《4．1数列的概念》课后分层作业与同步检测试卷（含答案解析）

《4．1数列的概念》课后分层作业（第一课时）[A级基础巩固]1．下列说法正确的是()A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))是递增数列D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(－1n,n)))是摆动数列2．已知数列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n,n＋1)，则0.96是该数列的()A．第20项B．第22项C．第24项D．第26项3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．144．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是()A.eq\f(1,5)B．5C．6D．eq\f(log23＋log3132,5)5．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．8．已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(n,n＋1)，则an·an＋1·an＋2＝________.9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：(1)eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(7,12)，________，eq\f(5,12)，eq\f(1,3)，…；(2)eq\f(\r(5),3)，________，eq\f(\r(17),15)，eq\f(\r(26),24)，eq\f(\r(37),35)，…；(3)2,1，________，eq\f(1,2)，…；(4)eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，________，eq\f(65,16)，….10．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来：(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝eq\f(n＋1,n).[B级综合运用]11．(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是()A．an＝nB．an＝n3－6n2－12n－6C．an＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1D．an＝eq\f(6,n2－6n＋11)12．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是()13．已知数列2，eq\f(7,4)，2，…的通项公式为an＝eq\f(an2＋b,cn)，则a4＝________，a5＝________.14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4).(1)求{an}的通项公式；(2)－eq\f(255,256)是{an}中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？[C级拓展探究]15．已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1))).(1)求这个数列的第10项；(2)eq\f(98,101)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．答案解析[A级基础巩固]1．下列说法正确的是()A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))是递增数列D．数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1＋\f(－1n,n)))是摆动数列解析：选D数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．2．已知数列eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，…，eq\f(n,n＋1)，则0.96是该数列的()A．第20项B．第22项C．第24项D．第26项解析：选C由eq\f(n,n＋1)＝0.96，解得n＝24.3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．14解析：选C观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.4．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是()A.eq\f(1,5)B．5C．6D．eq\f(log23＋log3132,5)解析：选Ba1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5.5．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]解析：选Can＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．数列－1,1，－2,2，－3,3，…的一个通项公式为________．解析：注意到数列的奇数项与偶数项的特点即可得an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(n＋1,2)，n＝2k－1k∈N*，,\f(n,2)，n＝2kk∈N*.))答案：an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(n＋1,2)，n＝2k－1k∈N*，,\f(n,2)，n＝2kk∈N*))7．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．解析：由an＝19－2n>0，得n<eq\f(19,2).∵n∈N*，∴n≤9.答案：98．已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(n,n＋1)，则an·an＋1·an＋2＝________.解析：an·an＋1·an＋2＝eq\f(n,n＋1)·eq\f(n＋1,n＋2)·eq\f(n＋2,n＋3)＝eq\f(n,n＋3).答案：eq\f(n,n＋3)9．观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：(1)eq\f(3,4)，eq\f(2,3)，eq\f(7,12)，________，eq\f(5,12)，eq\f(1,3)，…；(2)eq\f(\r(5),3)，________，eq\f(\r(17),15)，eq\f(\r(26),24)，eq\f(\r(37),35)，…；(3)2,1，________，eq\f(1,2)，…；(4)eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，________，eq\f(65,16)，….解：(1)根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改写成以12为分母的分数，则序号123456↓↓↓↓↓↓eq\f(9,12)eq\f(8,12)eq\f(7,12)________eq\f(5,12)eq\f(4,12)于是应填eq\f(6,12)，而分子恰为10减序号，故应填eq\f(1,2)，通项公式为an＝eq\f(10－n,12).(2)eq\f(\r(5),3)＝eq\f(\r(4＋1),4－1)，eq\f(\r(17),15)＝eq\f(\r(16＋1),16－1)，eq\f(\r(26),24)＝eq\f(\r(25＋1),25－1)，eq\f(\r(37),35)＝eq\f(\r(36＋1),36－1).只要按上面形式把原数改写，便可发现各项与序号的对应关系：分子为序号加1的平方与1的和的算术平方根，分母为序号加1的平方与1的差．故应填eq\f(\r(10),8)，通项公式为an＝eq\f(\r(n＋12＋1),n＋12－1).(3)因为2＝eq\f(2,1)，1＝eq\f(2,2)，eq\f(1,2)＝eq\f(2,4)，所以数列缺少部分为eq\f(2,3)，数列的通项公式为an＝eq\f(2,n).(4)先将原数列变形为1eq\f(1,2)，2eq\f(1,4)，___，4eq\f(1,16)，…，所以应填3eq\f(1,8)，数列的通项公式为an＝n＋eq\f(1,2n).10．根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来：(1)an＝(－1)n＋2；(2)an＝eq\f(n＋1,n).解：(1)a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1.图象如图①.(2)a1＝2，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,3)，a4＝eq\f(5,4)，a5＝eq\f(6,5).图象如图②.[B级综合运用]11．(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是()A．an＝nB．an＝n3－6n2－12n－6C．an＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1D．an＝eq\f(6,n2－6n＋11)解析：选AD对于A，若an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B，若an＝n3－6n2－12n＋6，则a1＝－11，不符合题意；对于C，若an＝eq\f(1,2)n2－eq\f(1,2)n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D，若an＝eq\f(6,n2－6n＋11)，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．故选A、D.12．对任意的a1∈(0,1)，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列满足an＋1>an(n∈N*)，则函数y＝f(x)的图象是()解析：选A据题意，由关系式an＋1＝f(an)得到的数列{an}，满足an＋1>an，即该函数y＝f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A.13．已知数列2，eq\f(7,4)，2，…的通项公式为an＝eq\f(an2＋b,cn)，则a4＝________，a5＝________.解析：将a1＝2，a2＝eq\f(7,4)代入通项公式，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,c)＝2，,\f(4a＋b,2c)＝\f(7,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3a，,c＝2a，))∴an＝eq\f(n2＋3,2n)，∴a4＝eq\f(42＋3,2×4)＝eq\f(19,8)，a5＝eq\f(52＋3,2×5)＝eq\f(14,5).答案：eq\f(19,8)eq\f(14,5)14．已知数列{an}的通项公式为an＝pn＋q(p，q∈R)，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4).(1)求{an}的通项公式；(2)－eq\f(255,256)是{an}中的第几项？(3)该数列是递增数列还是递减数列？解：(1)∵an＝pn＋q，且a1＝－eq\f(1,2)，a2＝－eq\f(3,4)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＋q＝－\f(1,2)，,p2＋q＝－\f(3,4)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,2)，,q＝－1，))因此{an}的通项公式是an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1.(2)令an＝－eq\f(255,256)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝－eq\f(255,256)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\f(1,256)，解得n＝8.故－eq\f(255,256)是{an}中的第8项．(3)由于an＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1，且eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n随n的增大而减小，因此an的值随n的增大而减小，故{an}是递减数列．[C级拓展探究]15．已知数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(9n2－9n＋2,9n2－1))).(1)求这个数列的第10项；(2)eq\f(98,101)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．解：(1)设an＝f(n)＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(3n－13n－2,3n－13n＋1)＝eq\f(3n－2,3n＋1).令n＝10，得第10项a10＝f(10)＝eq\f(28,31).(2)令eq\f(3n－2,3n＋1)＝eq\f(98,101)，得9n＝300.此方程无正整数解，所以eq\f(98,101)不是该数列中的项．(3)证明：∵an＝eq\f(3n－2,3n＋1)＝1－eq\f(3,3n＋1)，且n∈N*，∴0<1－eq\f(3,3n＋1)<1，∴0<an<1.∴数列中的各项都在区间(0,1)内．(4)令eq\f(1,3)<an＝eq\f(3n－2,3n＋1)<eq\f(2,3)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n＋1<9n－6，,9n－6<6n＋2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n>\f(7,6)，,n<\f(8,3).))∴当且仅当n＝2时，上式成立，故在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有数列中的项，且只有一项为a2＝eq\f(4,7).《4．1数列的概念》课后分层作业第二课时数列的递推公式与前n项和[A级基础巩固]1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于()A．15B．16C．31D．322．若数列{an}满足an＋1＝eq\f(4an＋3,4)(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝()A．13B．14C．15D．163．(多选)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是()A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，则b6的值是()A．9B．17C．33D．656．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2021＝________.x12345f(x)513427．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.8．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．9．根据下列条件，写出数列的前四项，并写出它的一个通项公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an,n＋1)(n∈N*)；(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．10．已知函数f(x)＝x－eq\f(1,x).数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．[B级综合运用]11．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1008等于()A．504B．294C．－294D．－50412．(多选)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－113．已知数列{an}满足a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，则a2021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．14．已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．[C级拓展探究]15．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n2,2n)(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．答案解析[A级基础巩固]1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，则a5等于()A．15B．16C．31D．32解析：选C∵数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，a5＝2×15＋1＝31.2．若数列{an}满足an＋1＝eq\f(4an＋3,4)(n∈N*)，且a1＝1，则a17＝()A．13B．14C．15D．16解析：选A由an＋1＝eq\f(4an＋3,4)得an＋1－an＝eq\f(3,4)，a17＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a17－a16)＝1＋eq\f(3,4)×16＝13，故选A.3．(多选)数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是()A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项解析：选BCan＝－n2＋11n＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(11,2)))2＋eq\f(121,4)，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值．故选B、C.4．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,n).①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)解析：选C由题意得ak＝eq\f(n,k).k≥2时，ak－1ak＝eq\f(n2,k－1k)＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k))).∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n)))))＝n2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＝n(n－1)．故选C.5．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，则b6的值是()A．9B．17C．33D．65解析：选C∵bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，∴b2＝aeq\a\vs4\al(b1)＝a2＝3，b3＝aeq\a\vs4\al(b2)＝a3＝5，b4＝aeq\a\vs4\al(b3)＝a5＝9，b5＝aeq\a\vs4\al(b4)＝a9＝17，b6＝aeq\a\vs4\al(b5)＝a17＝33.6．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2021＝________.x12345f(x)51342解析：根据定义可得出：x1＝f(x0)＝2，x2＝f(x1)＝1，x3＝f(x2)＝5，x4＝f(x3)＝2，…，所以周期为3，故x2021＝673×3＋x2＝1.答案：17．如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.解析：因为OA1＝1，OA2＝eq\r(2)，OA3＝eq\r(3)，…，OAn＝eq\r(n)，…，所以a1＝1，a2＝eq\r(2)，a3＝eq\r(3)，…，an＝eq\r(n).答案：eq\r(n)8．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1.答案：－19．根据下列条件，写出数列的前四项，并写出它的一个通项公式：(1)a1＝0，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)；(2)a1＝1，an＋1＝an＋eq\f(an,n＋1)(n∈N*)；(3)a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．解：(1)a1＝0，a2＝1，a3＝4，a4＝9.它的一个通项公式为an＝(n－1)2.(2)a1＝1，a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(4,2)，a4＝eq\f(5,2).它的一个通项公式为an＝eq\f(n＋1,2).(3)a1＝2，a2＝3，a3＝5，a4＝9.它的一个通项公式为an＝2n－1＋1.10．已知函数f(x)＝x－eq\f(1,x).数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．解：∵f(x)＝x－eq\f(1,x)，∴f(an)＝an－eq\f(1,an)，∵f(an)＝－2n.∴an－eq\f(1,an)＝－2n，即aeq\o\al(2,n)＋2nan－1＝0.∴an＝－n±eq\r(n2＋1).∵an>0，∴an＝eq\r(n2＋1)－n.[B级综合运用]11．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，数列{an}的前n项的和为Sn，则S1008等于()A．504B．294C．－294D．－504解析：选C∵a1＝2，an＋1＝eq\f(an－1,an＋1)，∴a2＝eq\f(1,3)，a3＝－eq\f(1,2)，a4＝－3，a5＝2，…，∴数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－eq\f(7,6)，∴S1008＝S4×252＝252×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,6)))＝－294.12．(多选)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－1解析：选AC根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.故选A、C.13．已知数列{an}满足a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，则a2021＝________，|an＋an＋1|＝________(n＞1)．解析：由a1＝1，an＝aeq\o\al(2,n－1)－1(n＞1)，得a2＝aeq\o\al(2,1)－1＝12－1＝0，a3＝aeq\o\al(2,2)－1＝02－1＝－1，a4＝aeq\o\al(2,3)－1＝(－1)2－1＝0，a5＝aeq\o\al(2,4)－1＝02－1＝－1，由此可猜想当n＞1，n为奇数时an＝－1，n为偶数时an＝0，∴a2021＝－1，|an＋an＋1|＝1.答案：－1114．已知数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2)，求数列{an}的通项公式．解：∵anan－1＝an－1－an，∴eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝1.∴eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)－\f(1,a1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)－\f(1,a2)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))＝2＋1＋1＋…＋eq\o(1,\s\do4(n－1个1))＝n＋1.∴eq\f(1,an)＝n＋1，∴an＝eq\f(1,n＋1)(n≥2)．又∵n＝1时，a1＝eq\f(1,2)，符合上式，∴an＝eq\f(1,n＋1).[C级拓展探究]15．已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n2,2n)(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．解：存在最大项．理由：a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(22,22)＝1，a3＝eq\f(32,23)＝eq\f(9,8)，a4＝eq\f(42,24)＝1，a5＝eq\f(52,25)＝eq\f(25,32)，….∵当n≥3时，eq\f(an＋1,an)＝eq\f(n＋12,2n＋1)×eq\f(2n,n2)＝eq\f(n＋12,2n2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))2<1，∴an＋1<an，即n≥3时，{an}是递减数列．又∵a1<a3，a2<a3，∴an≤a3＝eq\f(9,8).∴当n＝3时，a3＝eq\f(9,8)为这个数列的最大项．《4.1数列的概念》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．下列说法正确的是()A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C．数列是递增数列D．数列是摆动数列2．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的()A．第20项B．第22项C．第24项D．第26项3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．144．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是()A.B．5C．6D．5．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]6．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是()A．第4项B．第6项C．第5项D．第5项和第6项7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)8．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，则b6的值是()A．9B．17C．33D．65二、多选题9．(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是()A．an＝nB．an＝n3－6n2－12n－6C．an＝n2－n＋1D．an＝10．(多选)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－111．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A． B．C． D．12．“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦……”大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，……．记大衍数列为，其前n项和为，则（）A．B．C．D．三、填空题13．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为________．14．已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2＝________.15.数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．16.如图(1)是第七届国际数学教育大会(简称ICME­7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(2)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图(2)中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝________.四、解答题17．已知数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前多少项和最大．18．在数列中，.（1）-107是不是该数列中的某一项？若是，其为第几项？（2）求数列中的最大项.19．数列{an}满足a1=1,an+1+2anan+1-an=0.（1）写出数列的前5项；（2）由（1）写出数列{an}的一个通项公式；（3）实数是否为这个数列中的一项？若是,应为第几项？20．已知数列.(1)求这个数列的第10项；(2)是不是该数列中的项，为什么？(3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；(4)在区间内有无数列中的项？若有，是第几项？若没有，说明理由．21．已知函数f(x)＝x－.数列{an}满足f(an)＝－2n，且an>0.求数列{an}的通项公式．22．已知数列{an}的通项公式为an＝(n∈N*)，则这个数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项；若不存在，请说明理由．答案解析一、单选题1．下列说法正确的是()A．数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的B．数列1,2,3与数列3,2,1是相同的C．数列是递增数列D．数列是摆动数列【答案】D【解析】数列是有序的，而数集是无序的，所以A，B不正确；选项C中的数列是递减数列；选项D中的数列是摆动数列．2．已知数列，，，…，，则0.96是该数列的()A．第20项B．第22项C．第24项D．第26项【答案】C【解析】由＝0.96，解得n＝24.3．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x等于()A．11B．12C．13D．14【答案】C【解析】观察数列可知，后一项是前两项的和，故x＝5＋8＝13.4．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积是()A.B．5C．6D．【答案】B【解析】a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝log232＝log225＝5.5．已知递减数列{an}中，an＝kn(k为常数)，则实数k的取值范围是()A．RB．(0，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]【答案】C【解析】an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k<0.6．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项是()A．第4项B．第6项C．第5项D．第5项和第6项【答案】D【解析】an＝－n2＋11n＝－＋，∵n∈N＋，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值．故选D.7．我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为：第一步：构造数列1，，，，…，.①第二步：将数列①的各项乘n，得到数列(记为)a1，a2，a3，…，an.则n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝()A．n2B．(n－1)2C．n(n－1)D．n(n＋1)【答案】C【解析】由题意得ak＝.k≥2时，ak－1ak＝.∴n≥2时，a1a2＋a2a3＋…＋an－1an＝n2＝n2＝n(n－1)．故选C.8．由1,3,5，…，2n－1，…构成数列{an}，数列{bn}满足b1＝2，当n≥2时，bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，则b6的值是()A．9B．17C．33D．65【答案】C【解析】∵bn＝aeq\a\vs4\al(bn－1)，∴b2＝aeq\a\vs4\al(b1)＝a2＝3，b3＝aeq\a\vs4\al(b2)＝a3＝5，b4＝aeq\a\vs4\al(b3)＝a5＝9，b5＝aeq\a\vs4\al(b4)＝a9＝17，b6＝aeq\a\vs4\al(b5)＝a17＝33.二、多选题9．(多选)一个无穷数列{an}的前三项是1,2,3，下列可以作为其通项公式的是()A．an＝nB．an＝n3－6n2－12n－6C．an＝n2－n＋1D．an＝【答案】AD【解析】对于A，若an＝n，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意；对于B，若an＝n3－6n2－12n＋6，则a1＝－11，不符合题意；对于C，若an＝n2－n＋1，当n＝3时，a3＝4≠3，不符合题意；对于D，若an＝，则a1＝1，a2＝2，a3＝3，符合题意．故选A、D.10．(多选)数列{Fn}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”．该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是()A．S5＝F7－1B．S5＝S6－1C．S2019＝F2021－1D．S2019＝F2020－1【答案】AC【解析】根据题意有Fn＝Fn－1＋Fn－2(n≥3)，所以S3＝F1＋F2＋F3＝1＋F1＋F2＋F3－1＝F3＋F2＋F3－1＝F4＋F3－1＝F5－1，S4＝F4＋S3＝F4＋F5－1＝F6－1，S5＝F5＋S4＝F5＋F6－1＝F7－1，…，所以S2019＝F2021－1.故选A、C.11．已知数列的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A． B．C． D．【答案】BD【解析】因为数列的前4项为2，0，2，0，选项A：不符合题设；选项B：，符合题设；选项C：，不符合题设；选项D：，符合题设.