预习03利用导数研究函数的单调性（七大考点）

预习03利用导数研究函数的单调性一、函数的单调性函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数．注意：①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号；②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但.二、求可导函数单调区间的一般步骤①确定函数的定义域；②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间；④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性.三、函数在区间上单调与求函数单调区间单调递增；单调递增；单调递减；单调递减.考点01函数与导函数图象间的关系【方法点拨】研究函数与导函数图象之间关系的方法研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时,注意抓住各自的关键要素,对于原函数,要注意其图象在哪个区间内单调递增,在哪个区间内单调递减;而对于导函数,则应注意其函数值在哪个区间内大于零,在哪个区间内小于零,并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致.【例1】的图象如图所示，则的图象最有可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用导数与函数单调性的关系可得出合适的选项.【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当时，.所以，函数的增区间为和，减区间为，所以，函数的图象为C选项中的图象.故选：C.【例2】函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集.【详解】由图象可知，在区间上，在区间上，所以不等式的解集为.故选：C【变式11】已知函数的导函数是，则函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析的单调性，即可得到的单调性及变化趋势，即可判断.【详解】由题知且不恒等于，又在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，即当时，的值由小变大，再由大变小，即函数图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢.故选：B.【变式12】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解.【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减，则当时，时，时，所以不等式的解集为.故选：A【变式13】已知上的可导函数的图像如图所示，则不等式的解集为【答案】【分析】根据图像得到当时，，当时，，时，，代入计算得到答案.【详解】根据图像可得，当时，，，即，故；当时，，，即，故；当时，，，即，故；综上所述：.故答案为：考点02求不含参函数的单调区间【方法点拨】求不含参数函数单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）由(或,解出相应的的范围，当时,在相应的区间上是增函数;当时,在相应区间上是减函数.（4）结合定义域写出单调区间.注意:当单调区间有多个时,不要写成并集,用“,”隔开即可.【例3】函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，求得，令，即可求得函数的单调递减区间.【详解】由函数，可得其的定义域为，且，令，解得，所以函数的单调递减区间是．故选：B．【例4】求下列函数的单调区间．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为．(2)单调递增区间为，单调递减区间为和.(3)单调递增区间为，单调递减区间为和．【分析】根据导数公式以及导数运算法则进行求导，令导数大于零，求得函数的增区间，令导数小于零，求得函数的减区间，逐一计算即可.【详解】（1）函数的定义域为，．令，得，令，得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）函数的定义域为，，令，得；令，得或．∴函数单调递增区间为，单调递减区间为和.（3）函数的定义域为R，，令，得；令，得或．∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．【变式21】函数的单调增区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对求导后，解不等式即可.【详解】因为(),所以,令,解得：,故函数()的单调增区间是.故选：B.【变式22】函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求导，根据导函数的正负分析单调性即可.【详解】，定义域为，令，解得，所以在上单调递减.故选：D.【变式23】求下列函数的单调区间：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)单调递减区间为(2)单调递增区间为和，单调递减区间为(3)单调递增区间为，单调递减区间为和(4)单调递增区间为，单调递减区间为【分析】求导，根据导数的正负确定函数的单调区间即可.【详解】（1），则，∴函数的单调递减区间为.（2），则，由，得或，当或时，；当时，，∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为（3），则，由，得，当时，；当或时，，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为和.（4），则，由，得，当时，；当时，，∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为.考点03利用单调性比较大小【方法点拨】单调性经常与单调性结合比较大小：看自变量是否在同一单调区间上①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．【例5】已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a，b，c的大小即可.【详解】解：因为，则，所以又时，，所以恒成立所以在上单调递增；又，，所以，则.故选：A.【例6】已知函数，且，则a，b，c的大小为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】可判断为偶函数，再根据的导数可判断在为增函数，根据对数函数的单调性判断出即可得出大小.【详解】的定义域为R，且，为偶函数，当时，，所以在为增函数，又，，所以，则，又，则.故选：A.【变式31】已知函数，，若，，则a，b，c的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出的导数，利用导数研究函数的单调性，结合对数运算性质可比较，，的大小，从而根据单调性即可得出a，b，c的大小关系．【详解】因为，所以在上单调递增，因为，，，所以，所以，故．故选：B．【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性，考查利用函数的单调性比较大小，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题．【变式32】已知函数（为自然常数），记，，，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据先将转化为，再利用导数判断函数在单调递增即可做出判断.【详解】因为，所以，，因为是增函数，且，所以当时，单调递增，又，所以，即.故选：B.【变式33】已知函数，比较a，b，c的大小：.（用＜号连接）【答案】【分析】根据函数解析式可判断函数为偶函数，再由导数判断函数在上的单调性，根据对数的运算性质可得，再由单调性得解.【详解】的定义域为，关于原点对称，又，为偶函数，当时，，所以时，，单调递减，，，，因为，所以即.故答案为：考点04利用单调性解不等式【例7】已知函数，若，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】探讨函数的奇偶性，再利用导数探讨其单调性即可求解不等式作答.【详解】函数定义域为R，，即函数是奇函数，又，因此函数在R上单调递增，不等式，即，于是，即，解得，所以实数的取值范围为.故选：D【例8】已如函数，则的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数的定义域，利用导数分析函数的单调性，由可得出关于的不等式组，由此可解得原不等式的解集.【详解】函数的定义域为，则对任意的恒成立，所以，函数在上为增函数，由可得，解得或，因此，不等式的解集为.故选：C.【变式41】已知函数，若不等式成立，则实数的取值范围为【答案】【分析】用导数判断的单调性，根据单调性解不等式.【详解】由得，，所以在上为减函数，由得，解得或.故答案为：【变式42】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，若实数满足，则的取值范围是．【答案】【分析】利用导数和函数的奇偶性可求得的单调性，结合函数值大小关系可得到自变量的大小关系，解对数不等式可求得结果.【详解】当时，；当时，，，，在上单调递增；又为定义在上的偶函数，在上单调递减，则由得：，即，解得：，的取值范围为.故答案为：.【变式43】已知函数满足，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】根据题意，求得且，得到在区间上为单调递增函数，结合不等式，得出不等式组，即可求解.【详解】由函数，可得函数的定义域为，且，所以函数在区间上为单调递增函数，又由不等式，可得，即，解得或，即实数的取值范围是.故答案为：.考点05已知函数的单调区间求参数【方法点拨】先对函数进行求导，结合定义域可得到单调区间的一个或者两个端点为导函数的零点，代入即可求解【例9】已知函数f（x）＝在上是减函数，则实数a的取值区间是【答案】【分析】转化为导函数小于等于0恒成立即可.【详解】函数在上是减函数，在上恒成立，，即，解得，实数的取值范围是，故答案为：.【例10】函数（）的减区间为，则实数的值为（

）A．2 B． C．1 D．4【答案】A【分析】利用导数的性质进行求解即可.【详解】显然该函数的定义域为全体正实数集，即，，因为，所以由可得：，因为函数（）的减区间为，所以，故选：A【变式51】如果定义在R上的函数的单调增区间为，那么实数的值为．【答案】【分析】根据导数研究函数的单调性，将单调区间的端点代入导函数值为零，计算并验证即可.【详解】由题意可得：且，代入验证，符合题意，故.故答案为：【变式52】已知函数的减区间为，则.【答案】3【分析】根据题意，转化为的解集为，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，，解集为，则.故答案为：3【变式53】若函数的单调减区间为，则．【答案】【分析】由出导函数，由的解是可得结论．【详解】，由题意的解集是，则，解得，所以．故答案为：9．考点06已知函数的单调性求参数的范围【方法点拨】已知在区间上的单调性,求参数范围的方法①利用集合的包含关系处理在上单调递增(减)的问题,则区间是相应单调区间的子集;②利用不等式的恒成立处理在上单调递增(减)的问题,则在内恒成立,注意验证等号是否成立.【例11】已知函数在区间上单调递减，则实数a的最大值是．【答案】【分析】依题意，在区间上恒成立，分离常数可得实数a的最大值.【详解】由题意，因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立，即，又，所以，即实数a的最大值是.故答案为：【例12】若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.【答案】,．【分析】由在上单调递减，得在上恒成立，构造函数，求导确定函数的最值，只需，即可得出答案．【详解】，因为在上单调递减，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，令，，，当时，，所以，故在恒成立，所以，所以，所以的取值范围为,．【变式61】已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出，只需在上恒成立，进而求出结果.【详解】解：由题意，在上恒成立，则对于，，故．故选：．【变式62】已知函数在上为增函数，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数在区间上的单调性可得在上恒成立，即在上恒成立，利用换元法，结合二次函数的性质求出其最大值即可.【详解】因为在上为增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，则.设，则，所以当时，取最大值为，所以.故选：D.【变式63】已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分情况讨论，当时直接代入可得函数递减；当时，求导，构造函数，，再由得到抽象函数，求出，最后再讨论时的情况，综合得出结果.【详解】当时，函数在上单调递减，不符合题意，所以，由题可知恒成立，即.令，则，所以在上单调递增，由，可得，即，所以，所以，当时，，不符合题意，故的取值范围是.故选：B考点07求含参函数的单调区间【方法点拨】求含参数函数的单调区间的步骤（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）解方程,此时可能要对参数讨论,一般有三个讨论点:①二次项系数②判别式③方程根的大小:（4）结合定义域,画数轴、标根;（5）判定方程的根的左右两侧导数的符号,写出单调区间.注意:（1）讨论参数要全面,做到不重不漏.（2）若涉及分式不等式要注意通分,结合定义域化简,也可转化为二次不等式求解.【例13】已知函数，，讨论函数的单调性.【答案】答案见解析【分析】求导数，分类讨论导数的符号，得函数的单调区间.【详解】函数的定义域为，①当，即时，得，则.∴函数在上为增函数.②当，即时，令，得，解得(ⅰ)若，则，∵，在或时，；时，∴在，上为增函数，在上为减函数.(ⅱ)若，则，当时，，当时，，∴函数在上为减函数，在上为增函数.综上可知，时，函数在上为增函数；时，函数在，上为增函数，在上为减函数；时，函数在上为减函数，在上为增函数.【例14】已知函数.(1)若曲线在点处的切线与直线平行,求出这条切线的方程；(2)讨论函数的单调性.【答案】(1)(2)见详解【分析】（1）求导数,可得切线斜率,从而可得切线方程.（2）求导数,分类讨论,利用导数的正负与函数单调性的关系,可得函数单调区间.【详解】（1）由题得,则在点处的切线与直线平行,即又曲线在点处的切线为即.（2）令得或（i）当即时,单调递增极大值单调递减极小值单调递增（ii）当即时,恒成立,在上单调递增,无单调递减区间.（iii）当即时,单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述,当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为；当时,在上单调递增,无单调递减区间；当时,的单调递增区间为,,单调递减区间为.【变式71】已知函数，讨论函数的单调性.【答案】答案见解析【分析】求出，定义域为R，求导，分和两种情况，解不等式，求出单调性.【详解】由题设知，定义域为R，，令，得，.当时，令，解得或，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，当时，令，解得，此时单调递增，令，解得或，此时单调递减，综上：当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递增，在，上单调递减.【变式72】已知函数.(1)在上是增函数，求a的取值范围；(2)讨论函数的单调性．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）利用导数与函数的关系得到在上恒成立，从而得解；（2）首先求出定义域，再求出导函数，分和两种情况，求出函数的单调区间.【详解】（1）因为，所以的定义域为，则，因为在上是增函数，即在上恒成立，则在上恒成立，因为在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，即，因为，所以，则，所以，则.（2）由（1）得，当时，，则在上是增函数；当时，，所以；或；，所以在上是减函数，在和上是增函数.【变式73】已知函数.(1)若，求实数的值;(2)求函数的单调区间.【答案】(1)(2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.【分析】（1）借助导数运算即可求解；（2）求导，判断导数的符号，令导数大于0，求单调递增区间；令导数小于0，求单调递减区间.【详解】（1），因为，所以.（2）函数的定义域为.，当时，恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，令解得，的解集为，的解集为，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.一、单选题1．函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用导数研究函数的单调性.【详解】，令，即的单调递增区间为.故选：B2．已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的图像、单调性以及导数等知识确定正确答案.【详解】由图可知，当时，单调递减，，由此排除BD选项.当时，从左向右，是递增、递减、递增，对应导数的符号为，由此排除C选项，所以A选项正确.故选：A3．函数的单调递减区间为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出定义域后再求导，根据导函数小于0求出单调递减区间即可得．【详解】的定义域为，，由，可得，故的单调递减区间为．故选：C．4．函数的部分图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根据、在的单调性可判断出答案.【详解】由，排除B，C；由可得，当时，，即，故在上单调递减，排除D，故选：A．5．已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用求导数的方法，含参讨论函数的单调性，即可求出实数a的取值范围.【详解】，当时，在区间上单调递减，不符合题意.当，时，，在区间上单调递减，不符合题意.当时，令，解得，要使在区间上不单调，则，即，解得，此时在区间上递减；在区间上递增.故选：B6．若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．不存在这样的实数【答案】A【分析】利用导数求出函数的单调区间，可得出区间的包含关系，即可得出的取值范围.【详解】因为，该函数的定义域为，，由可得，由可得或，所以，函数的增区间为、，减区间为，因为函数在区间上单调，则或或，若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：A.二、多选题7．如果函数在区间上是减函数，则实数的值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．【答案】BCD【分析】根据对称轴和函数单调性得到的范围，得到答案.【详解】函数开口向上，对称轴，因为在上是减函数，所以.故选：BCD.8．下列函数在定义域上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】结合选项中的函数，求得相应的导数，结合导函数的符号，即可判定函数的单调，得到答案．【详解】对于A中，函数，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以A不符合题意,对于B,函数（），可得，当时，，单调递增；故B符合，对于C中，,则，故单调递增；故C符合，对于D，函数，可得，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以D不符合题意；故选：BC．9．如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（

）A．在区间上是减函数B．在区间上是减函数C．在区间上是增函数D．在区间上是增函数【答案】AC【分析】根据函数的导函数图象，即可逐项判断.【详解】对A：由导函数的图象知在区间上，，故在区间上单调递减，故A项正确；对B、D：在区间，上分别有大于零和小于零的部分，故在区间，上不单调，故B、D项错误；对C：在区间上，，所以函数在区间上单调递增，故D项正确.故选:AC.三、填空题10．若函数（且）在区间上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【分析】函数求导后，在区间上单调递增，转化为在区间上恒成立，然后利用函数单调性求最值即得.【详解】由函数（且）在区间上单调递增，得在区间上恒成立，又在区间上恒正，只需满足在区间上恒成立即可，令，若，则，则一次函数在区间上单调递减，不可能恒正；若，则，则一次函数在区间单调递增，所以只需，即，解得，故答案为：.11．已知函数，则使得成立的的