专题13复合函数的求导法则（知识梳理精讲）

专题13复合函数的求导法则知识点一简单函数的导数公式①，（C是常数） ②③ ④⑤ ⑥⑦ ⑧⑨ ⑩（例1．（1）、（2023下·四川雅安·高二校考阶段练习）已知函数，则（

）A．－1 B．0 C．1 D．【答案】C【分析】求出导函数，代入，计算即可得出答案.【详解】由已知可得，，所以，，所以，.故选：C.（2）、（2023上·高二课前预习）已知函数在处的导数，则a的值为．【答案】1【分析】求出函数的导数，再代入求值即得.【详解】由，得，，得故答案为：1（3）、（2023上·天津·高一校考阶段练习）设函数，则的值为.【答案】6【分析】先化简函数，再对函数求导，进而代值计算即可.【详解】因为，所以，则.故答案为：6.1．（2022上·宁夏银川·高二校考期末）已知函数，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】求出导函数，令即可得．【详解】由已知，所以，即．故选：D．2．（2023上·高二课前预习）设，且，则，．【答案】10【分析】先求导，再代入解方程组得出结果.【详解】，由，得解得.故答案为：1；0．3．（2023上·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知函数，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】根据导数的求导法则，求导代入即可求解.【详解】对求导可得，所以，所以，故选：C知识点二导数的四则运算，例2．（1）、（2023上·上海浦东新·高三校考期中）已知函数，则.【答案】【分析】先求导，再令即可.【详解】，所以.故答案为：.（2）、（2023下·北京·高二校考期中）已知下列四个命题，其中正确的个数有（

）①，

②，③，④.A．0个 B．1个C．2个 D．3个【答案】A【分析】根据求导公式及运算律，简单复合函数导数逐项求导验证即可【详解】因为,所以①错,因为,所以②错,因为,所以③错.因为,所以④错,故选：A.1．（2023下·广东中山·高二统考期末）下列求导数计算错误的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数的运算法则及简单复合函数求导法则计算即可.【详解】，A正确；，B错误；，C正确；，D正确.故选：B.2．（2024上·重庆·高二重庆南开中学校考期末）已知函数的导函数是，若，则（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】根据求导公式求出，可计算，由此确定解析式，进而求值.【详解】由得，所以，所以，所以，故.故选：A例3．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据基本初等函数的求导公式、积的导数和商的导数的求导法则进行求导即可.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.1．（2023下·四川成都·高二成都市第二十中学校校考阶段练习）求下列函数的导数.(1);(2)(3)【答案】(1).(2)(3).【分析】（1）由和的导数法则求解；（2）函数式先化简，再由差的导数公式求解；（3）由商的导数公式求解．【详解】（1）；（2）由已知，所以；（3）．知识点三复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．如果函数在点x处可导，函数f(u)在点u=处可导，则复合函数y=f(u)=f[]在点x处也可导，并且(f[])ˊ=或记作=•熟记链式法则若y=f(u)，u=y=f[]，则=若y=f(u)，u=，v=y=f[]，=例4．（2022·高二课时练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先把函数化简成分数指数幂的形式，再根据基本初等函数的求导公式和导数运算法则求导即可.（2）根据基本初等函数的求导公式和导数运算法则求导即可.（3）根据基本初等函数的求导公式和导数运算法则求导即可.（4）根据基本初等函数的求导公式和导数运算法则求导即可.【详解】（1）（2）（3）（4）例5．（2023下·高二课时练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】应用复合函数求导即可.【详解】（1）令，则，;（2）令，则，;（3）所以.例6．（2022上·陕西延安·高二校考阶段练习）求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)(4)；(5)（为常数）；(6).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】根据导数的运算法则即可求得导数.【详解】（1）由已知，所以（2）由已知，所以（3）由已知，所以（4）由已知所以（5）由已知，所以（6）由已知，令，，故所以所以例7．（2021下·高二课时练习）求下列函数的导数．(1)(2)(3)；(4)(5)(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】直接利用导数的运算法则、基本初等函数的导数公式以及简单复合函数的导数计算法则求解．【详解】（1）解：，；（2）解：因为，所以（3）解：因为，所以（4）解：因为，所以（5）解：因为，所以（6）解：因为，所以1．（2022·高二课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】根据基本初等函数的导数公式，利用导数的乘除法则求各函数的导函数.【详解】（1）由题设，.（2）由题设，.（3）由题设，；（4）由题设，.2．（2023·全国·高二随堂练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根据导数的四则运算法则，以及复合函数的求导法则，即可得出答案.【详解】（1）.（2）.（3）.（4）.3．（2023·高三课时练习）求下列函数的导数：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】根据复合函数求导公式及运算法则，结合基本函数求导公式求解即得.【详解】（1）因为函数可以看做函数和的复合函数，根据复合函数求导公式可得，；（2）因为函数可以看做函数和的复合函数，根据复合函数求导公式可得，；（3）因为函数可以看做函数和的复合函数，根据复合函数求导公式可得，，又因为函数可以看做函数和的复合函数，根据复合函数求导公式可得，所以；（4）函数可化为因为函数可以看做函数和的复合函数，根据复合函数求导公式可得，，所以；（5）因为函数可以看做函数和的复合函数，根据复合函数求导公式可得，，又因为函数可以看做函数和的复合函数，根据复合函数求导公式可得，所以；（6）函数可化为，因为函数可以看做函数和的复合函数，根据复合函数求导公式可得，，所以.4．（2021下·高二课