《5.3.2 函数的极值与最大(小)值》教案、导学案与同步练习

《5.3.2函数的极值与最大(小)值》教案（第一课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的极值与最值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.B．初步掌握求函数极值的方法．C．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．1.数学抽象：求函数极值的方法2.逻辑推理：导数值为零与函数极值的关系3.数学运算：运用导数求函数极值4.直观想象：导数与极值的关系【教学重点和难点】重点：求函数极值难点：函数极值与导数的关系【教学过程】【教学反思】教学过程教学设计意图一、温故知新1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)＞0单调递____f′(x)＜0单调递____增;减2．判断函数y＝f(x)的单调性第1步：确定函数的______；第2步：求出导数f′(x)的____；第3步：用f′(x)的____将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的____，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．定义域;零点;零点;正负二、探究新知探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?放大t=a附近函数h(t)的图像,如图，可以看出，h'a=0;在t=a的附近，当t<a时，函数h(t)单调递增，h't>0;当t>a时，函数h(t)单调递减，h't<0.这就是说，在t=a附近，函数值先增（当t<a时，h't>0）后减（当t>a对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？以a，b为例进行说明.探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？（1）函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点附近其他点的函数值都小，而且在x=a点附近的左侧f'（2）函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点附近其他点的函数值都大，而且在x=b点附近的左侧f1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝__，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_______，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，_____叫做函数y＝f(x)的极小值．0;f′(x)＜0;f′(x)＞0;f(a)(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝__，而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_______，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，______叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为______；极大值、极小值统称为_____．0;f′(x)＞0;f′(x)＜0;f(b);极值点;极值1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]三、典例解析例5.求函数fx=解：因为fx=13f'x令f'x=当x变化时，f'x，因此，当x=-2时，fx有极大值，极大值为f-2当x=2时，fx有极小值，极小值为f2=-函数fx=问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？一般地，求函数y＝fx的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.问题2：导数为0的点一定是极值点吗？[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．跟踪训练1求下列函数的极值：(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的极值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。通过特例，体会导数与函数极值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数极值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A．在(1，2)上函数f(x)为增函数B．在(3，4)上函数f(x)为减函数C．在(1，3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点D[由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，当2＜x＜4时，f′(x)＜0，当4＜x＜5时，f′(x)＞0，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]2．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点D[令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故当x＝－1时，f(x)取得极小值．]3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]4．已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－eq\f(x,e)，则函数f(x)的极大值为______．2ln2[f′(x)＝eq\f(2ef′e,x)－eq\f(1,e)，故f′(e)＝eq\f(2ef′e,e)－eq\f(1,e)，解得f′(e)＝eq\f(1,e)，所以f(x)＝2lnx－eq\f(x,e)，f′(x)＝eq\f(2,x)－eq\f(1,e).由f′(x)＞0得0＜x＜2e，f′(x)＜0得x＞2e.所以函数f(x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，故f(x)的极大值为f(2e)＝2ln2e－2＝2ln2.]通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】运用“问题探究式”“观察发现式”“讨论式”的教学方法，本节课在前一节所学利用导数求单调性的基础上，引导学生通过生活实例、观察图象，自己探究归纳、总结出函数的极值定义及利用导数求极值的方法。让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输。为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学。《5.3.2函数的极值与最大(小)值》导学案（第一课时）【学习目标】1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.2．初步掌握求函数极值的方法．3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．【重点和难点】重点：求函数极值难点：函数极值与导数的关系【知识梳理】1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝__，而且在点x＝a附近的左侧__________，右侧_______，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，_____叫做函数y＝f(x)的极小值．0;f′(x)＜0;f′(x)＞0;f(a)(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝__，而且在点x＝b附近的左侧_________，右侧_______，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，______叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为______；极大值、极小值统称为_____．0;f′(x)＞0;f′(x)＜0;f(b);极值点;极值1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【学习过程】一、新知探究在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？此点附件的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？以a，b为例进行说明.探究2：观察下图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f(x)在这些点处的导数值时多少？在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？二、典例解析例5.求函数fx=问题1：函数的极大值一定大于极小值吗？一般地，求函数y＝fx的极值的步骤1求出函数的定义域及导数f′x；2解方程f′x＝0，得方程的根x0可能不止一个；3用方程f′x＝0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，可将x，f′x，fx在每个区间内的变化情况列在同一个表格中；4由f′x在各个开区间内的符号，判断fx在f′x＝0的各个根处的极值情况：如果左正右负，那么函数fx在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么函数fx在这个根处取得极小值；如果导数值在这个根左右两侧同号，那么这个根不是极值点.问题2：导数为0的点一定是极值点吗？跟踪训练1求下列函数的极值：(1)y＝x3－3x2－9x＋5；(2)y＝x3(x－5)2.【达标检测】1.函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f′(x)的部分图象如图所示，则下面结论错误的是()A．在(1，2)上函数f(x)为增函数B．在(3，4)上函数f(x)为减函数C．在(1，3)上函数f(x)有极大值D．x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点2．设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．4．已知函数f(x)＝2ef′(e)lnx－eq\f(x,e)，则函数f(x)的极大值为______．【课堂小结】求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．【参考答案】知识梳理1．C[设y＝f′(x)的图象与x轴的交点从左到右横坐标依次为x1，x2，x3，x4，则f(x)在x＝x1，x＝x3处取得极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值．]学习过程一、新知探究探究1：放大t=a附近函数h(t)的图像,如图，可以看出，h'a=0;在t=a的附近，当t<a时，函数h(t)单调递增，h't>0;当t>a时，函数h(t)单调递减，h't<0.这就是说，在t=a附近，函数值先增（当t<a时，h't>0）后减（当t>a探究2：（1）函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点附近其他点的函数值都小，而且在x=a点附近的左侧f'（2）函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点附近其他点的函数值都大，而且在x=b点附近的左侧f二、典例解析例5.解：因为fx=13f'x令f'x=当x变化时，f'x，因此，当x=-2时，fx有极大值，极大值为f-2当x=2时，fx有极小值，极小值为f2=-函数fx=问题2：[提示]不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．跟踪训练1[解](1)∵y′＝3x2－6x－9，令y′＝0，即3x2－6x－9＝0，解得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，3)3(3，＋∞)y′＋0－0＋y↗极大值↘极小值↗∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值，且f(－1)＝10；当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，且f(3)＝－22.(2)y′＝3x2(x－5)2＋2x3(x－5)＝5x2(x－3)(x－5)．令y′＝0，即5x2(x－3)(x－5)＝0，解得x1＝0，x2＝3，x3＝5.当x变化时，y′与y的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0，3)3(3，5)5(5，＋∞)y′＋0＋0－0＋y↗无极值↗极大值108↘极小值0↗∴x＝0不是y的极值点；x＝3是y的极大值点，y极大值＝f(3)＝108；x＝5是y的极小值点，y极小值＝f(5)＝0.达标检测1.D[由题图可知，当1＜x＜2时，f′(x)＞0，当2＜x＜4时，f′(x)＜0，当4＜x＜5时，f′(x)＞0，∴x＝2是函数f(x)的极大值点，x＝4是函数f(x)的极小值点，故A，B，C正确，D错误．]2．D[令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0.故当x＝－1时，f(x)取得极小值．]3．(－∞，－1)∪(2，＋∞)[f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，∵函数f(x)既有极大值又有极小值，∴方程f′(x)＝0有两个不相等的实根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)＞0，即a2－a－2＞0，解得a＞2或a＜－1.]4．2ln2[f′(x)＝eq\f(2ef′e,x)－eq\f(1,e)，故f′(e)＝eq\f(2ef′e,e)－eq\f(1,e)，解得f′(e)＝eq\f(1,e)，所以f(x)＝2lnx－eq\f(x,e)，f′(x)＝eq\f(2,x)－eq\f(1,e).由f′(x)＞0得0＜x＜2e，f′(x)＜0得x＞2e.所以函数f(x)在(0，2e)单调递增，在(2e，＋∞)单调递减，故f(x)的极大值为f(2e)＝2ln2e－2＝2ln2.]故f(x)的极大值为f(2e)＝2ln2e－2＝2ln2.]《5.3.2函数的极值与最大(小)值（第一课时）》基础同步练习一、选择题1．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数B．在x＝1时，f（x）取得极大值C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x＝2时，f（x）取得极小值2．若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（）．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．当函数取极小值时，的值为（）A．B．C．D．4．若函数有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．5．（多选题）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A．B．函数在上递增，在上递减C．函数的极值点为，D．函数的极大值为6．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（）A．有且只有一个极值点B．设，则与的单调性相同C．有且只有两个零点D．在上单调递增二、填空题7．若函数在处取得极值，则________.8．已知函数，当时函数的极值为，则__________．9．设函数，若是的极大值点，则a取值范围为____.10．已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，则极大值与极小值之差为__________．三、解答题11．求下列函数的极值．（1）；（2）；（3）．12．设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴（1）求a的值；（2）求函数极值．《5.3.2函数的极值与最大(小)值（第一课时）》答案解析一、选择题1．如图是函数y＝f（x）的导数y＝f'（x）的图象，则下面判断正确的是（）A．在（﹣3，1）内f（x）是增函数B．在x＝1时，f（x）取得极大值C．在（4，5）内f（x）是增函数D．在x＝2时，f（x）取得极小值【答案】C【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，在（﹣3，）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，A错误；对于B，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x＝1不是f（x）的极大值点，B错误；对于C，在（4，5）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，C正确；对于D，在（，2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数，则在x＝2时f（x）取得极大值，D错误；故选：C．2．若函数可导，则“有实根”是“有极值”的（）．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】，但在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时在零点处无极值，但有极值则在极值处一定等于.所以“有实根”是“有极值”的必要不充分条件.故选：A3．当函数取极小值时，的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】即故选B．4．若函数有小于零的极值点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由，得．因为函数有小于零的极值点，所以有小于零的实根，即有小于零的实根，∵，∴，∴．故选：B5．（多选题）已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（）A．B．函数在上递增，在上递减C．函数的极值点为，D．函数的极大值为【答案】ABD【详解】解：由题图知可，当时，，当时，，当时，，所以在上递增，在上递减，在上递增，对A，，故A错误；对B，函数)在上递增，在上递增，在上递减，故B错误；对C，函数的极值点为，，故C正确；对D，函数的极大值为，故D错误.故选：ABD.6．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（）A．有且只有一个极值点B．设，则与的单调性相同C．有且只有两个零点D．在上单调递增【答案】ACD【详解】解：由题知，，，所以在上单调递增，当时，；当时，，所以存在，使得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以有且只有一个极值点，故A正确；因为，所以，所以所以，故的一个极值点为，所以与的单调性不相同，故B错误；因为有且只有一个极值点，，且，所以在和上各有一个零点，所以有且只有两个零点，故C正确；因为与在上都是单调递增，所以在上单调递增，D正确．故选：ACD．二、填空题7．若函数在处取得极值，则________.【答案】【详解】由题意，函数，可得，因为是函数的极值点，可得，所以，解得.8．已知函数，当时函数的极值为，则__________．【答案】【解析】f′(x)=x2+2ax+a.由题意知f′(-1)=0,f(-1)=-,即解得所以f(x)=x3+x2+x-.所以f(2)=.9．设函数，若是的极大值点，则a取值范围为____.【答案】【解析】的定义域为，由，得，所以.①若，由，得，当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，所以是的极大值点；②若，由，得或.因为是的极大值点，所以，解得，综合①②：的取值范围是，故答案为.10．已知函数在处有极值，其图象在处的切线平行于直线，则极大值与极小值之差为__________．【答案】4【详解】求导得因为函数在取得极值，所以即，又因为图象在处的切线与直线平行，所以即，联立①②可得，当时，或；当时，∴函数的单调增区间是和，函数的单调减区间是，因此求出函数的极大值为，极小值为，故函数的极大值与极小值的差为．三、解答题11．求下列函数的极值．（1）；（2）；（3）．【详解】（1）因为，所以，令，即，解得或，当变化时，、的变化情况如下表：300增函数极大值减函数极小值增函数故当时，函数有极大值，，当时，函数有极小值，．（2）因为，定义域为，所以，令，解得或，当变化时，、的变化情况如下表：00减函数极小值增函数极大值减函数故当时，函数有极小值，，当时，函数有极大值，．（3）因为，所以，函数的定义域为，令，解得或（舍去），当时，，当时，，故当时，函数有极小值，，无极大值.12．设函数，其中在，曲线在点处的切线垂直于轴（1）求a的值；（2）求函数极值．【详解】（1）因，故由于曲线在点处的切线垂直于轴，故该切线斜率为0，即，从而，解得（2）由（1）知，令，解得（因不在定义域内，舍去）当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数，故在处取得极小值《5.3.2函数的极值与最大(小)值（第一课时）》提高同步练习一、选择题1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()A．0B．1C．2D．无数个3．函数在上的极大值点为（）A．0B．C．D．4．已知函数的图象与轴相切于点，则的极小值为（）A．B．C．D．5．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（）A．有且仅有一个极值点B．有零点C．若的极小值点为，则D．若的极小值点为，则6．（多选题）已知，下列说法正确的是（）A．在处的切线方程为B．单调递增区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解二、填空题7．已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.8．已知三次函数的图象如图所示，则_____．9．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.10．在处取得极值，则______.三、解答题10．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．12．已知函数．（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）求函数在区间上的极值．《5.3.2函数的极值与最大(小)值（第一课时）》答案解析一、选择题1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【详解】由导函数在内的图象知：函数在开区间内有极小值点1个2．函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是()A．0B．1C．2D．无数个【答案】A【解析】，由得，方程无解，因此函数无极值点3．函数在上的极大值点为（）A．0B．C．D．【答案】C【详解】函数的导数为，令得，又因为，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得极大值的的值为，故选：C.4．已知函数的图象与轴相切于点，则的极小值为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题知，由于函数的图象与轴相切于点，则，解得，，，令，可得或，列表如下：极大值极小值所以，函数的极小值为.故选：A.5．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（）A．有且仅有一个极值点B．有零点C．若的极小值点为，则D．若的极小值点为，则【答案】AC【详解】由题意得，的定义域为，且，设，则，∴在上单调递增，又，，存在唯一零点，设为，当时，单调递减，当时，单调递增，∴有唯一极小值点，故选项A正确．令，得，两边同时取对数可得．∴（当且仅当时等号成立），又，∴，即，∴无零点，故选项B错误．由，可设，则．当时，，∴在上单调递减．∴，即，故选项C正确，选项D错误，故选：AC6．（多选题）已知，下列说法正确的是（）A．在处的切线方程为B．单调递增区间为C．的极大值为D．方程有两个不同的解【答案】AC【详解】解：因为，所以函数的定义域为，所以，，，∴的图象在点处的切线方程为，即，故A正确；在上，，单调递增，在上，，单调递减，故B错误，的极大值也是最大值为，故C正确；方程的解的个数，即为的解的个数，即为函数与图象交点的个数，作出函数与图象如图所示：由图象可知方程只有一个解，故D错误.故选：AC.二、填空题7．已知函数f(x)=x3＋3mx2＋nx＋m2在x=－1时有极值0，则m＋n=________.【答案】11【详解】依题意可得，联立可得或；当时函数，，所以函数在上单调递增，故函数无极值，所以舍去；所以，所以.8．已知三次函数的图象如图所示，则________．【答案】【详解】解：由题意得，，且，由题图可知，是函数的极大值点，是极小值点，即，是的两个根，由，解得：，∵，，∴．9．已知函数在上存在极值点，则实数a的取值范围是_____________.【答案】或【详解】由题可知：，因为函数在上存在极值点，所以有解所以，则或当或时，函数与轴只有一个交点，即所以函数在单调递增，没有极值点，故舍去所以或，即或10．在处取得极值，则______.【答案】【详解】解：由已知，因为在处取得极值，，，即，因为，，，即，．三、解答题11．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．【详解】(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且＋4b＋1＝0，解方程组得，a＝，b＝.(2)由(1)可知f(x)＝lnxx2＋x，且函数f(x)＝lnxx2＋x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝x－1x＋1＝.当x∈(0,1)时，f′(x)＜0；当x∈(1,2)时，f′(x)＞0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＜0；所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．12．已知函数．（1）若曲线在处的切线方程为，求的值；（2）求函数在区间上的极值．【详解】解：（1）因为，所以，所以.因为在处的切线方程为.所以，解得.（2）因为，，所以，①当，即时，在恒成立，所以在单调递增；所以在无极值；②当，即时，在恒成立，所以在单调递减，所以在无极值；③当，即时，变化如下表：-0+单调递减↘极小值单调递增↗因此，的减区间为，增区间为．所以当时，有极小值为，无极大值.《5.3.2函数的极值与最大(小)值》教案（第二课时）【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习函数的极值与最大(小)值学生已经具有导数概念、导数几何意义、导数计算、函数的单调性等相关的数学概念知识，对函数的单调性有一定的认识，对相应导数的内容也具有一定的储备。函数的极值与最值是函数的一个重要性质。在学习运用导数判断函数单调性的基础上，研究和学习函数的极值与最值是导数的一个重要应用，注意培养学生数形结合思想、特殊到一般的研究方法，发展学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算核心素养。。【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A.了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；B．掌握求函数最值的方法及其应用；C．体会数形结合、化归转化的数学思想．1.数学抽象：求函数最值的方法2.逻辑推理：函数极值与最值的关系3.数学运算：运用导数求函数的最值4.直观想象：最值与极值的关系【教学重点和难点】重点：求函数最值的方法及其综合应用难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系【教学过程】教学过程教学设计意图一、温故知新1.求函数y=f(x)的极值的一般方法：解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时：如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0，那么f(x0)为极大值；如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0，那么f(x0)为极小值；二、探究新知我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：那么f(x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?最大值：f(a);最小值：f(x3)探究3：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．连续不断问题1：函数的极值与最值的区别是什么？函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的____；(2)将函数y＝f(x)的______与____处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．极值；各极值；端点；最大值；最小值1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小值就是最大(小)值．()(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点．()解析：(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．(4)正确．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√三、典例解析例6:求fx解：因为y'=令y'=又因为f(0)=4,f(3)=1所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值-43求函数最值的着眼点1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.跟踪训练1.求下列各函数的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).[解](1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝eq\f(1,2)，又∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±eq\f(π,3).∴x＝±eq\f(π,6).∴函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的两个极值分别为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,2).比较以上函数值可得f(x)max＝eq\f(π,2)，f(x)min＝－eq\f(π,2).例7:给定函数f（1）判断函数fx的单调性，并求出f（2）画出函数fx（3）求出方程fx=a(a∈R解：（1）函数的定义域为x∈R因为f令f(x)'=f(x)'、f所以，fx在区间-∞，-2上单调递减，在区间-2，+∞上单调递增。当x=-2时，fx（2）令fx=0，解得：当x<-1时，fx<0;当x>-1时，所以x的图像经过特殊点A(-2,-1e2),B-1,0,C当x→-∞时，与一次函数相比，指数函数y=e-x呈爆炸性增长，从而y=当x→+∞时，fx→+∞根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示（3）方程fx=a(a∈R)的解的个数为函数y=fx的图像与直线由（1）及图可得，当x=-2时，有最小值f-2=-所以，方程fx=a当a<-1e当a=-1e2或当-

函数fx的图像直观地反映了函数fx的性质，通常可以按如下步骤画出函数（1）求出函数fx（2）求导数f(x)'及函数f(x)（3）用零点将fx的定义域为若干个区间，列表给出f(x)'在各个区间上的正负，并得出（4）确定fx（5）画出fx例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分,其(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?解：由题意可知，每瓶饮料的利润是y=fr=0.2×43所以f令f'r=当x∈(0,2)时，f'r<0;当x∈(2,6)时，因此，当半径r>2时，f'fr单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r<2时，f'r（1）半径为6cm时，利润最大（2）半径2cm时，利润最小，这时f21．优化问题生活中经常遇到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题．2．解决优化问题的基本思路利润最大；用料最省；效率最高函数；导数跟踪训练2．请你设计一个帐篷．如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形．试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积．解：依题意，该帐篷的下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥，如图所示．设帐篷的顶点为O，底面中心为O1，OO1为xm，帐篷的体积为V(x)m3，且1<x<4.由题设可得正六棱锥的底面边长为eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，故底面正六边形的面积为6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，故V(x)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－1＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，则V′(x)＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．当1<x<2时，V′(x)>0，V(x)为增函数；当2<x<4时，V′(x)<0，V(x)为减函数．所以当x＝2时，V(x)取得最大值，且最大值为V(2)＝16eq\r(3).综上可得，当帐篷的顶点到底面中心的距离为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为16eq\r(3)m3.温故知新，提出问题，，引导学生探究运用导数研究函数的最值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模的核心素养。通过特例，体会函数极值与最值之间的关系，发展学生直观想象、数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数最值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1．函数y＝eq\f(lnx,x)的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．10A[令y′＝eq\f(1－lnx,x2)＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝e－1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.]2．设函数f(x)＝x3－eq\f(x2,2)－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))[f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－eq\f(2,3).f(－1)＝eq\f(11,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(157,27)，f(1)＝eq\f(7,2)，f(2)＝7，∴m＜eq\f(7,2).]3．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值．[解]f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2a,3).①当eq\f(2a,3)≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②当eq\f(2a,3)≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.③当0＜eq\f(2a,3)＜2，即0＜a＜3时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，2))上单调递增，从而f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a0＜a≤2，,02＜a＜3.))综上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4aa≤2，,0a＞2.))4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．[解](1)由题设，隔热层厚度为xcm，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．当0≤x<5时，f′(x)<0，当5<x≤10时，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.所以，当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。【教学反思】运用“问题探究式”“观察发现式”“讨论式”的教学方法，本节课在前一节所学利用导数求单调性的基础上，引导学生通过生活实例、观察图象，自己探究归纳、总结出函数的最值定义及利用导数求最值的方法。让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输。为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学。《5.3.2函数的极值与最大(小)值》导学案（第二课时）【学习目标】1．了解函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系；2．掌握求函数最值的方法及其应用；3．体会数形结合、化归转化的数学思想．【重点和难点】重点：求函数最值的方法及其综合应用难点：函数最大（小）值的概念以及与函数极值的区别与联系【知识梳理】1.求函数y=f(x)的极值的一般方法：解方程f'(x)=0.当f'(x0)=0时：如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0，那么f(x0)为极大值；如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0，那么f(x0)为极小值；2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤(1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的____；(2)将函数y＝f(x)的______与____处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______．极值；各极值；端点；最大值；最小值1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小值就是最大(小)值．()(4)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区间端点．()【学习过程】一、新知探究我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y=f(x)的极大（小）值点，那么在x=x0附近找不到比f(x0)更大的值，但是，在解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关注函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小，如果x0是某个区间上函数y=f(x)的最大（小）值点，那么f(x0)不小（大）于函数y=f(x)在此区间上所有的函数值。探究1：函数y=f(x)的在区间[a,b]的图像，你能找出它的极大值、极小值吗？探究2：那么f(x)在区间[a,b]的内最大值、最小值呢?探究3：观察[a,b]上的函数y=f(x)和y=g(x)的图象，它们在[a,b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？1．函数的最大(小)值的存在性一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值．连续不断问题1：函数的极值与最值的区别是什么？二、典例解析例6:求fx求函数最值的着眼点1从极值点和端点处找最值,求函数的最值需先确定函数的极值，如果只是求最值，那么就不需要讨论各极值是极大值还是极小值，只需将各极值和端点的函数值进行比较即可求出最大值和最小值.2单调区间取端点,当图象连续不断的函数fx在[a，b]上单调时，其最大值和最小值分别在两个端点处取得.跟踪训练1.求下列各函数的最值．(1)f(x)＝3x3－9x＋5，x∈[－2，2]；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).例7:给定函数f（1）判断函数fx的单调性，并求出f（2）画出函数fx（3）求出方程fx=a(a∈R函数fx的图像直观地反映了函数fx的性质，通常可以按如下步骤画出函数（1）求出函数fx（2）求导数f(x)'及函数f(x)（3）用零点将fx的定义域为若干个区间，列表给出f(x)'在各个区间上的正负，并得出（4）确定fx（5）画出fx例8.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分,其(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小?1．优化问题生活中经常遇到求、、等问题，这些问题通常称为优化问题．利润最大；用料最省；效率最高2．解决优化问题的基本思路函数；导数跟踪训练2．请你设计一个帐篷．如图所示，它的正视图和侧视图都是由矩形和三角形构成的图形，俯视图是正六边形及其中心与顶点的连线构成的图形．试问：当帐篷的顶点到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？并求出最大体积．【达标检测】1．函数y＝eq\f(lnx,x)的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．102．设函数f(x)＝x3－eq\f(x2,2)－2x＋5，若对任意x∈[－1，2]，都有f(x)＞m，则实数m的取值范围是________．3．已知a是实数，函数f(x)＝x2(x－a)，求f(x)在区间[0，2]上的最大值．4.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【课堂小结】求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）f(x)在(a,b)内导函数为零的点，并计算出其函数值；（2）将f(x)的各导数值为零的点的函数值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．【参考答案】知识梳理1．解析：(1)函数在闭区间[a，b]上的最值可能在端点处取得，也可能在极值点处取得．(2)若单调函数有最值，则一定在区间端点处取得，但开区间上的单调连续函数在端点处无函数值，所以无最值，故正确．(3)因为y最大值≥y极值，y最小值≤y极值，故错误．(4)正确．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√学习过程一、新知探究探究1：极大值：f(x2)、f(x4)、f(x6)；极小值：f(x1)、f(x3)、f(x5)；探究2：最大值：f(a);最小值：f(x3)探究3：最大值：f(b);最小值：f(a)；最大值：f(x3);最小值：f(x4)问题1：函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大（小）值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．二、典例解析例6:解：因为y'=令y'=又因为f(0)=4,f(3)=1所以,当x=0时，函数f(x)在[0,3]上取得最大值4，当x=2时，函数f(x)在[0,3]上取得最小值-43跟踪训练1.[解](1)f′(x)＝9x2－9＝9(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)变化状态如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，1)1(1，2)2f′(x)＋0－0＋f(x)－1↗11↘－1↗11从表中可以看出，当x＝－2时或x＝1时，函数f(x)取得最小值－1.当x＝－1或x＝2时，函数f(x)取得最大值11.(2)f′(x)＝2cos2x－1，令f′(x)＝0，得cos2x＝eq\f(1,2)，又∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，∴2x∈[－π，π]．∴2x＝±eq\f(π,3).∴x＝±eq\f(π,6).∴函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的两个极值分别为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(π,6)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),2)＋eq\f(π,6).又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(π,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝eq\f(π,2).比较以上函数值可得f(x)max＝eq\f(π,2)，f(x)min＝－eq\f(π,2).例7:解：（1）函数的定义域为x∈R因为f令f(x)'=f(x)'、f所以，fx在区间-∞，-2当x=-2时，fx有极小值f-2=-（2）令fx=0，解得：当x<-1时，fx<0;当x>-1时，所以fx的图像经过特殊点A(-2,-1e2),B-1,0当x→-∞时，与一次函数相比，指数函数y=e-x呈爆炸性增长，从而y=当x→+∞时，fx→+∞根据以上信息，我们画出的大致图像如图所示（3）方程fx=a(a∈R)的解的个数为函数y=fx的图像与直线由（1）及图可得，当x=-2时，有最小值f-2=-所以，方程fx=a当a<-1e当a=-1e2或当-

例8.解：由题意可知，每瓶饮料的利润是y=fr=0.2×43所以f令f'r=当x∈(0,2)时，f'r<0;当x∈(2,6)时，因此，当半径r>2时，f'fr单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r<2时，f'r（1）半径为6cm时，利润最大（2）半径2cm时，利润最小，这时f2跟踪训练2．解：依题意，该帐篷的下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥，如图所示．设帐篷的顶点为O，底面中心为O1，OO1为xm，帐篷的体积为V(x)m3，且1<x<4.由题设可得正六棱锥的底面边长为eq\r(32－x－12)＝eq\r(8＋2x－x2)(m)，故底面正六边形的面积为6×eq\f(\r(3),4)(eq\r(8＋2x－x2))2＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)(m2)，故V(x)＝eq\f(3\r(3),2)(8＋2x－x2)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x－1＋1))＝eq\f(\r(3),2)(16＋12x－x3)，则V′(x)＝eq\f(\r(3),2)(12－3x2)．令V′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝－2(舍去)．当1<x<2时，V′(x)>0，V(x)为增函数；当2<x<4时，V′(x)<0，V(x)为减函数．所以当x＝2时，V(x)取得最大值，且最大值为V(2)＝16eq\r(3).综上可得，当帐篷的顶点到底面中心的距离为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为16eq\r(3)m3.达标检测1．A[令y′＝eq\f(1－lnx,x2)＝0⇒x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0，所以y极大值＝e－1，因为在定义域内只有一个极值，所以ymax＝e－1.]2．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,2)))[f′(x)＝3x2－x－2＝0，x＝1或x＝－eq\f(2,3).f(－1)＝eq\f(11,2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝eq\f(157,27)，f(1)＝eq\f(7,2)，f(2)＝7，∴m＜eq\f(7,2).]3．[解]f′(x)＝3x2－2ax.令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝eq\f(2a,3).①当eq\f(2a,3)≤0，即a≤0时，f(x)在[0，2]上单调递增，从而f(x)max＝f(2)＝8－4a.②当eq\f(2a,3)≥2，即a≥3时，f(x)在[0，2]上单调递减，从而f(x)max＝f(0)＝0.③当0＜eq\f(2a,3)＜2，即0＜a＜3时，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2a,3)))上单调递减，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，2))上单调递增，从而f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4a0＜a≤2，,02＜a＜3.))综上所述，f(x)max＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－4aa≤2，,0a＞2.))4.[解](1)由题设，隔热层厚度为xcm，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5，x＝－eq\f(25,3)(舍去)．当0≤x<5时，f′(x)<0，当5<x≤10时，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.所以，当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．《5.3.2函数的极值与最大(小)值（第二课时）》基础同步练习一、选择题1．在[0，3]上的最大值，最小值分别是（）A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－162．已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（）A．2B．C．1D．3．函数在内有最小值，则的取值范围为()A．B．C．D．4．已知函数无零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．5．（多选题）如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A．B．C．D．6．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（）A．若，则函数没有极值B．若，则函数有极值C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是二、填空题7．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是_____.8．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a=________.9.已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.10．已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数的最大值是_______.三、解答题11．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值．12．已知函数，.（1）若在上的最大值为，求实数的值；（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.《5.3.2函数的极值与最大(小)值（第二课时）》答案解析一、选择题1．在[0，3]上的最大值，最小值分别是（）A．5，－15B．5，－4C．－4，－15D．5，－16【答案】A【详解】，∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为，也是最小值，，的最大值、最小值分别为、.故选：A.2．已知函数，若在定义域内存在，使得不等式成立，则实数m的最小值是（）A．2B．C．1D．【答案】C【详解】函数的定义域为，.令，得或（舍）.当时，；当时，.所以当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为1.因为存在，使得不等式成立，所以，所以实数m的最小值为1.故选：C3．函数在内有最小值，则的取值范围为()A．B．C．D．【答案】B【详解】∵函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），①若a≤0，可得f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，f（x）在x=0处取得最小值，显然不可能，②若a＞0，f′（x）=0解得x=±，当x＞，f（x）为增函数，0＜x＜为减函数，f（x）在x=处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．综上所述，a的取值范围为（0，1），故答案为B4．已知函数无零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】解：因为函数无零点，所以方程在上无解，即在上无解，令，，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以时，函数有唯一的极小值，也是最小值．，所以．若无解，则．故选：B．5．（多选题）如图所示，外层是类似于“甜筒冰淇淋”的图形，上部分是体积为的半球，下面大圆刚好与高度为的圆锥的底面圆重合，在该封闭的几何体内倒放一个小圆锥，小圆锥底面平行于外层圆锥的底面，且小圆锥顶点与外层圆锥顶点重合，则该小圆锥体积可以为（）A．B．C．D．【答案】ABC【详解】令上部分的半球半径为，可得，解得，设小圆锥的底面半径为，小圆锥底面中心到球心距离为，可知，，和可构成直角三角形，即，小圆锥体积．令，则，可知在上单调递增，在上单调递减，所以当时，最大，，即，即ABC三个选项都满足题意．故选：ABC.6．（多选题）已知函数，则下列说法正确的是（）A．若，则函数没有极值B．若，则函数有极值C．若函数有且只有两个零点，则实数a的取值范围是D．若函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是【答案】ABD【详解】由题意得，函数的定义域为，且，当时，恒成立，此时单调递减，没有极值，又当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，∴有且只有一个零点，当时，在上，，单调递减，在上，，单调递增，当时，取得极小值，同时也是最小值，∴，当x趋近于0时，趋近于，趋近于，当x趋近于时，趋近于，当，即时，有且只有一个零点；当，即时，有且仅有两个零点，综上可知ABD正确，C错误．故选：ABD．二、填空题7．若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】，当或时，，当时，，∴是函数的极小值点．∵函数在区间上有最小值，即为极小值．∴，解得．8．已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a=________.【答案】1【详解】是奇函数，时，的最小值为1，在上的最大值为，当时，，令得，又，，令，则，在上递增；令，则，在，上递减，，，得．9．已知函数,,若对任意都存在使成立,则实数的取值范围是______.【答案】【详解】对任意都存在使成立，所以得到，而，所以，即存在，使，此时，，所以，因此将问题转