《5.1.2导数的概念及其几何意义》教案、导学案与同步练习

《5.1.2导数的概念及其几何意义》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习导数的概念及其几何意义本节内容通过分析上节中，高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出导数的概念，并引出导数的几何意义。导数及其几何意义是本章中的核心概念，它是研究函数的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、极限等数学思想方法的渗透。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．B.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．1.数学抽象：导数的概念2.逻辑推理：导数及导数的几何意义3.数学运算：求曲线在某点处切线的斜率4.直观想象：导数的几何意义【教学重点和难点】重点：导数的概念及其几何意义难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解【教学过程】教学过程教学设计意图一、新知探究前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。探究1：对于函数y=f(x)

，设自变量x从x0变化到x0+∆x

，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x+x0)

。这时，我们把比值∆y∆x，即∆y∆x叫做函数从x0到x1．导数的概念如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处____，并把这个________叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为__________)，记作f′(x0)或________，即f′(x0)＝＝.可导；确定的值；瞬时变化率；y′|eq\s\do18(x＝x0)；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)由导数的定义可知，问题1中运动员在t=1时的瞬时速度v(1)

，就是函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.在t=1处的导数h'(1)；问题2中抛物fx=处的切线P0T的斜率k0，就是函数fx=x2在x=1例1设fx=1解：f'1=∆x→0lim

利用导数定义求导数1取极限前，要注意化简eq\f(Δy,Δx)，保证使Δx→0时分母不为0.2函数在x0处的导数f′x0只与x0有关，与Δx无关.3导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.跟踪训练1.(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,h)等于()A．f′(x0)B．2f′(x0)C．－2f′(x0)D．0(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．(1)B[∵Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h.∴eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,h)＝2eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,2h)＝2f′(x0)．故选B.](2)解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝6＋3Δx，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(6＋3Δx)＝6.跟踪训练2．建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝eq\f(x,10)＋eq\f(\r(x),10)＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．[解]根据导数的定义，得f′(100)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f100＋Δx－f100,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(100＋Δx＋\r(100＋Δx)＋3－100＋\r(100)＋3,10Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(\r(100＋Δx)－10,10Δx)))＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(1,10×\r(100＋Δx)＋10)))＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10×10＋10)＝0.105.f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100m2时，成本增加的速度为1050元/m2.探究2：我们知道，导数f'x0表示函数y=fx在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f观察函数y=fx平均变化率∆y∆x=fx瞬时变化率f'x0=∆x→02．导数的几何意义(1)导数的几何意义如图，割线P0P的斜率k＝___________.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是__________的斜率k0，即k0＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．eq\f(fx－fx0,x－x0)；切线P0T3．导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝.eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)例4.如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t=t附近的变化情况。解：我们用曲线h(t)在t=t0,t（1）当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t这时，在t=t0（2）当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t（3）当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2这时,在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t从图可以看出，直线l1倾斜程度小于直线l2倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在导数几何意义理解中的两个关键关键点一：y＝fx在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f′x0＞0；k＜0⇔f′x0＜0；k＝0⇔f′x0＝0.关键点二：|f′x0|越大⇔在x0处瞬时变化越快；|f′x0|越小⇔在x0处瞬时变化越慢.跟踪训练3(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()ABCD(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()ABCD[思路探究](1)切线斜率大于零，则f′(x)＞0；切线斜率小于零，则f′(x)＜0；(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，运输效率逐步提高就是指Q′(t)不断增大．(1)B(2)B[(1)由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f′(x)＞0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x＞0时，f′(x)＜0，故B符合．(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.]通过对上节两个基本问题的回顾，引导学生归纳、抽象出导数的概念。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。通过具体问题的思考和分析，进一步理解导数的意义。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析，帮助学生掌握求解函数导数的基本步骤。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养。通过回顾曲线上某点出割线与切线斜率的问题，归纳出导数的几何意义，并能简单应用。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素通过典型例题的分析和解决，帮助学生理解导数的几何意义，及求曲线上某点处切线斜率的基本方法，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。三、达标检测1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f′(x0)． ()(2)f′(x1)＞f′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大． ()(3)f′(x0)就是导函数y＝f′(x)在x0处的函数值． ()(4)若f′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在． ()解析：(1)根据导数的几何意义知正确．(2)若|f(x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误．(3)根据导函数的定义知正确．(4)若f′(x0)＝0说明曲线在x＝x0处切线平行于x轴，不能说不存在．[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．已知函数y＝f(x)是可导函数，且f′(1)＝2，则eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,2Δx)＝()A．eq\f(1,2)B．2C．1D．－1C[由题意可得：eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,2Δx)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1,2)f′(1)，即：eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,2Δx)＝eq\f(1,2)×2＝1.故应选C.]3．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定B解析：由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．4.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1A解析：由题意，知k＝y′|x＝0＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b,Δx)＝1，∴a＝1.又点(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.5．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．[解]设切点P(m，n)，切线斜率为k，由y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f([2x＋Δx2－7]－2x2－7,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′|x＝m＝4m.由题意可知4m＝8，∴m＝2.代入y＝2x2－7得n＝1.故所求切点P为(2，1)．通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1.导函数的概念;2.导数的几何意义;3.导函数的概念.通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】从学生上节已解决的问题出发，引导学生思考、讨论、分析、归纳，经历数学抽象的过程，形从而构建导数这个数学概念，并能运用概念来解决有关问题，在掌握知识的同时，发展学生的数学核心素养。《5.1.2导数的概念及其几何意义》导学案【学习目标】1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义．【重点和难点】重点：导数的概念及其几何意义难点：导数中蕴含的极限思想和以直代曲的思想方法的理解【知识梳理】1．导数的概念如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处____，并把这个________叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为__________)，记作f′(x0)或________，即f′(x0)＝＝.可导；确定的值；瞬时变化率；y′|eq\s\do18(x＝x0)；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)；eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)2．导数的几何意义(1)导数的几何意义如图，割线P0P的斜率k＝___________.记Δx＝x－x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当Δx→0时，k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，因此，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是__________的斜率k0，即k0＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)．eq\f(fx－fx0,x－x0)；切线P0T3．导函数对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝.eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)【学习过程】一、学习导引前面我们研究了两类变化率问题：一类是物理学中的问题，涉及平均速度和瞬时速度；另一类是几何学中的问题，涉及割线斜率和切线斜率。这两类问题来自不同的学科领域，但在解决问题时，都采用了由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法；问题的答案也是一样的表示形式。下面我们用上述思想方法研究更一般的问题。二、新知探究探究1：对于函数y=f(x)

，设自变量x从x0变化到x0+∆x

，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(y的变化量为∆y=f我们把比值∆y∆x，即∆y∆x叫做函数从x0到x由导数的定义可知，问题1中运动员在t=1时的瞬时速度v(1)

，就是函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11.在t=1处的导数h'(1)；问题2中抛物fx=处的切线P0T的斜率k0，就是函数fx=x2在x=1探究2：我们知道，导数f'x0表示函数y=fx在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f观察函数y=fx平均变化率∆y∆x=fx瞬时变化率f'x0=∆x→0三、典例解析例1设fx=1利用导数定义求导数1取极限前，要注意化简eq\f(Δy,Δx)，保证使Δx→0时分母不为0.2函数在x0处的导数f′x0只与x0有关，与Δx无关.3导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛.跟踪训练1.(1)若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,h)等于()A．f′(x0)B．2f′(x0)C．－2f′(x0)D．0(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．跟踪训练2．建造一栋面积为xm2的房屋需要成本y万元，y是x的函数，y＝f(x)＝eq\f(x,10)＋eq\f(\r(x),10)＋0.3，求f′(100)，并解释它的实际意义．例4.如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图像，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t=t附近的变化情况。导数几何意义理解中的两个关键关键点一：y＝fx在点x＝x0处的切线斜率为k，则k＞0⇔f′x0＞0；k＜0⇔f′x0＜0；k＝0⇔f′x0＝0.关键点二：|f′x0|越大⇔在x0处瞬时变化越快；|f′x0|越小⇔在x0处瞬时变化越慢.跟踪训练3(1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是()ABCD(2)某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如下所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是()ABCD【达标检测】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数即为在该点处的斜率，也就是k＝f′(x0)． ()(2)f′(x1)＞f′(x2)反映了曲线在x＝x1处比在x＝x2处瞬时变化率较大． ()(3)f′(x0)就是导函数y＝f′(x)在x0处的函数值． ()(4)若f′(x0)＝0，则曲线在x＝x0处切线不存在． ()2．已知函数y＝f(x)是可导函数，且f′(1)＝2，则eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,2Δx)＝()A．eq\f(1,2)B．2C．1D．－13．已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)＞f′(xB)B．f′(xA)＜f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB)D．不能确定4.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－15．已知曲线y＝2x2－7在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，求切点P的坐标．【课堂小结】1.导函数的概念;2.导数的几何意义;3.导函数的概念.参考答案：学习过程二、典例解析例1解：f'1=∆x→0lim

跟踪训练1.(1)B[∵Δx＝(x0＋h)－(x0－h)＝2h.∴eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,h)＝2eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0－h,2h)＝2f′(x0)．故选B.](2)解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴eq\f(Δy,Δx)＝6＋3Δx，∴f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(6＋3Δx)＝6.跟踪训练2．[解]根据导数的定义，得f′(100)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f100＋Δx－f100,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(100＋Δx＋\r(100＋Δx)＋3－100＋\r(100)＋3,10Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(\r(100＋Δx)－10,10Δx)))＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,10)＋\f(1,10×\r(100＋Δx)＋10)))＝eq\f(1,10)＋eq\f(1,10×10＋10)＝0.105.f′(100)＝0.105表示当建筑面积为100m2时，成本增加的速度为1050元/m2.例4.解：我们用曲线h(t)在t=t0,t（1）当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t这时，在t=t0（2）当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t（3）当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2这时,在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t从图可以看出，直线l1倾斜程度小于直线l2倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在跟踪训练3[思路探究](1)切线斜率大于零，则f′(x)＞0；切线斜率小于零，则f′(x)＜0；(2)要明确运输效率的含义，题设中已经给出运输效率即单位时间内的运输量，因此，运输效率逐步提高就是指Q′(t)不断增大．(1)B(2)B[(1)由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x＜0时，f′(x)＞0；当x＝0时，f′(x)＝0；当x＞0时，f′(x)＜0，故B符合．(2)从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高．故选B.]达标检测1．解析：(1)根据导数的几何意义知正确．(2)若|f(x0)|越大，瞬时变化率越大，故错误．(3)根据导函数的定义知正确．(4)若f′(x0)＝0说明曲线在x＝x0处切线平行于x轴，不能说不存在．[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．C[由题意可得：eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,2Δx)＝eq\f(1,2)eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(1,2)f′(1)，即：eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,2Δx)＝eq\f(1,2)×2＝1.故应选C.]3．B解析：由导数的几何意义，f′(xA)，f′(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f′(xA)＜f′(xB)．4.A解析：由题意，知k＝y′|x＝0＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(0＋Δx2＋a0＋Δx＋b－b,Δx)＝1，∴a＝1.又点(0，b)在切线上，∴b＝1，故选A.5．[解]设切点P(m，n)，切线斜率为k，由y′＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f([2x＋Δx2－7]－2x2－7,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(4x＋2Δx)＝4x，得k＝y′|x＝m＝4m.由题意可知4m＝8，∴m＝2.代入y＝2x2－7得n＝1.故所求切点P为(2，1)．《5.1.2导数的概念及其几何意义》基础同步练习一、选择题1．若（m为常数），则等于（）A．B．1C．mD．2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．3．已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（）A．B．C．D．4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()A．(1，1)B．(－1，1)C．(1，1)或(－1，－1)D．(2，8)或(－2，－8)5．（多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是（）A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B.在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；C.在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D.在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.6．（多选题）下列命题正确的是（）A．若，则函数在处无切线B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点C．曲线在处的切线方程为，则当时，D．若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为二、填空题7．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则eq\f(b,a)＝________.8．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则_____．9．已知曲线y＝f(x)＝eq\r(x)，y＝g(x)＝eq\f(1,x)，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f1,f′0)的最小值为________．三、解答题11．在曲线上求一点，使得曲线在点处的切线分别满足下列条件：（1）平行于直线；（2）垂直于直线；（3）倾斜角为．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．《5.1.2导数的概念及其几何意义》答案解析一、选择题1．若（m为常数），则等于（）A．B．1C．mD．【答案】D【详解】由题意，根据导数的概念可得，，所以.2．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为函数的增长越来越快，所以函数在该点的斜率越来越大，又，所以.3．已知直线经过，两点，且与曲线切于点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】直线经过，两点，.直线与曲线切于点，可得曲线在处的导数为：，所以.4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()A．(1，1)B．(－1，1)C．(1，1)或(－1，－1)D．(2，8)或(－2，－8)【答案】C【详解】因为y＝x3，所以y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－x3,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.故点P的坐标是(1，1)或(－1，－1).5．（多选题）为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．给出下列四个结论正确的是（）A.在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B.在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；C.在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D.在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.【答案】ACD【详解】A在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故A正确；B甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故B不正确；C根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故C正确；D在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故D正确.6．（多选题）下列命题正确的是（）A．若，则函数在处无切线B．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点C．曲线在处的切线方程为，则当时，D．若函数的导数，且，则的图象在处的切线方程为【答案】BD【详解】若，则函数在处的切线斜率为0，故选项错误；函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，例如函数，在处的切线为，与函数的图象还有一个公共点，故选项正确；因为曲线在处的切线方程为，所以又，故选项错误；因为函数的导数，所以，又，所以切点坐标为，斜率为，所以切线方程为，化简得，故选项正确．二、填空题7．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则eq\f(b,a)＝________.【答案】2【详解】∵f′(1)＝2，又eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(a1＋Δx2－a,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2.∴eq\f(b,a)＝2.8．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则____．【答案】2【详解】由图像的信息可知．9．已知曲线y＝f(x)＝eq\r(x)，y＝g(x)＝eq\f(1,x)，它们的交点坐标为________，过两曲线的交点作两条曲线的切线，则曲线f(x)在交点处的切线方程为________．【答案】(1，1)；x－2y＋1＝0【详解】[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(x)，,y＝\f(1,x)))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴两曲线的交点坐标为(1，1)．由f(x)＝eq\r(x)，得f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2)，∴y＝f(x)在点(1，1)处的切线方程为y－1＝eq\f(1,2)(x－1)，即x－2y＋1＝0.10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f1,f′0)的最小值为________．【答案】2【详解】由导数的定义，得f′(0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fΔx－f0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(aΔx2＋bΔx＋c－c,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))(a·Δx＋b)＝b.因为对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0，,a＞0，))所以ac≥eq\f(b2,4)，所以c＞0，所以eq\f(f1,f′0)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(2b,b)＝2.三、解答题11．在曲线上求一点，使得曲线在点处的切线分别满足下列条件：（1）平行于直线；（2）垂直于直线；（3）倾斜角为．【详解】设点P的坐标为，则，∴当趋于0时，．（1）∵切线与直线平行，∴，即，∴，，即．（2）∵切线与直线垂直，∴，即，∴，，即．（3）∵切线的倾斜角为，∴，即，∴即，即．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a＜0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．【详解】∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)3＋a(x＋Δx)2－9(x＋Δx)－1－(x3＋ax2－9x－1)＝(3x2＋2ax－9)Δx＋(3x＋a)(Δx)2＋(Δx)3，∴eq\f(Δy,Δx)＝3x2＋2ax－9＋(3x＋a)Δx＋(Δx)2，∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝3x2＋2ax－9＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,3)))eq\s\UP10(2)－9－eq\f(a2,3)≥－9－eq\f(a2,3).由题意知f′(x)的最小值是－12，∴－9－eq\f(a2,3)＝－12，即a2＝9，∵a＜0，∴a＝－3.《5.1.2导数的概念及其几何意义》提高同步练习一、选择题1．已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则为（）A．B．C．D．2．函数在处的导数的几何意义是（）A．在点处与的图象只有一个交点的直线的斜率B．过点的切线的斜率C．点与点的连线的斜率D．函数的图象在点处的切线的斜率3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为()A．y＝－2x＋1B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋3D．y＝－2x－24．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）A．B．C．D．5．（多选题）某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（）A．是物体从开始到这段时间内的平均速度B．是物体从到这段时间内的速度C．是物体在这一时刻的瞬时速度D．是物体从到这段时间内的平均速度6.（多选题）以下论断错误的是（）A.若直线与曲线有且只有一个公共点，则直线一定是曲线的切线；B.若直线与曲线相切于点，且直线与曲线除点外再没有其他的公共点，则在点附近，直线不可能穿过曲线；C.若不存在，则曲线在点处就没有切线；D.若曲线在点处有切线，则必存在.二、填空题7．已知函数f(x)在x＝x0处可导，若eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋2Δx－fx0,Δx)＝1，则f′(x0)＝_______.8．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______.9．若抛物线与直线相切，则_________．10．已知f(x)＝mx2＋n，且f(1)＝－1，f(x)的导函数f′(x)＝4x，则m＝________，n＝________.三、解答题11.利用导数的定义，求在处的导数f′(1).12．服药后，人体血液中药物的质量浓度y（单位:μg/mL）是时间t（单位：min）的函数，假设函数在和处的导数分别为和，试解释它们的实际意义．《5.1.2导数的概念及其几何意义》答案解析一、选择题1．已知某质点的运动方程为，其中s的单位是m，t的单位是s，则为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】，所以该质点在末的瞬时速度为.2．函数在处的导数的几何意义是（）A．在点处与的图象只有一个交点的直线的斜率B．过点的切线的斜率C．点与点的连线的斜率D．函数的图象在点处的切线的斜率【答案】D【详解】的几何意义是函数的图象在点处的切线的斜率．3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为()A．y＝－2x＋1B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋3D．y＝－2x－2【答案】B【详解】由题意可知，曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.4．函数的图象如图所示，则下列数值排序正确的是（）A．B．