选修二：利用递推公式求通项公式常用方法与专题训练

高中数学选修二：利用递推公式求通项公式常用方法【思维导图】【常见方法】考法一累加法【例1】数列中，，，则_________.【一隅三反】1．已知数列满足，，则__________.2．设数列中，，则通项___________．考法二累乘法【例2】．已知，，则数列的通项公式是（）A． B． C． D．【一隅三反】1．已知，，则数列的通项公式等于（）A． B． C． D．2．在数列中，，，则______．考法三公式法【例3】（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝_____．（2）若数列的前项和，则的通项公式是________【一隅三反】1．数列的前n项和，则其通项公式________.2．已知为数列的前项和，若，则数列的通项公式为___________.3．已知数列满足，则的通项公式______．考法四倒数法【例4】若数列满足，且，则___________.【一隅三反】1．设数列的前n项和满足，且，则_____．3．若数列满足（，），且，则（）A． B． C． D．考法五构造法【例5】数列中，若，，则该数列的通项（）A． B． C． D．【一隅三反】1．已知数列中，则___________.2．已知数列满足，则的通项公式为_______．答案解析考法一累加法【例1】数列中，，，则___________.【答案】【解析】，，验证时成立..故答案为：【一隅三反】1．已知数列满足，，则__________.【答案】【解析】因为，所以，则当时，，将个式子相加可得，因为，则，当时，符合题意，所以.故答案为:.2．设数列中，，则通项___________．【答案】【解析】∵∴，，，，，，将以上各式相加得：故应填；考法二累乘法【例2】．已知，，则数列的通项公式是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得：，即，则，，，……..，，由累乘法可得，又因为，所以.故选：D.【一隅三反】1．已知，，则数列的通项公式等于（）A． B． C． D．【答案】C【解析】当n≥2时，，经检验，也符合上述通项公式.本题选择C选项.2．在数列中，，，则______．【答案】【解析】由题意得：当时，，所以，即，也即是，所以，所以，故答案为：.考法三公式法【例3】（1）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝_____．（2）若数列的前项和，则的通项公式是________【答案】（1）2n（2）【解析】（1）由题,当时,,当时,.当时也满足.故.故答案为：（2）当n=1时，，解得，当n≥2时，，整理可得，即，故数列以为首项，为公比的等比数列，所以，故答案为：.【一隅三反】1．数列的前n项和，则其通项公式________.【答案】【解析】当时，；当时，；故故答案为：2．已知为数列的前项和，若，则数列的通项公式为___________.【答案】【解析】为数列的前项和，①时，②①②，得：，，，数列的通项公式为.故答案为：.3．已知数列满足，则的通项公式_____．【答案】an＝3•2n﹣2【解析】∵数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan＝4n﹣1，∴当n≥2时，2nan＝（4n﹣1）﹣（4n﹣1﹣1），化为an＝3•2n﹣2．当n＝1时，2a1＝4﹣1，解得，上式也成立．∴an＝3•2n﹣2．故答案为an＝3•2n﹣2．考法四倒数法【例4】若数列满足，且，则___________.【答案】【解析】，即数列是以为首项，为公差的等差数列故答案为：【一隅三反】1．设数列的前n项和满足，且，则_____．【答案】【解析】由，得是以为首相，1为公差的等差数列，，，当时，，故答案为：3．若数列满足（，），且，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】当且，在等式两边取倒数得，，且，所以，数列为等差数列，且首项为，公差为，因此，.故选：A.考法五构造法【例5】数列中，若，，则该数列的通项（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，即数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，故，故选：A【一隅三反】1．已知数列中，则___________.【答案】【解析】因为，所以且，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，故答案为：.2．已知数列满足，则的通项公式为________．【答案】【解析】因为，，所以，即所以以为首项，为公比的等比数列，所以所以故答案为：《利用递推公式求通项公式常用方法》专题训练【题组一累加法】1．如果数列满足：，则（）A． B． C． D．2．在数列中，，，则的通项公式为（）．A． B．C． D．3．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【题组二累乘法】1．已知数列满足，．数列的通项公式是______．【题组三公式法】1．数列{an}的前n项和为Sn，若则____________．2．数列满足，，写出数列的通项公式__________．3．数列的前项和，则该数列的通项公式为__________．4．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.5．数列{an}满足，则a1a2a3…a10=（）A． B． C． D．6．如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（）A． B． C． D．【题组四倒数法】1．在数列{}中，已知，，，则等于()A． B． C． D．2．已知数列满足，那么等于（）A． B． C． D．3．已知数列满足递推关系，则（）A． B． C． D．4．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【题组五周期数列】1．在数列中，，（，），则（）A．B．1C．D．22．已知数列中，，（），那么等于（）A． B． C．2 D．43．已知数列中，,则（）A． B． C． D．答案解析【题组一累加法】1．如果数列满足：，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可得,，，，…,以上个式子相加可得,，,故选B.2．在数列中，，，则的通项公式为（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由已知得，所以将上述个式子相加，整理的又因为，所以．故选A．3．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】数列满足，，，，，，……，累加得：，又，，.故选B.【题组二累乘法】1．已知数列满足，．数列的通项公式是______．【答案】【解析】，当时，当时，，两式相减得：，即，，，，，累乘得：，所以，，故答案为：【题组三公式法】1．数列{an}的前n项和为Sn，若则___________．【答案】.【解析】时，时，，可得，即数列从第二项起为等比数列，时，，故答案为.2．数列满足，，写出数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为,所以,两式相减得，即，又，所以，因此3．数列的前项和，则该数列的通项公式为__________．【答案】【解析】当时当时也适合，故.即答案为.4．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.【答案】；【解析】当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为（-2）n-1．5．数列{an}满足，则a1a2a3…a10=（）A． B． C． D．【答案】A【解析】n=1时,a1=,∵,∴时,,两式相减可得2n-1an=,∴,n=1时，也满足∴,故选A6．如果数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，当时，，所以，当时，，此时，所以，数列是以为首项，为公比的等比数列，即.故选：B.【题组四倒数法】1．在数列{}中，已知，，，则等于()A． B． C． D．【答案】B【解析】将等式两边取倒数得到，是公差为的等差数列，=，根据等差数列的通项公式的求法得到，故=.故答案为：B.2．已知数列满足，那么等于（）A． B． C． D．【答案】D【解析】,,即,又所以数列是首项为,公差为的等差数列,,,故,故选:D.3．已知数列满足递推关系，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，所以则，又，所以所以数列是以2为首项，1为公比的等差数列所以，则所以故选：B4．已知数列满足，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，两边同时取倒数得，即，即数列是公差的等差数列，首项为．则，得，则，故选：【题组五周期数列】1．在数列中，，（，），则（）A．