=1

，由此猜想：思路1.我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数n有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但n当较大时，验证起来会很麻烦。特别当n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下。探究2.你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an=1(n∈（1）第一块骨牌倒下；（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜想成立；a1（2）若n=k时猜想成立,即ak=1则当n=k+1时,ak+1=12-根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立.所以，对于任意正整数n，猜想都成立，即数列{a_n}的通项公式是a_n=1.数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立归纳递推→以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.二、典例解析例1.用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d

an=a1+对任何n∈N分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明n=1时命题成立。第二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果n=k时,①式正确的，那么n=k+1时①式也是正确的.证明：（1）当n=k时，左边=a1

，右边=a1+0×d=（2）假设当n=k(k∈N*)时，

ak=a1根据等差数列的定义，有

ak+1-a于是ak+1=a=a=a1

=a1

即当n=k+1时，①式也成立由（1）（2）可知，①式对任何n∈N用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.跟踪训练1求证:1-12+13-14+…+1证明:①当n=1时,左边=1-12=1②假设n=k(k∈N*)时,1-12+13-那么当n=k+1时,1-12+13=1k+2+1k+3+…+=1(k+1)+1+综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.例2已知数列11×4,14×7,17×10,…,1(3n-计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.解:S1=11×4S2=14S3=27S4=310可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是可以猜想Sn=n3n+1下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1时,左边=S1=14右边=n3n+1猜想成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即11×4+14×7+17×10+…+=3所以,当n=k+1时猜想也成立.根据(1)和(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.跟踪训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.解:由a1=2-a1,得a1=1;由a1+a2=2×2-a2,得a2=32由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=74由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=158猜想an=2n下面证明猜想正确:(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当n=k时猜想成立,则有ak=2k当n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=12[2(k+1)-Sk=k+1-12所以,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可知,an=2n通等差数列通项公式的获得，引出问题。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。类比多米诺骨牌，经历观察、分析、比较、抽象出数学归纳法的原理。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模的核心素养。通过典型例题，帮助学生掌握数学归纳法在证明关于正整数有关的命题。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。三、达标检测1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*),在验证n=1A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a3解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.答案:C2.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是()A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.答案:C3.已知f(n)=1+12+13+…+1nf(2)=32,f(4)>2,f(8)>52,f(16)>3,f(32)>72答案:f(2n)>n+24.用数学归纳法证明:122+132+…+解析:从不等式结构看,左边n=k+1时,最后一项为1(k+2)2,前面的分母的底数是连续的整数,右边n=k+1时,式子为12答案:1225.用数学归纳法证明:当n≥2,n∈N*时,1-141-19证明:(1)当n=2时,左边=1-14=34,右边=(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,即(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1那么当n=k+1时,(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1=k+12k·[1-1(k+1∴当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】由于教师不仅是知识的传授者，而且也是学生学习的引导者、组织者和合作者。所以我采用“问题情景---建立模型---求解---解释---应用”的教学模式，启发引导学生通过对问题的亲身动手探求、体验，获得不仅是知识，更重要的是掌握了在今后的发展中用这种手段去获取更多的知识的方法。这是“教师教给学生寻找水的方法或给学生一杯水，使学生能找到一桶水乃至更多活水”的求知方式。多媒体可以使教学内容生动、形象、鲜明地得到展示。《4.4数学归纳法》导学案【学习目标】1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.【重点和难点】重点：用数学归纳法证明数学命题难点：数学归纳法的原理.【知识梳理】数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基→证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立归纳递推→以当“n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立”为条件,推出“当n=k+1时命题也成立”只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.【学习过程】一、新知探究在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{an}的通项公式an=a1+n-1d探究1.已知数列{an}满足，a1=1,an+1=计算a2，a3，a问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？我们先从多米诺骨牌游戏说起，码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下。这样，只要推到第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下，就可导致第3块骨牌倒下；……，总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。问题1：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？问题2：你认为条件（2）的作用是什么？如何用数学语言来描述它？探究2.你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an=1(n∈二、典例解析例1.用数学归纳法证明：如果{an}是一个公差为d

an=a1+对任何n∈N用数学归纳法证明恒等式时,应关注以下三点:(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;(2)弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;(3)证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.跟踪训练1求证:1-12+13-14+…+1例2已知数列11×4,14×7,17×10,…,1(3n-计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.(1)“归纳—猜想—证明”的一般环节(2)“归纳—猜想—证明”的主要题型①已知数列的递推公式,求通项或前n项和.②由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题,求使命题成立的参数值是否存在.③给出一些简单的命题(n=1,2,3,…),猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题.跟踪训练2数列{an}满足Sn=2n-an(Sn为数列{an}的前n项和),先计算数列的前4项,再猜想an,并证明.【达标检测】1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=1-an+21-a(a≠1,n∈N*),在验证n=1A.1 B.1+aC.1+a+a2 D.1+a+a2+a32.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是()A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)3.已知f(n)=1+12+13+…+1n(n∈N*),计算得f(2)=32,f(4)>2,f(8)>4.用数学归纳法证明:122+132+…+5.用数学归纳法证明:当n≥2,n∈N*时,1-141-19【课堂小结】【参考答案】知识梳理学习过程一、新知探究探究1.分析：计算可得a2=1

，a3=1

，a4=1

，再结合a1=1

，由此猜想：思路1.我们可以从开始一个个往下验证。一般来说，与正整数n有关的命题，当比较小时可以逐个验证，但n当较大时，验证起来会很麻烦。特别当n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的。因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法。问题2：可以看出，条件（2）给出一个递推根据（关系），当第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下。探究2.（1）第一块骨牌倒下；（2）若第K块骨牌倒下时，则使相邻的第K+1块骨牌也倒下根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下。（1）当n=1时猜想成立；a1（2）若n=k时猜想成立,即ak=1则当n=k+1时,ak+1=12-ak根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立.所以对于任意正整数n，猜想都成立，即数列{an}的通项公式是an二、典例解析例1.分析：因为等差数列的通项公式涉及全体正整数，所以用数学归纳法证明的第一步应证明n=1时命题成立。第二步要明确证明目标，即要证明一个新命题：如果n=k时,①式正确的，那么n=k+1时①式也是正确的.证明：（1）当n=k时，左边=a1

，右边=a1+0×d=（2）假设当n=k(k∈N*)时，

ak=a1根据等差数列的定义，有

ak+1-a于是ak+1=a=a=a1

=a1

即当n=k+1时，①式也成立由（1）（2）可知，①式对任何n∈N跟踪训练1证明:①当n=1时,左边=1-12=1②假设n=k(k∈N*)时,1-12+13-那么当n=k+1时,1-12+13=1k+2+1k+3+…+=1(k+1)+1+综上所述,对于任何n∈N*,等式都成立.例2解:S1=11×4S2=14S3=27S4=310可以看出,上面表示四个结果的分数中,分子与项数n一致,分母可用项数n表示为3n+1.于是可以猜想Sn=n3n+1下面我们用数学归纳法证明这个猜想.(1)当n=1时,左边=S1=14右边=n3n+1猜想成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即11×4+14×7+17×10+…+1所以,当n=k+1时猜想也成立.根据(1)和(2),可知猜想对任何n∈N*都成立.跟踪训练2解:由a1=2-a1,得a1=1;由a1+a2=2×2-a2,得a2=32由a1+a2+a3=2×3-a3,得a3=74由a1+a2+a3+a4=2×4-a4,得a4=158猜想an=2n下面证明猜想正确:(1)当n=1时,由上面的计算可知猜想成立.(2)假设当n=k时猜想成立,则有ak=2k当n=k+1时,Sk+ak+1=2(k+1)-ak+1,∴ak+1=12[2(k+1)-Sk=k+1-12所以,当n=k+1时,等式也成立.由(1)和(2)可知,an=2n达标检测1.解析:当n=1时,左边=1+a+a1+1=1+a+a2,故C正确.答案:C2.解析:当n=k时,左边是共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.答案:C3．答案:f(2n)>n4.解析:从不等式结构看,左边n=k+1时,最后一项为1(k+2)2,前面的分母的底数是连续的整数,右边n=k+1时,式子为1答案:1225.证明:(1)当n=2时,左边=1-14=34,右边=(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时等式成立,即(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1那么当n=k+1时,(1-14)(1-19)(1-116)…(1-1=k+12k·[1-1∴当n=k+1时,等式也成立.根据(1)和(2)知,对任意n≥2,n∈N*,等式都成立.《4.4数学归纳法》基础同步练习一、选择题1．用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是（）A．B．C．D．2．用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．B．C．D．3．用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．以上说法都不对4．用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，时，为了使用假设，应将变形为（）A．B．C．D．5．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（）A．增加一项B．增加两项、C．增加，且减少一项D．增加、，且减少一项6．（多选题）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（）A．B．C．D．二、填空题7．用数学归纳法证明命题“1++…+(n∈N+，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是________.8．用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.9．用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________项（填多少项即可）．10．已知，用数学归纳法证明时，_________．三、解答题11．在数列中，（1）求出并猜想的通项公式；（2）用数学归纳方证明你的猜想.12．观察下列等式：．．．．．．按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．《4.4数学归纳法》答案解析一、选择题1．用数学归纳法证明时，第一步应验证的不等式是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】∵，，∴所取的第一个正整数为2，又，故第一步应验证．故选：B2．用数学归纳法证明等式（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到3．用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是（）A．第一步应该验证当时不等式成立B．从“到”左边需要增加的代数式是C．从“到”左边需要增加项D．以上说法都不对【答案】D【详解】第一步应该验证当时不等式成立,所以不正确；因为，所以从“到”左边需要增加的代数式是，所以不正确；所以从“到”左边需要增加项，所以不正确。故选：D4．用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，时，为了使用假设，应将变形为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】解：假设当时，命题成立，即能被3整除，则当时，．故选：A.5．用数学归纳法证明不等式：，从到，不等式左边需要（）A．增加一项B．增加两项、C．增加，且减少一项D．增加、，且减少一项【答案】D【详解】由数学归纳法知：若时，不等式成立，则有：成立，那么时，有：，∴，综上知：不等式左边需要增加、，且减少一项,故选：D6．（多选题）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为（）A．B．C．D．【答案】CD【详解】取，则，不成立；取，则，不成立；取，则，成立；取，则，成立；下证：当时，成立.当，则，成立；设当时，有成立，则当时，有，令，则，因为，故，因为，所以，所以当时，不等式也成立，由数学归纳法可知，对任意的都成立.故选：CD.二、填空题7．用数学归纳法证明命题“1++…+(n∈N+，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是________.【答案】【详解】因为n≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+.8．用数学归纳法证明关于的恒等式，当时，表达式为，则当时，表达式为_______.【答案】【详解】当时，表达式左侧为：，表达式右侧为：，则当时，表达式为.9．用数学归纳法证明能被整除时，从到添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．【答案】5【详解】当时，原式为：，当时，原式为，比较后可知多了，共5项.10．已知，用数学归纳法证明时，_________．【答案】【详解】因为当时，，当时，，所以三、解答题11．在数列中，（1）求出并猜想的通项公式；（2）用数学归纳方证明你的猜想.【详解】解：(1)∵，∴因此可猜想:；(2)当时，，等式成立，假设时，等式成立，即，则当时，，即当时，等式也成立，综上所述，对任意自然数，.12．观察下列等式：．．．．．．按照以上式子的规律：（1）写出第5个等式，并猜想第个等式；（2）用数学归纳法证明上述所猜想的第个等式成立．【详解】解析（1）第5个等式为．第个等式为，．（2）证明：①当时，等式左边，等式右边，所以等式成立．②假设时，命题成立，即，则当时，，即时等式成立．根据①和②，可知对任意等式都成立．《4.4数学归纳法》提高同步练习一、选择题1．用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（）A．B．C．D．2．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．3．已知，则（）A．中共有项，当n=2时，B．中共有项，当n=2时，C．中共有项，当n=2时，D．中共有项，当n=2时，4．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（）A．B．C．D．5．用数学归纳法证明：的过程中，从到时，比共增加了（）A．1项B．项C．项D．项6.（多选题）数列满足，，则以下说法正确的为（）A.；B.；C.对任意正数，都存在正整数使得成立；D..二、填空题7．用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．8．凸边形内角和为，则凸边形的内角为______.9．用数学归纳法证明：，从到，等式左边需增加的代数式为________10．已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证____________时等式成立.三、解答题11．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.12．设数列的前项和为，且对任意的正整数都满足．（1）求，，的值，猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明（1）中猜想的的表达式的正确性．《4.4数学归纳法》答案解析一、选择题1．用数学归纳法证明“对于的正整数成立”时，第一步证明中的起始值应取（）A．B．C．D．【答案】D【详解】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立，结合本题，当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，不成立；当时，左边，右边，成立.因此当时，命题成立．所以第一步证明中的起始值应取．故选：D．2．用数学归纳法证明等式，时，由到时，等式左边应添加的项是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由到时，等式左边增加了，故选C.3．已知，则（）A．中共有项，当n=2时，B．中共有项，当n=2时，C．中共有项，当n=2时，D．中共有项，当n=2时，【答案】C【详解】中共有项，当n=2时，.4．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】依题意得，由个圆增加到个圆，增加了个交点，这个交点将新增的圆分成段弧，而每一段弧都将原来的一块区域分成了2块，故增加了块区域，因此．5．用数学归纳法证明：的过程中，从到时，比共增加了（）A．1项B．项C．项D．项【答案】D【详解】由题意，时，最后