2019年山东省淄博市中考数学试卷（a卷）

2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.（4分）比-2小1的数是（）

A.-3B.-1C.1D.3

2.（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿

用科学记数法表示为（）

A.40X108B.4X109C.4X1O10D.O.4X1O10

3.（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）

4.（4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点8处，又从点8处沿东偏南20方

向行走至点C处，则/A8C等于（）

5.（4分）解分式方程上1=，-2时，去分母变形正确的是（）

x-22-x

A.-l+x=-1-2（x-2）B.1-x=1-2（x-2）

C.-l+x=l+2(2-x)D.1-x=-1-2(A:-2)

6.（4分）与下面科学计算器的按键顺序:

对应的计算任务是（）

A.0.6X2.+124B.0.6XA+124

56

C.0.6X5+6+412D.0.6XA+412

5

7.（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面

积为（）

A.亚B.2C.2圾D.6

8.（4分）如图，在△ABC中，AC=2,BC=4,。为8c边上的一点，且NC4Z）=/B.若

△43C的面积为“，则△4B。的面积为（）

A.2aB.^-aC.3aD.^-a

22

9.（4分）若XI+X2=3,XI2+X22=5,则以XI,M为根的一元二次方程是（）

A.A2-3x+2=0B./+3x-2=0C./+3x+2=0D.x2-3x-2=0

10.（4分）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度〃随时间/的变化情况如图所示,

则对应容器的形状为（）

11.（4分）将二次函数y=f-4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得

到的函数图象与直线y=2有两个交点，则。的取值范围是（）

A.a>3B.a<3C.a>5D.a<5

12.（4分）如图，△OAibi,△A1A2B2,2A383,…是分别以Ai,A2f43，…为直角顶

点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点。（xi,yi）,C2（X2,

”），C3（X3，y3），…均在反比例函数（x>0）的图象上.则）】+”+…+yio的值为

X

（）

A.2VT0B.6C.4^2D.2V7

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请直接填写最后结果.

13.（4分）单项式L?廿的次数是.

2

14.（4分）分解因式：/+5/+6犬=.

15.（4分）如图，在正方形网格中，格点AABC绕某点顺时针旋转角a（0<a<180°）得

到格点△AiBCi,点4与点Ai,点8与点Bi,点C与点C\是对应点，则a=度.

16.（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的

“中国梦•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是.

17.（4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片A8C中，将B角折起，使点B

落在AC边上的点O（不与点A,C重合）处，折痕是EF.

（图1）（图2）（图3）

如图1,当co=Lc时，tanai=—；

24

5

如图2,当co=Lc时，tana2=-^-：

312

7

如图3,当cz）=Lc时，tanas=—5—：

424

依此类推，当CZ）=L4c（〃为正整数）时，tanart=.

n+1

三、解答题：本大题共7个小题，共52分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

18.（5分）解不等式三空+l>x-3.

2

19.（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB^AD,AC=AE,ZBAE=ZDAC.求

证：ZE=ZC.

20.（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.2019年5月“亚

洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注.某市一研究机构为了

了解10~60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的

市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和

扇形统计图，如下所示:

组别年龄段频数（人数）

第1组10WxV205

第2组204V30a

第3组30«4035

第4组40«5020

第5组50«6015

（1）请直接写出。=,m=,第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心

角是度，

（2）请补全上面的频数分布直方图；

（3）假设该市现有10〜60岁的市民300万人，问40〜50岁年龄段的关注本次大会的人

数约有多少？

21.（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A,B两种产品在

欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元

（利润=售价-成本）.其每件产品的成本和售价信息如下表：

AB

成本（单位：万元/件）24

售价（单位：万元/件）57

问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？

22.（8分）如图，在Rt^ABC中，ZB=90°,/8AC的平分线AQ交8c于点。，点E

在AC上，以AE为直径的。0经过点。.

（1）求证：①BC是。。的切线；

②CZ）2=CE。；

（2）若点尸是劣弧的中点，且CE=3,试求阴影部分的面积.

23.（9分）如图1,正方形ABDE和8CFG的边AB,8c在同一条直线上，AB=2BC,

取E尸的中点M,连接何D,MG,MB.

(1)试证明DWJ_MG,并求坦的值.

MG

(2)如图2,将图1中的正方形变为菱形，设NEAB=2a(0<a<90°),其它条件不变,

问(1)中胆的值有变化吗？若有变化，求出该值(用含a的式子表示)；若无变化，说

MG

明理由.

图1图2

24.(9分)如图，顶点为M的抛物线y=a?+fcv+3与x轴交于A(3,0),8(-1,0)两

点，与y轴交于点C.

(1)求这条抛物线对应的函数表达式;

(2)问在y轴上是否存在一点尸，使得△B4M为直角三角形？若存在，求出点尸的坐标;

若不存在，说明理由.

(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过。作DG轴于点G,

设△AQG的内心为/,试求C1的最小值.

备用图

2019年山东省淄博市中考数学试卷（A卷）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.（4分）比-2小1的数是（）

A.-3B.-1C.1D.3

【考点】1A：有理数的减法.

【分析】用-2减去1,然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解.

【解答】解：-2-1=-（1+2）=-3.

故选：A.

【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟记运算法则是解题的关键.

2.（4分）国产科幻电影《流浪地球》上映17日，票房收入突破40亿元人民币，将40亿

用科学记数法表示为（）

A.40X108B.4X109C.4X1O10D.O.4X1O10

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|＜10,〃为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值＞10时，”是正数；当原数的绝对值＜1时，”是负数.

【解答】解：40亿用科学记数法表示为：4X109,

故选：B.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中lW|a|V10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

3.（4分）下列几何体中，其主视图、左视图和俯视图完全相同的是（）

A.B.

c.D.

【考点】U2：简单组合体的三视图.

【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形.

【解答】解：A、圆柱的主视图和左视图都是矩形，但俯视图也是一个圆形，不符合题意;

8、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同，不符合题意；

C、长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是俯视图是一个不一样的长

方形，不符合题意；

D,球的三视图都是大小相同的圆，符合题意.

故选：D.

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表

现在三视图中.

4.（4分）如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方

【考点】1H：方向角.

【分析】根据平行线性质求出NABE,再求出NE8C即可得出答案.

【解答】解：如图：

V小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南20方向行走至点

C处,

/.ZDAB=40°,ZCBF=20°，

・・•向北方向线是平行的，即

AZABE=ZDAB=^°,

■:NEBF=9。。,

AZEBC=90°-20°=70°,

AZABC=ZABE+ZEBC=400+70°=110°,

故选：C.

【点评】本题考查了方向角及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内

错角相等是解题的关键.

5.（4分）解分式方程上5=，-2时，去分母变形正确的是（）

x-22-x

A.-l+x=-1-2（x-2）B.1-x=1-2（x-2）

C.-\+x=\+2（2-x）D.1-x=-1-2（x-2）

【考点】B3：解分式方程.

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可得到结果.

【解答】解：去分母得：1-x=-1-2（x-2）,

故选：D.

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验.

6.（4分）与下面科学计算器的按键顺序：

。门□区日扇rnpirnnann

对应的计算任务是（）

A.0.6XA+124B.0.6x5+124

56

C.0.6X54-6+412D.0.6X^+412

5

【考点】1G：有理数的混合运算；1N：计算器一有理数.

【分析】根据科学计算器按键功能可得.

【解答】解：与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是0.6X”+124,

6

故选：B.

【点评】本题主要考查计算器-有理数，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能.

7.（4分）如图，矩形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面

积为（)

A.V2B.2C.2V2D.6

【考点】7B：二次根式的应用.

【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

大正方形的边长为«=2加,小正方形的边长为我，

图中阴影部分的面积为：&x（2V2-V2）=2，

故选：B.

【点评】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，

利用数形结合的思想解答.

8.（4分）如图，在△ABC中，AC=2,BC=4,。为BC边上的一点，且若

△4Z）C的面积为a,则△AB。的面积为（）

A.2aB.互/C.3aD.^-a

22

【考点】S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】证明△ACQs△80,根据相似三角形的性质求出△8C4的面积为4a,计算即

可.

【解答】解：ZACD^ZBCA,

：.AACD^ABCA,

DAACI）,=（且_）2,即—5—

2ABCABCSABCA4

解得，△BCA的面积为4a,

.♦.△AB。的面积为：4a-a=3a,

故选：C.

【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比

的平方是解题的关键.

9.（4分）若XI+X2=3,XI2+%22=5,则以XI，㈤为根的一元二次方程是（）

A.7-3x+2=0B./+3x-2=0C.f+3x+2=0D./-3x-2=0

【考点】AB：根与系数的关系.

【分析】利用完全平方公式计算出X|X2=2,然后根据根与系数的关系写出以X”X2为根

的一元二次方程.

【解答】W：VxiW=5,

/.（X1+X2）2-2xiX2=5,

而无1+垃=3,

.'.9-2XIX2=5,

・、X1X2=2,

...以XI,X2为根的一元二次方程为/-3x+2=o.

故选：A.

【点评】本题考查了根与系数的关系：若XI，X2是一元二次方程af+bx+cuO（a20）的

两根时，Xl+X2=--,XIX2=—.

aa

10.（4分）从某容器口以均匀地速度注入酒精，若液面高度h随时间t的变化情况如图所示,

则对应容器的形状为（）

【考点】E6：函数的图象.

【分析】根据液面高度h随时间t的变化情况的图象可以看出，高度h随时间t的变化情

况是：先是高度随时间变化比较缓慢，然后逐渐变快，然后又变得比较缓慢，并且变慢

的长度越来越大，最后，又急速上升，可以推断这个容器底部比较粗，然后逐渐变细，

然后又逐渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C容器.

【解答】解：根据图象可知，容器大致为：容器底部比较粗，然后逐渐变细，然后又逐

渐变粗，最后又变得细小，并且最后非常细，推断可能是C容器.

故选：C.

【点评】考查对变化过程中两个变量的变化关系的理解，即函数的意义的理解，根据图

象变化情况，推断容器形状，强化对函数的理解.

11.（4分）将二次函数y=，-4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位.若得

到的函数图象与直线y=2有两个交点，则。的取值范围是（）

A.a>3B.a<3C.a>5D.a<5

【考点】H6：二次函数图象与几何变换.

【分析】先利用配方法将y=/-4x+a化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移

规律得出平移后直线的解析式，将y=2代入得到一元二次方程，然后根据判别式△>（）

列出不等式，求出a的取值范围.

【解答】解：-4x+a=（x-2）2-4+a,

二将二次函数y=7-4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函

数解析式为y=（x-2+1）2-4+a+l,B|Jy—x2--2x+a-2,

将y—2代入，得2=7-2x+a-2,BPA2-2x+a-4=0,

由题意，得△=4-4（a-4）>0,解得a<5.

故选：D.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数与一元二次方程的关系，一元

一次不等式的解法，正确求出平移后的解析式是解题的关键.

12.（4分）如图，△OAiBi，△A1A2B2,△AM3B3，…是分别以Ai>A2,A3,…为直角顶

点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点Ci（xi,yi）,C2（X2.

”），C3（犯，”），…均在反比例函数>=且（x>0）的图象上.则yi+”+…+yio的值为

x

()

A.2V10B.6C.4A/2D.2A/7

【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征.

【分析】根据点Ci的坐标，确定力，可求反比例函数关系式，由点Ci是等腰直角三角

形的斜边中点，可以得到04的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定”，代入

反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定”，……然后再求

和.

【解答】解：过。、Q、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为小、。2、Dy-

其斜边的中点Cl在反比例函数y=g,(2,2)即力=2,

X

**•OD\=D\A\=2,

设41>2=a，则。2。2=。此时Ci(4+a,a),代入得：a(4+a)=4,

x

解得：a=2V2-2,即：yi=2近-2,

同理：”=2«-2亚，

y4=2y-2爪，

，yi+y2+,・・+yio=2+2&-2+2y-2亚+2屈-2g=2后，

故选：A.

【点评】考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三

角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案.

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请直接填写最后结果.

13.(4分)单项式工?序的次数是5.

2

【考点】42：单项式.

【分析】根据单项式的次数的定义解答.

【解答】解：单项式廿的次数是3+2=5.

2

故答案为5.

【点评】本题考查了单项式的次数的定义：单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项

式的次数.

14.(4分)分解因式：9+5/+6^=x(x+2)(x+3).

【考点】57：因式分解-十字相乘法等.

【分析】先提公因式x,然后根据十字相乘法的分解方法和特点分解因式.

【解答】解：xi+5x2+6x,

=x(/+5x+6),

=x(x+2)(x+3).

【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝

试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程.

15.(4分)如图，在正方形网格中，格点△ABC绕某点顺时针旋转角a(0<a<180°)得

到格点△AiBiCi，点A与点A”点3与点3”点C与点G是对应点，则a=90度.

【考点】R2：旋转的性质.

【分析】作CC\,AA\的垂直平分线交于点E,可得点E是旋转中心，即NAE4i=a=90°.

【解答】解：如图，

连接CC”A4i，作CCi，A4i的垂直平分线交于点E,连接AE,A\E

VCCi，441的垂直平分线交于点E,

.♦.点E是旋转中心，

•.,/AE4i=90°

:.旋转角a=90°

故答案为：90

【点评】本题考查了旋转的性质，确定旋转的中心是本题的关键.

16.（4分）某校欲从初三级部3名女生，2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的

“中国梦•青春梦”演讲比赛，则恰好选中一男一女的概率是1.

一互一

【考点】X6：列表法与树状图法.

【分析】画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选中一男一女的结果数，然后

根据概率公式求解.

【解答】解：画树状图为:

女女女男男

女女男男女£女女男

共20种等可能的结果数，其中选中一男一女的结果数为12,

.•.恰好选中一男一女的概率是」2=3，

205

故答案为：1.

5

【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果〃,

再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式求事件A或B的概率.

17.（4分）如图，在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点3

落在AC边上的点。（不与点A,C重合）处，折痕是EF.

24

如图2,当CO=Lc时，tana2=-^-;

312

如图3,当CZ)=」二AC时，tana3=」-;

424

依此类推，当C£>=-4C"为正整数）时，tana„=_2n+1

n+12n2+2n

【考点】38：规律型：图形的变化类；KW：等腰直角三角形；PB：翻折变换（折叠问

题）；T7：解直角三角形.

【分析】探究规律，利用规律解决问题即可.

【解答】解：观察可知，正切值的分子是3,5,7,9,…，2n+l,

分母与勾股数有关系，分别是勾股数3,4,5；5,12,13；7,24,25；9,40,41；

2〃+1,（2n+l>-1,（2n+l产+1中的中间一个.

22

,tana^...2n+l

（2n+l）T2n2+2n

2

故答案为：,零1・

2n2+2n

【点评】本题考查规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型.

三、解答题：本大题共7个小题，共52分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤.

18.（5分）解不等式三芝+l>x-3.

2

【考点】C6：解一元一次不等式.

【分析】将已知不等式两边同乘以2,然后再根据移项、合并同类项、系数化为1求出不

等式的解集.

【解答】解：将不等式三"+l>x-3两边同乘以2得，

2

x-5+2>2x-6

解得x<3.

【点评】解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数

或整式不等号的方向不变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不

变，在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.

19.（5分）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB=AD,AC=AE,NBAE=NDAC.求

证：ZE=ZC.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【分析】由“SAS”可证△ABC丝△AOE,可得/C=NE.

【解答】证明：

ZBAE+ZCAE=ZDAC+ZCAE

：.ZCAB=ZEAD,且AB=A。，AC=AE

：./\ABC^/\ADE（SAS）

"C=NE

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键.

20.（8分）文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.2019年5月“亚

洲文明对话大会”在北京成功举办，引起了世界人民的极大关注.某市一研究机构为了

了解10〜60岁年龄段市民对本次大会的关注程度，随机选取了100名年龄在该范围内的

市民进行了调查，并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和

扇形统计图，如下所示：

组别年龄段频数（人数）

第1组10Wx<205

第2组20«30a

第3组30«4035

第4组40«5020

第5组50«6015

102030405060年龄

（1）请直接写出“=25,m=20,第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角

是126度.

（2）请补全上面的频数分布直方图；

（3）假设该市现有10~60岁的市民300万人，问40〜50岁年龄段的关注本次大会的人

数约有多少？

【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表；V8：频数（率）分布直方图；

VB：扇形统计图.

【分析】（1）根据题意和频数分布表中的数据，可以求得小，〃的值和第3组人数在扇形

统计图中所对应的圆心角的度数；

（2）根据（1）中。的值，可以将频数分布直方图补充完整；

（3）根据频数分布表中的数据可以计算出40〜50岁年龄段的关注本次大会的人数约有

多少.

【解答】解：（1）a=100-5-35-20-15=25,

，"％=(204-100)X100%=20%,

第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是：360°XJL=1260,

100

故答案为：25,20,126；

（2）由（1）值，20Wx<30有25人，

补全的频数分布直方图如右图所示；

（3）300X^2.=60（万人），

100

答：40〜50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人.

【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答

本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

21.（8分）“一带一路”促进了中欧贸易的发展，我市某机电公司生产的A,8两种产品在

欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元，总利润为1020万元

（利润=售价-成本）.其每件产品的成本和售价信息如下表：

AB

成本（单位：万元/件）24

售价（单位：万元/件）57

问该公司这两种产品的销售件数分别是多少？

【考点】9A：二元一次方程组的应用.

【分析】设A,B两种产品的销售件数分别为x件、），件；由题意列出方程组，解方程组

即可.

【解答】解：设A,B两种产品的销售件数分别为x件、y件；

由题意得：俨+7尸2。6。，

12x+4y=2060-1020

解得：产16°；

ly=180

答：A,8两种产品的销售件数分别为160件、180件.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出

方程组是解题的关键.

22.（8分）如图，在RlZXABC中，N8=90°,/BAC的平分线AO交8C于点。，点E

在AC上，以AE为直径的经过点。.

（1）求证：①BC是。。的切线；

②CD^CE。；

（2）若点尸是劣弧A力的中点，且CE=3,试求阴影部分的面积.

【考点】MR：圆的综合题.

【分析】（1）①证明。0〃A8,即可求解；②证明CDEs^cA。，即可求解;

（2）证明△。尸D、△。以是等边三角形，S阴影=S扇彩OFO,即可求解.

【解答】解：（1）①连接。。，

\'OD=OA,：,ZDAO=ZODA,

：.ZDAO^ZADO,

J.DO//AB,而/B=90°,

/.ZODB=90°,

.二BC是。0的切线；

②连接DE,

是。0的切线，：.ZCDE^ZDAC,

ZC=ZC,.•.△CDE^ACAD,

.•.C£)2=CE・C4；

(2)连接QE、OE、DF、OF,设圆的半径为R,

•.,点尸是劣弧A。的中点，...是O尸是。A中垂线，

：.DF=AF,：.ZFDA=ZFAD,

'：DO//AB,：.ZODA=ZDAF,

：.ZADO=NOAO=ZFDA^ZFAD,

：.AF=DF=OA=OD,

：.l\OFD、用是等边三角形，

AZC=30°,

:.OD=LOC=(OE+EC),而OE=OD,

2

：.CE=OE=R=3,

S阴影=S扇形DFO=—"°.XTTX32="兀.

3602

【点评】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、

三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合

能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.

23.(9分)如图1,正方形ABOE和BCFG的边AB,3c在同一条直线上，S.AB=2BC,

取EF的中点连接MO,MG,MB.

(1)试证明。M_LMG,并求胆的值.

MG

(2)如图2,将图1中的正方形变为菱形，设NE4B=2a(0<a<90°),其它条件不变,

问(1)中胆的值有变化吗？若有变化，求出该值(用含a的式子表示)；若无变化，说

MG

图1图2

【考点】32：列代数式；L8：菱形的性质；S9：相似三角形的判定与性质.

【分析】（1）如图1中，延长DM交尸G的延长线于”.证明△DMG是等腰直角三角形

即可，连接EB,BF,设8c=a,则AB=2a,BE=2心,8尸=心，求出BM,MG即

可解决问题.

（2）（1）中咽•的值有变化.如图2中，连接BE,AO交于点0,连接。G,CG,BF,

MG

CG交BF于O'.首先证明0,G,尸共线，再证明点似在直线AO上，设BC=,〃，则

AB=2m,想办法求出BM,MG（用，"表示），即可解决问题.

【解答】（1）证明：如图1中，延长。M交FG的延长线于从

•.•四边形A8CZ),四边形3CFG都是正方形，

J.DE//AC//GF,

：.NEDM=NFHM,

VZEMD=ZFMH,EM=FM,

:.丛EDMQ丛FHM(AAS),

：.DE=FH,DM=MH,

,:DE=2FG,BG=DG,

:.HG=DG,

:NDGH=NBGF=90°,MH=DM,

J.GMVDM,DM=MG,

连接EB,BF,设BC=a,则A8=2a,BE=2心,BF=^,

:NEBD=NDBF=45°,

；.NEBF=90°,

£F=22=，

二VBE+BFS^^Z'

:EM=MF,

22

•：HM=DM,GH=FG,

V10

.BM22

..而F

-a

(2)解：(1)中遐的值有变化.

MG

理由：如图2中，连接8E,A。交于点O,连接OG,CG,BF,CG交BF于O'.

"：DO=OA,DG=GB,

：.GO//AB,OG=LB,

2

'：GF//AC,

：.O,G,尸共线，

'：FG=1AB,

2

：.OF=AB=DF,

,JDF//AC,AC//OF,

J.DE//OF,

.•.O£＞与所互相平分，

'：EM=MF,

...点M在直线AO上，

'：GD=GB=GO=GF,

四边形OBFD是矩形，

ZOBF=40DF=ZBOD=90°,

'：OM=MD,OG=GF,

：.MG=LDF,设8c=〃?，则AB=2m,

2

易知BE=2O8=2・2机•sina=4，〃sina,BF=2B0°=2/n*cosa,DF=0B=2m*sma,

BM=—EF=工/pn-2,R~~2~~~2,~2,GM=LDF=zwsina,

22YBE+RBFAY4m»sinna+m,cosna?

...BM=dlm'"sinla+mLcos'aJ4sin，a+cos2a

MGm・sinasinCI.

【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，解直角三角形，全

等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解

决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题.

24.(9分)如图，顶点为M的抛物线^=/+旅+3与x轴交于A(3,0),8(-1,0)两

点，与y轴交于点C.

(I)求这条抛物线对应的函数表达式；

(2)问在y轴上是否存在一点P,使得为直角三角形？若存在，求出点P的坐标;

若不存在，说明理由.

⑶若在第一象限的抛物线下方有一动点O,满足D4=OA,过。作。GJ_x轴于点G,

设△ADG的内心为/,试求C/的最小值.

【考点】HF：二次函数综合题.

【分析】(1)用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式.

(2)用配方法求抛物线顶点M,求AM?,设点?坐标为(0,p),用p表示人尸和知尸.△

出M为直角三角形不确定哪个点为直角顶点，故需分三种情况讨论.确定直角即确定斜

边后，可用勾股定理列方程，求得。的值即求得点尸坐标.

(3)由点/是△ADG内心联想到过点/作△AOG三边的垂线段/E、IF、IH,根据内心

到三角形三边距离相等即有IE=IF=IH.此时以点I为圆心、IE为半径长的。/即为△

AOG内切圆，根据切线长定理可得AE=AF,DF=DH,EG=HG.设点/坐标为(如〃)，

可用含机、〃的式子表示AG、QG的长，又由D4=OA=3,即可用勾股定理列得关于，心

n的方程.化简再配方后得到式子：(机-足■)2+(〃+工)2=旦，从图形上可理解为点/

222

(m,n)与定点Q(W,-2)的距离为它返，所以点/的运动轨迹为圆弧.所以当点

222

/在CQ连线上时，C7最短.

【解答】解：(1):•抛物线y=o?+bx+3过点4(3,0),8(-1,0)

...[9a+3b+3=0解得Ja=-1

|a-b+3=0lb=2

,这条抛物线对应的函数表达式为y=-?+2r+3

(2)在y轴上存在点尸，使得△必〃为直角三角形.

'-'y=-/+2x+3=-(x-1)2+4

二顶点加(1,4)

：.AM2=(3-1)2+42=20

设点P坐标为(0,p)

AP2=32+/?2=9+p2,MP2=12+(4-/?)2=17-Sp+p2

①若N%M=90。，IJIIJAM2+AP2=MP2

；.20+9+p2=17-8p+/

解得：p=-1

2

：.P(0,-W)

2

②若NAPM=90°,则人户+用户二人用？

.•.9+/+17-8p+p2=20

解得：pi=l，P2=3

：.P(0,1)或(0,3)

③若NAMP=90。，则AM2+“p2=Ap2

.*.20+17-8p+p2=9+p2

解得：p=—

2

：.P(0,工)

2

综上所述，点尸坐标为（0,-3）或（0,1）或（0,3）或（0,工）时，△出M为直

22

角三角形.

（3）如图，过点/作轴于点E,/F_LA£＞于点凡/4_LQG于点H

•.•OGLx轴于点G

ZHGE=ZIEG=NIHG=90°

二四边形/EG"是矩形

点/为aAOG的内心

：.IE=IF=IH,AE=AF,DF=DH,EG=HG

矩形/EGA是正方形

设点/坐标为（相，〃）

：.OE=m,HG=GE=IE=n

：.AF=AE=OA-OE=3-m

：.AG=GE+AE=n^3-m

U：DA=OA=3

：.DH=DF=DA-AF=3-（3-m）=m

：.DG=DH+HG=m+n

\9DG2+AG2=DA2

（ZZZ+H）2+（〃+3一m）2=32

・,•化简得:m2-3m+n2+3«=0

配方得：（/w-W）2+（n+—）2=A

222_

.•.点/（〃?，n）与定点。（3，-S）的距离为3返

222

点/在以点。（W,-W）为圆心，半径为3返的圆在第一象限的弧上运动

222

当点/在线段CQ上时，C/最小

••”“产+⑶犷挈

：.CI=CQ-IQ=

：.CI最小值为3痴一3&.

2

【点评】本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心

的定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程.第

（3）题的解题关键是由点/是内心用内心性质和切线长定理列式求得点/坐标的特征式

子，转化到点/到定点。的距离相等，再转化到点和圆的位置关系.

2019年广西桂林市中考数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符

合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1.（3分）2的倒数是（）

3

A.3B.-3c.-2D.2

2233

2.（3分）若海平面以上1045米，记做+1045米，则海平面以下155米，记做（）

A.-1200米B.-155米C.155米D.1200米

3.（3分）将数47300000用科学记数法表示为（）

A.473X105B.47.3X106C.4.73X107D.4.73X105

4.（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（）

C.L---1直角三角形

5.（3分）9的平方根是（)

A.3B.±3C.-3D.9

6.（3分）如图，一个圆形转盘被平均分成6个全等的扇形，任意旋转这个转盘1次，则当

转盘停止转动时，指针指向阴影部分的概率是（）

C.工D.工

46

7.（3分）下列命题中，是真命题的是（

A.两直线平行，内错