高中数学《7.3 离散型随机变量的均值》课件与同步练习

人教A版（2019）选择性必修第三册第一课时离散型随机变量的均值7.3离散型随机变量的数字特征新知导入

甲、乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.环数X78910甲射中的环数0.10.20.30.4乙射中的环数0.150.250.40.2思考：如何比较甲、乙两人射箭水平的高低？首先比较击中的平均环数，如果平均环数相同，再比较稳定性.新知导入假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为

当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于

即甲射中平均环数的稳定值为9，该平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.

所以，从平均值的角度比较，甲运动员的射箭水平比乙运动员高.新知讲解一般地，若离散型随机变量X的分布列为：离散型随机变量的均值数学期望Xx1x2...xnPp1p2...pn则称

为随机变量X的均值或数学期望，简称期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.新知讲解求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：(1)确定X的可能取值；(2)计算出P(X＝k)；(3)写出分布列；(4)利用E(X)的计算公式计算E(X)．例题讲解例1在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少?

解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2,所以E(X)=0x0.2+1x0.8=0.8.即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)=0x(1-p)+1xp=p例题讲解例2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X，求X的均值.

因此，解：X的分布列为

合作探究

思考：设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．（1）Y的分布列是什么？（2）E(Y)=？合作探究

······························E(aX+b)=aE(X)+b合作探究

离散型随机变量均值的运算性质(1)E(X＋b)＝E(X)＋b，(2)E(aX)＝aE(X)，(3)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.例题讲解例3猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示.歌曲ABC猜对的概率0.80.60.4获得的公益基金额/元100020003000规则如下:按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.分析:根据规则，公益基金总额X的可能取值有四种情况：猜错A，获得0元基金；猜对A而猜错B，获得1000元基金；猜对A和B而猜错C，获得3000元基金；A，B，C全部猜对，获得6000元基金.因此X是一个离散型随机变量，利用独立条件下的乘法公式可求分布列.解:分别用A，B，C表示猜对歌曲A，B，C歌名的事件，则A，B，C相互独立.P（X=0）=P()=0.2，P(X=1000)=P()=0.8x0.4=0.32,P(X=3000)=P()=0.8x0.6x0.6=0.288P(X=6000)=P(ABC)=0.8x0.6x0.4=0.192

X的分布列为：则X的均值为：

E(X)=0x0.2+1000x0.32+3000x0.288+6000x0.192=2336X0100030006000P0.20.320.2880.192例4根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元；方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水；方案3：不采取措施.工地的领导该如何决策呢？分析：决策目标为总损失（即投入费用与设备损失之和）越小越好.根据题意，各种方案在不同状态下的总损失如下表所示：天气状况大洪水小洪水没有洪水概率0.010.250.74总损失/元

方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2X3.采用方案1，无论有无洪水，都损失3800元.因此，P(X1=3800)=1.采用方案2，遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元，因此P(X2=62000)=0.01，P(X2=2000)=0.99.采用方案3，P(X3=60000)=0.01，P(X3=10000)=0.25，P(X3=0)=0.74.于是，E(X1)=3800，E(X2)=62000x0.01+2000x0.99=2600，E(X3)=60000x0.01+10000x0.25+0x0.74=3100.因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2.课堂练习1.已知离散型随机变量X的分布列为CDX123P0.40.50.1

则X的数学期望E(X)=()A.1B.1.5C.2.5D.1.72．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为（）A．1.2 B．5C．1 D．31C3．某船队若出海后天气好，可获得5000元；若出海后天气坏，将损失2000元；若不出海也要损失1000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是()A．2000元 B．2200元

C．2400元

D．2600元B4．若随机变量X的分布列如下所示，

BX-1012P0.2ab0.3且E(X)＝0.8，则a、b的值分别是（）A．0.4，0.1 B．0.1，0.4C．0.3，0.2 D．0.2，0.35．某运动员射击一次所得环数X的分布列如下：X8910P0.40.40.2现进行两次射击，且两次射击互不影响，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为Y．（1）求该运动员两次命中的环数相同的概率；（2）求Y的分布列和数学期望EY．解：（1）两次都命中8环的概率为P1=0.4x0.4=0.16；

两次都命中9环的概率为P2=0.4x0.4=0.16；

两次都命中10环的概率为P3=0.2x0.2=0.04，

则该运动员两次命中的环数相同的概率为P=P1+P2+P3=0.16+0.16+0.04=0.36.

（2）Y的可能取值为8，9，10，则

P(Y=8)=0.4x0.4=0.16P(Y=9)=2x0.4x0.4+0.4x0.4=0.48P(Y=10)=1-P(Y=8)-P(Y=9)=0.36，则Y的分布列为：Y8910P0.160.480.36E(Y)=8x0.16+9x0.48+10x0.36=9.26．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下：降水量X/mmX<300300≤X<700700≤X<900X≥900工程延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300mm，700mm，900mm的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：（1）工期延误天数Y的均值；（2）在降水量至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：（1）由题意，随机变量Y的允许取值为0,2,6,10，则P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2，P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1所以Y的分布列为Y02610P0.30.40.20.1所以E(Y)＝0×0.3＋2×0.4＋6×0.2＋10×0.1＝3（2）由概率的加法公式，可得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又由P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，可得故在降水量至少是300mm的条件下，工期延误不超过6天的概率是.P(Y≤6|X≥300)=P(X<900|X≥300)=

7．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6的六个球.（1）从中任意取出两个球，求这两个球的编号之和为偶数的概率；（2）从中任意取出三个球，记X为编号为偶数的球的个数，求X的分布列和数学期望.

（2）由题意，X的可能取值为0,1,2,3，则

X0123P则X的分布列为：

E(X)=

拓展提高8．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数51010205拓展提高若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.解：（1）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38x6=228，p=0.1当a=39时，X=39x6=234，p=0.2当a=40时，X=40x6=240，p=0.2当a=41时，X=40x6+1x7=247，p=0.4当a=42时，X=40x6+2x7=254，p=0.1故X的所有可能取值为228，234，240，247，254，故X的分布列为X228234240247254P0.10.20.20.40.1故E(X)=228x0.1+234x0.2+240x0.2+247x0.4+254x0.1=241.8（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：

38x0.2+39x0.3+40x0.2+41x0.2+42x0.1=39.7则甲公司送餐员日平均工资为80+4x39.7=238.8元因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，241.8>238.8，所以推荐小王去乙公司应聘.9.某学校为了学生的健康,对课间操活动做了如下规定:课间操时间若有雾霾则停止课间操,若无雾霾则组织课间操.预报得知,在未来一周从周一到周五的课间操时间出现雾霾的概率是:前3天均为,后2天均为,且每一天出现雾霾与否是相互独立的.(1)求未来5天至少一天停止课间操的概率;(2)求未来5天组织课间操的天数X的分布列和数学期望.

解：（1）由题意知，未来5天每天都组织课间操的概率为:

则未来5天至少一天停止课间操的概率为

（2）未来5天组织课间操的天数X的可能取值为0,1,2,3,4,5

X012345P则X的分布列为:

数学期望为：

链接高考10．一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片.（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望.（注：若三个数a,b,c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数）.解：（1）所取3张卡片上的数字完全相同的概率为：

（2）X的所有可能值为1，2，3，且

X123P故X的分布列为：

数学期望为：

11．市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐3名男生，2名女生，B中学推荐了3名男生，4名女生，两校推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X得分布列和数学期望.解：(1)由题意知，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全部从B中学中抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为

因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为

X123P所以X的分布列为：

数学期望为：

(2)根据题意得，X的可能取值为1，2，3，则

课堂总结

板书设计7.3.1离散型随机变量的数学期望一、新知导入二、新知讲解离散型随机变量的均值三、例题讲解四、课堂练习五、拓展提高六、课堂总结七、作业布置作业布置课本P66~P67练习

第1~3题《第一课时离散型随机变量的均值》同步练习7.3离散型随机变量的数字特征激趣诱思知识点拨某城市随机抽样调查了1000户居民的住房情况,发现户型主要集中于160m2,100m2,60m2三种,对应住房的比例为1∶5∶4,能否说该市的人均住房面积为≈106.7(m2)?此种计算显然不合理,忽略了不同住房面积的居民所占的比例,造成了“被平均”现象.那么如何计算人均住房面积更为合理呢?激趣诱思知识点拨一、离散型随机变量的均值一般地,若离散型随机变量X的分布列如下表所示,Xx1x2…xnPp1p2…pn则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.激趣诱思知识点拨名师点析均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”,这是随机变量X的一个重要特征,它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平.激趣诱思知识点拨微思考离散型随机变量的均值与分布列有什么区别?提示:离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的,但二者有所不同.分布列只给了随机变量取所有可能值的概率,而均值却反映了随机变量取值的平均水平.激趣诱思知识点拨微练习已知X的分布列为X-1012P

则X的均值为(

)答案:D激趣诱思知识点拨二、两点分布一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=0×(1-p)+1×p=p.激趣诱思知识点拨微练习已知随机变量X满足P(X=1)=0.3,P(X=0)=0.7,则E(X)=

.

解析:因为随机变量X服从两点分布,所以E(X)=0.3.答案:0.3激趣诱思知识点拨三、离散型随机变量均值的性质一般地,下面的结论成立:E(aX+b)=aE(X)+b.激趣诱思知识点拨微练习已知随机变量X的分布列如下.X0123P

a

则E(X)=

,E(2X-1)=

.

探究一探究二素养形成当堂检测求离散型随机变量的均值例1某地最近出台一项机动车驾照考试规定:每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,即可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和均值.探究一探究二素养形成当堂检测解:X的可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)=0.6,P(X=2)=(1-0.6)×0.7=0.28,P(X=3)=(1-0.6)×(1-0.7)×0.8=0.096,P(X=4)=(1-0.6)×(1-0.7)×(1-0.8)×1=0.024.所以在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列为X1234P0.60.280.0960.024E(X)=1×0.6+2×0.28+3×0.096+4×0.024=1.544.

探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟

求离散型随机变量均值的步骤(1)确定离散型随机变量X的取值;(2)写出分布列,并检查分布列的正确与否;(3)根据公式求出均值.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练1盒中装有5节同品牌的五号电池,其中混有两节废电池.现在无放回地每次取一节电池检验,直到取到好电池为止,求抽取次数X的分布列及均值.探究一探究二素养形成当堂检测离散型随机变量的均值的性质例2已知随机变量X的分布列为若Y=-2X,则E(Y)=

.

探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟

若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为实数.一般思路是先求出E(X),再利用公式E(ξ)=E(aX+b)=aE(X)+b求出E(ξ).探究一探究二素养形成当堂检测变式训练2已知随机变量ξ和η,其中η=12ξ+7,且E(η)=34,若ξ的分布列如下表,则m的值为(

)探究一探究二素养形成当堂检测解析:因为η=12ξ+7,所以E(η)=12E(ξ)+7,答案:A

探究一探究二素养形成当堂检测均值的实际应用典例随机抽取某厂的某种产品200件,经质检,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元,而1件次品亏损2万元,设1件产品的利润(单位:万元)为X.(1)求X的分布列.(2)求1件产品的平均利润(即X的均值).(3)经技术革新后,仍有四个等级的产品,但次品率降为1%,一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元,则三等品率最多是多少?探究一探究二素养形成当堂检测故X的分布列为

X621-2P0.630.250.10.02探究一探究二素养形成当堂检测(2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34.故1件产品的平均利润为4.34万元.(3)设技术革新后的三等品率为x,则此时1件产品的平均利润为E(X)=6×0.7+2×(1-0.7-0.01-x)+1×x+(-2)×0.01=4.76-x(0≤x≤0.29),依题意,E(X)≥4.73,即4.76-x≥4.73,解得x≤0.03,所以三等品率最多为3%.探究一探究二素养形成当堂检测方法点睛

解决与生产实际相关的概率问题时,首先把实际问题概率模型化,然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小,并列出分布列,最后利用公式求出相应的均值.探究一探究二素养形成当堂检测跟踪训练某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为

.现安排甲组研发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品A研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和均值.探究一探究二素养形成当堂检测探究一探究二素养形成当堂检测探究一探究二素养形成当堂检测1.已知随机变量X的分布列为

X123P0.20.5m则X的均值是(

)A.2 B.2.1C.2.3 D.随m的变化而变化解析:∵0.2+0.5+m=1,∴m=0.3.∴E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=2.1.答案:B探究一探究二素养形成当堂检测则当a增大时,E(ξ)的变化情况是(

)A.E(ξ)增大B.E(ξ)减小C.E(ξ)先增大后减小D.E(ξ)先减小后增大探究一探究二素养形成当堂检测答案:B

探究一探究二素养形成当堂检测3.若X的分布列为

,Y=2X+5,则E(Y)=

.

探究一探究二素养形成当堂检测4.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分,不命中得0分.已知某篮球运动员罚球命中的概率为0.8,则他罚球一次得分X的均值是

.

解析:因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)=1×0.8+0×0.2=0.8.答案:0.8探究一探究二素养形成当堂检测5.袋中有4个红球、3个白球,从袋中随机取出4个球.设取出一个红球得2分,取出一个白球得1分,试求得分X的均值.探究一探究二素养形成当堂检测所以X的分布列为

第二课时离散型随机变量的方差7.3离散型随机变量的数字特征1.离散型随机变量的数学期望2.数学期望的性质············数学期望是反映离散型随机变量的平均水平一、温故知新3.样本方差

叫做这组数据的方差.设在一组数据中,是它们是它们的平均数,那么随机变量的均值是一个重要的数字特征,它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”因为随机变量的取值围绕其均值波动,而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.

所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征.4.均值的意义如何评价这两名同学的射击水平？因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平.二、探究新知1.问题.从两名同学中挑选出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录,甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列为6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03两个均值相等比较两个图形,哪一名同学的射击成绩更稳定?

除平均中靶环数以外,还要考虑稳定性,即击中环数的离散程度.乙同学的射击成绩更稳定下图分别是X和Y的概率分布图.YP1098706XP10987062.思考:怎样定量刻画随机变量的离散程度？(1).样本的离散程度是用哪个量刻画的？样本方差(2).能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢？随机变量X的方差3.离散型随机变量方差设离散型随机变量X

的概率分布为：我们称为随机变量X

的方差.············为随机变量X

的标准差.有时也记为Var(X),

随机变量的方差和标准差都是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小,即越集中于均值;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.方差：归纳小结标准差：6789100.090.240.320.280.076789100.070.220.380.300.03即乙同学的射击成绩相对更稳定下面用两名同学射击成绩的的方差和标准差来刻画他们射击成绩的稳定性在方差计算中,利用下面的结论可以使计算简化即：4.离散型随机变量方差的性质一般地,有下面的结论成立证明：解:抛掷散子所得点数X的分布列为P654321X例1.掷一枚质地均匀的骰子,求掷出的点数X的方差三、巩固新知法一解:随机变量X的分布列为法二拓展：可用数学归纳法证明1.已知随机变量X的分布列X01234P0.10.20.40.20.1求D(X)和σ(X).

解：变式训练1172.例2.解：投资A,B两种股票,每股收益的分布列如下表所示股票A收益的分布列股票B收益的分布列(1).投资那种股票的期望收益大?(2).投资那种股票的风险较高?(1).股票A、B的投资收益的期望分别为(2).股票A、B的投资收益的方差分别为随机变量的方差是一个重要的数字特征,它刻画了随机变量的取值与其均值的偏离程度,或者说反映随机变量取值的离散程度.在不同的实际问题背景中,方差可以有不同的解释

例如,如果随机变量是某项技能的测试成绩,那么方差的大小反映了技能的稳定性;

如果随机变量是加工某种产品的误差,那么方差的大小反映了加工的精度;

如果随机变量是风险投资的收益,那么方差的大小大小反映了投资风险的高低.方差的意义：解:随机变量X的可能取值为6,9,12.则变式训练3.有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片所标数字之和为X，求E(X)和D(X).所以X的分布列为

P1296X4.袋中有20个大小相同的球,其中标上0号的有10个,标上n号的有n个(其中n=1,2,3,4).现从袋中任取1个球,X表示所取球的标号.(1).求X的分布列、期望和方差;解:(1)X的所有可能取值为0,1,2,3,4X01234P(2).若试求a,b的值.解得（2）由(1)得4.袋中有20个大小相同的球,其中标上0号的有10个,标上n号的有n个(其中n=1,2,3,4).现从袋中任取1个球,X表示所取球的标号.(1).求X的分布列、期望和方差;(2).若试求a,b的值.四、课堂小结1.离散型随机变量取值的方差、标准差3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值;②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E(X)；4.若X服从两点分布，则

④根据方差、标准差的定义求出

、作业:

课本P71习题7.34,7题方差：标准差：2.方差的性质：《第二课时离散型随机变量的方差》同步练习7.3离散型随机变量的数字特征激趣诱思知识点拨学校举行踢毽子大赛,某班要在甲、乙两名同学中选出一名同学参加学校的决赛.若甲、乙两名同学每分钟踢毽子个数X,Y的分布列分别为X90100110P0.10.80.1Y95100105P0.30.40.3那么最好选择哪名同学呢?

激趣诱思知识点拨一、离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xnPp1p2…pn考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1-E(X))2,(x2-E(X))2,…,(xn-E(X))2.因为X取每个值的概率不尽相同,所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均,来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度,我们称

D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=

(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,有时也记为Var(X),并称

为随机变量X的标准差,记为σ(X).激趣诱思知识点拨名师点析随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度,反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小,随机变量的取值越集中;方差或标准差越大,随机变量的取值越分散.激趣诱思知识点拨微思考随机变量的方差与样本的方差有何不同?提示:样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此它是一个随机变量,而随机变量的方差是通过大量试验得出的,刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,因此它是一个常量而非变量.激趣诱思知识点拨微练习已知离散型随机变量X的分布列如下表.X-1012Pabc

若E(X)=0,D(X)=1,则a=

,b=

.

激趣诱思知识点拨二、离散型随机变量的方差的性质一般地,可以证明下面的结论成立:D(aX+b)=a2D(X).激趣诱思知识点拨微练习已知X的分布列如下表.X-101P

若Y=3X-1,则D(Y)的值为(

)

A.-1 B.5 C.10 D.20答案:B

探究一探究二素养形成当堂检测求离散型随机变量的方差例1袋中有20个大小相同的球,其中标记0的有10个,标记n的有n个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球,X表示所取球的标号.(1)求X的分布列、均值和方差;(2)若Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求a,b的值.探究一探究二素养形成当堂检测解:(1)X的分布列为

探究一探究二素养形成当堂检测(2)由D(Y)=a2D(X),得a2×2.75=11,解得a=±2.又E(Y)=aE(X)+b,所以当a=2时,由1=2×1.5+b,得b=-2;当a=-2时,由1=-2×1.5+b,得b=4.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟

1.求离散型随机变量X的方差的基本步骤:

探究一探究二素养形成当堂检测2.已知随机变量η=aξ+b求D(η)时,注意D(η)=D(aξ+b)=a2D(ξ)的应用,这样既避免求随机变量η的分布列,又避免繁杂的计算,简化计算过程.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练1袋中有除颜色外其他都相同的6个小球,其中红球2个、黄球4个,规定取1个红球得2分,1个黄球得1分.从袋中任取3个小球,记所取3个小球的分数之和为X,求随机变量X的分布列、均值和方差.探究一探究二素养形成当堂检测探究一探究二素养形成当堂检测离散型随机变量的方差的应用例2甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相同,两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:甲:X0123P0.30.30.20.2乙:Y012P0.10.50.4试评定这两个保护区的管理水平.探究一探究二素养形成当堂检测解:甲保护区内违反保护条例的次数X的均值和方差分别为E(X)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,D(X)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区内违反保护条例的次数Y的均值和方差分别为E(Y)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,D(Y)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件的平均次数相同,但甲保护区内违反保护条例的事件次数相对分散且波动较大,乙保护区内违反保护条例的事件次数更加集中和稳定.相对而言,乙保护区的管理更好一些.探究一探究二素养形成当堂检测反思感悟

离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中,需先计算均值,看谁的平均水平高,再计算方差,分析谁的水平发挥相对稳定.当然不同的情形要求不同,应视具体情况而定.探究一探究二素养形成当堂检测变式训练2甲、乙两个建材厂都想投标参加某重点项目建设,为了对重点项目建设负责,政府到两建材厂抽样检查,从他们中各取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下.X110120125130135P0.10.20.40.10.2Y100115125130145P0.10.20.40.10.2其中X和Y分别表示甲、乙两厂材料的抗拉强度,在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下,比较甲、乙两厂材料哪一种稳定性较好.探究一探究二素养形成当堂检测解:E(X)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125,E(Y)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125,D(X)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50,D(Y)=