《5.3.1函数的单调性》课后分层作业

《5.3.1函数的单调性》课后分层作业[A级基础巩固]1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．函数f(x)在区间(－2,1)上单调递增B．函数f(x)在区间(1,3)上单调递减C．函数f(x)在区间(4,5)上单调递增D．函数f(x)在区间(－3，－2)上单调递增2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()3．函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调递减区间为()A．(0,1)B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sinxB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x5．若f(x)＝eq\f(lnx,x)，e<a<b，则()A．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b)D．f(a)f(b)>16．已知函数f(x)＝kex－1－x＋eq\f(1,2)x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递减区间为________．7．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为________．8．如图为函数f(x)的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式eq\f(f′x,x)<0的解集为________．9．已知函数f(x)＝2ax－eq\f(1,x2)，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图，f(x)＝6lnx＋h(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m＋\f(1,2)))上是单调函数，求实数m的取值范围．[B级综合运用]11．已知函数y＝f(x)的图象是如图四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()12．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)13．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x－1的x的取值范围是________．14．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2>0.[C级拓展探究]15．(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝lnx＋kx.当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数，g(x)在(0,1)上为增函数，求实数k的值；(2)已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)－2lnx，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间．答案解析[A级基础巩固]1．如图是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断正确的是()A．函数f(x)在区间(－2,1)上单调递增B．函数f(x)在区间(1,3)上单调递减C．函数f(x)在区间(4,5)上单调递增D．函数f(x)在区间(－3，－2)上单调递增解析：选C由图知当x∈(4,5)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(4,5)上单调递增．2．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是()解析：选D∵函数f(x)在(0，＋∞)，(－∞，0)上都是减函数，∴当x>0时，f′(x)<0，当x<0时，f′(x)<0，故选D.3．函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－lnx的单调递减区间为()A．(0,1)B．(0,1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)解析：选A∵y＝eq\f(1,2)x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，∴y′＝x－eq\f(1,x)，令y′<0，即x－eq\f(1,x)<0，解得0<x<1.故选A.4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sinxB．y＝xexC．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析：选BB项中，y＝xex，y′＝ex＋xex＝ex(1＋x)，当x∈(0，＋∞)时，y′>0，∴y＝xex在(0，＋∞)内为增函数．5．若f(x)＝eq\f(lnx,x)，e<a<b，则()A．f(a)>f(b)B．f(a)＝f(b)C．f(a)<f(b)D．f(a)f(b)>1解析：选A由f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)<0，解得x>e，∴f(x)在(e，＋∞)上为减函数，∵e<a<b，∴f(a)>f(b)．6．已知函数f(x)＝kex－1－x＋eq\f(1,2)x2(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，则f(x)的单调递减区间为________．解析：f′(x)＝kex－1－1＋x.∵曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与x轴平行，∴f′(0)＝k·e－1－1＝0，解得k＝e，故f′(x)＝ex＋x－1.令f′(x)<0，解得x<0，故f(x)的单调递减区间为(－∞，0)．答案：(－∞，0)7．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为________．解析：∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a.要使f(x)在(－1,1)上单调递减，则f′(x)≤0在x∈(－1,1)上恒成立，则3x2－a≤0，故a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立，在x∈(－1,1)上，3x2<3，即a≥3，∴a的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．如图为函数f(x)的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式eq\f(f′x,x)<0的解集为________．解析：由题图知，当x∈(－∞，－3)∪(－1,1)时，f′(x)<0，当x∈(－3，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0，故不等式eq\f(f′x,x)<0的解集为(－3，－1)∪(0,1)．答案：(－3，－1)∪(0,1)9．已知函数f(x)＝2ax－eq\f(1,x2)，x∈(0,1]．若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围．解：由已知，得f′(x)＝2a＋eq\f(2,x3).∵f(x)在(0,1]上单调递增，∴f′(x)≥0，即a≥－eq\f(1,x3)在(0,1]上恒成立．而g(x)＝－eq\f(1,x3)在(0,1]上是增函数，∴g(x)max＝g(1)＝－1，∴a≥－1.当a＝－1时，f′(x)＝－2＋eq\f(2,x3)，对x∈(0,1]有f′(x)≥0，∴当a＝－1时，f(x)在(0,1]上是增函数．综上，若f(x)在(0,1]上为增函数，a的取值范围是[－1，＋∞)．10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图，f(x)＝6lnx＋h(x)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m＋\f(1,2)))上是单调函数，求实数m的取值范围．解：(1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－8，))∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，∴f(x)＝6lnx＋x2－8x＋2.(2)∵f′(x)＝eq\f(6,x)＋2x－8＝eq\f(2x－1x－3,x)(x>0)．∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增单调递减单调递增∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，f(x)的单调递减区间为(1,3)．要使函数f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，m＋\f(1,2)))上是单调函数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<m＋\f(1,2)，,m＋\f(1,2)≤3，))解得eq\f(1,2)<m≤eq\f(5,2).即实数m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).[B级综合运用]11．已知函数y＝f(x)的图象是如图四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()解析：选B从导函数的图象可以看出，导函数值先增大后减小，当x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A中，在x＝0时变化率最小，故错误；C中，变化率是越来越大的，故错误；D中，变化率是越来越小的，故错误．故选B.12．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)·g′(x)>0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)解析：选D当x<0时，[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，令F(x)＝f(x)g(x)，则当x<0时，F(x)为增函数．∵f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)．∴F(x)为奇函数．故当x>0时，F(x)仍为增函数．根据F(x)＝f(x)g(x)的性质，可作出F(x)的示意图．∴f(x)g(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0,3)．13．定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，f′(x)<2，则满足f(x)>2x－1的x的取值范围是________．解析：令g(x)＝f(x)－2x＋1，则g′(x)＝f′(x)－2<0，又g(1)＝f(1)－2×1＋1＝0，当g(x)>g(1)＝0时，即x<1时f(x)－2x＋1>0，即f(x)>2x－1的解集为(－∞，1)．答案：(－∞，1)14．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝－1时，证明：当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋2>0.解：(1)根据题意知，f′(x)＝eq\f(a1－x,x)(x>0)，当a>0时，则当x∈(0,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＝0时，f(x)＝－3，不是单调函数，无单调区间．(2)证明：当a＝－1时，f(x)＝－lnx＋x－3，所以f(1)＝－2，由(1)知f(x)＝－lnx＋x－3在(1，＋∞)上单调递增，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0.[C级拓展探究]15．(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝lnx＋kx.当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数，g(x)在(0,1)上为增函数，求实数k的值；(2)已知函数f(x)＝x＋eq\f(a,x)－2lnx，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间．解：(1)当a＝1时，f(x)＝xekx－1，∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝eq\f(1,x)＋k.∵f(x)在(1，＋∞)上为减函数，则∀x>1，f′(x)≤0⇔k≤－eq\f(1,x)，∴k≤－1.∵g(x)在(0,1)上为增函数，则∀x∈(0,1)，g′(x)≥0⇔k≥－eq\f(1,x)，∴k≥－1.综上所述，k＝－1.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝1－eq\f(a,x2)－eq\f(2,x)＝eq\f(x2－2x－a,x2).①当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时，得x2－2x－a≥0，则f′(x)≥0.∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当Δ＝4＋4a>0，即a>－1时，令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，解得x1＝1－eq\r(1＋a)，x2＝1＋eq\r(1＋a)>0.(ⅰ)若－1<a≤0，则x1＝1－eq\r(1＋a)≥0，∵x∈(0，＋∞)，∴f(x)在(0,1－eq\r(1＋a))，(1＋eq\r(1＋a)，＋∞)上单调递增，在(1－eq\r(1＋a)，1＋eq\r(1＋a))上单调递减．(ⅱ)若a>0，则x1<0，当x∈(0,1＋eq\r(1＋a))时，f′(x)<0，当x∈(1＋eq\r(1＋a)，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)在区间(0,1＋eq\r(1＋a))上单调递减，在区间(1＋eq\r(1＋a)，＋∞)上单调递增．《5.3.1函数的单调性》同步检测试卷注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A． B．C． D．2．设奇函数在R上存在导函数，且在上，若，则实数m的取值范围为（）A． B．C． D．3．函数为的导函数，令，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．4．若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A． B． C． D．5．若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．7．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A． B．C．D．8．已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．二、多选题9．（多选）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是（）A． B．C． D．10．（多选）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在上是增函数 D．当时，取得极小值11．(多选)已知函数，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．12．下列函数在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A． B． C． D．三、填空题13．已知函数与的图象如图所示，则函数的单调递减区间为___________．14．已知在单调递减，则的取值范围为______．15．设是函数在的导函数，对，，且，，．若，则实数的取值范围为__．四、双空题16．已知函数的图象在点处的切线与直线垂直，则与的关系为_______(用表示)，若函数在区间上单调递增，则的最大值等于______.答案解析一、单选题1．设函数的图象如图所示，则导函数的图象可能为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵在，上为减函数，在上为增函数，∴当或时，；当时，．故选：C．2．设奇函数在R上存在导函数，且在上，若，则实数m的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】，即，构造函数，由题意知：在上，，故在上单调递减，为奇函数，，即为奇函数，故在R上单调递减，因此原不等式可化为：，即，解得.故选：D．3．函数为的导函数，令，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意得，，，解得，所以．所以，所以为减函数．因为，所以，故选：B．4．若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设导函数的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为，其中，故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在单调递增．故选：D．5．若函数恰好有三个不同的单调区间，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，函数恰好有三个不同的单调区间，有两个不同的零点，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.6．函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，函数的定义域为，．令，得，解得，故函数的单调递减区间为．故选：D7．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为满足，，令，则，所以在R上是增函数，又，则，不等式可化为，即，所以，所不等式的解集是，故选：C8．已知奇函数的定义域为，其图象是一段连续不断的曲线，当时，有成立，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，则当时，有成立，此时所以在上单调递增.又为奇函数，则，则为奇函数，又则在上单调递增，所以在上单调递增.当，恒有可化为，即，由在上单调递增，所以故选：A二、多选题9．（多选）已知函数的定义域为R，其导函数的图象如图所示，则对于任意，下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由题中图象可知，导函数的图象在x轴下方，即，且其绝对值越来越小，因此过函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角，由此可得的大致图象如图所示．A选项表示与异号，即图象的割线斜率为负，故A正确；B选项表示与同号，即图象的割线斜率为正，故B不正确；表示对应的函数值，即图中点B的纵坐标，表示当和时所对应的函数值的平均值，即图中点A的纵坐标，显然有，故C不正确，D正确．故选:AD．10．（多选）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（）A．在上是增函数 B．在上是减函数C．在上是增函数 D．当时，取得极小值【答案】CD【解析】的图象在上先小于0，后大于0，故在上先减后增，因此A错误；的图象在上先大于0，后小于0，故在上先增后减，因此B错误；由图可知，当时，，所以在上单调递增，因此C正确；当时，，当时，，所以