高考二轮复习理科数学试题（老高考旧教材）考点突破练23不等式选讲（选修45）

考点突破练23不等式选讲(选修4—5)1.(2023陕西商洛二模)已知函数f(x)=|xm|+|x+2|.(1)当m=1时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)若关于x的不等式f(x)≤2m4有解,求实数m的取值范围.2.已知函数f(x)=lg(|xm|+|x2|3)(m∈R).(1)当m=1时,求函数f(x)的定义域;(2)若不等式f(x)≥0对于x∈R恒成立,求实数m的取值范围.3.(2021全国甲,理23)已知函数f(x)=|x2|,g(x)=|2x+3||2x1|.(1)画出y=f(x)和y=g(x)的图象;(2)若f(x+a)≥g(x),求a的取值范围.4.(2023江西赣州二模)设函数f(x)=|x1|+2|x+5|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若|a|<3,|b|<3,求证:|a+b|+|ab|<f(x).5.(2023全国乙,理23)已知f(x)=2|x|+|x2|.(1)求不等式f(x)≤6x的解集;(2)在直角坐标系xOy中,求不等式组f(x6.已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞).(1)求x1a(2)求证:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2.7.(2023河南郑州三模)已知正实数a,b,c.(1)若x,y,z为正实数,求证:a2(2)求ca+8.(2023广西玉林二模)已知正数a,b,c满足a2+b2+2c2=4.(1)若a+b+c=3,证明:15≤c≤(2)若a=b,求b4+考点突破练23不等式选讲(选修4—5)1.解(1)当m=1时,f(x)=|x1|+|x+2|,当x≥1时,得2x+1≤6,则1≤x≤52;当2<x<1时,得3≤6,则不等式恒成立;当x≤2时,得2x1≤6,则72≤x≤2,综上,不等式f(x)≤6的解集为(2)不等式f(x)≤2m4有解,即f(x)min≤2m4.因为|xm|+|x+2|≥|(xm)(x+2)|=|m+2|,所以f(x)min=|m+2|.由|m+2|≤2m4,得m+2≤2m-4,所以实数m的取值范围为[6,+∞).2.解(1)当m=1时,f(x)=lg(|x1|+|x2|3),即|x1|+|x2|3>0,即等价于x≤1,3-2x-3>0或1<x<2,1-3>0或x≥2,2x-3-(2)由f(x)≥0对于x∈R恒成立,得|xm|+|x2|3≥1,即|xm|+|x2|≥4,又|xm|+|x2|≥|m2|,当且仅当(xm)(x2)≤0时等号成立,即|m2|≥4,解得m≤2或m≥6,故实数m的取值范围为(∞,2]∪[6,+∞).3.解(1)f(x)=x-2,x≥2,(2)取临界状态,如图,设点Q(x,0),P12,4,令过点P,Q的直线的斜率是1,即0-4x-12=1,解得x=72.由函数f(x)=|x2|知f(x+a)=|x+a2|=|x(2a)|,函数f(x+a)=|x(2a)|的图象的对称轴是直线x=2a.当2a≤72,即a≥11所以a∈4.(1)解因为f(x)=|x1|+2|x+5|=-3x-9,x≤-5则f(x)在(∞,5)内单调递减,在(5,+∞)内单调递增,所以f(x)min=f(5)=6.(2)证明若(a+b)(ab)≥0,则|a+b|+|ab|=|a+b+ab|=2|a|<6,若(a+b)(ab)<0,则|a+b|+|ab|=|a+b(ab)|=2|b|<6,因此|a+b|+|ab|<6,而f(x)≥6,故|a+b|+|ab|<f(x)成立.5.解(1)由题得f(x)=-3x+2,x<0,x+2,0≤x≤2,3x-2,x>2,则当x<0时,3x+2≤6x,解得2≤x<0,当0≤x≤2时,x+2≤6x,解得0≤x≤2,当x>(2)作出不等式组f所表示的平面区域,如图中阴影表示的△ABC,则该平面区域的面积为S△ABC=S△ADC+S△BDC=12|DC|·|xB|+12|DC|·|xA|=12|DC|(|xB|+|xA|)=12×46.(1)解因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),所以x1a+x2b+2x1x2≥3·3x1a·x2b·2x1x2=3·3(2)证明(方法一)由a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),及柯西不等式可得(ax1+bx2)(ax2+bx1)=[(ax1)2+(bx2)2][(ax2)2+(bx1)2]≥(ax1·ax2+bx2·bx1)2=(a(方法二)因为a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞),所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)=a2x1x2+abx22+abx12+b2x1x2=x1x2(a2+b2)+ab(x22+x12)≥x1x2(a2+b2)+ab(2x1x2)=x1x2(a2+b2+2ab)=x1x2(a+b)2=x1x2,当且仅当7.(1)证明由柯西不等式,得a2x+b2y+c2z(x+y+z)≥ax·x(2)解因为a,b,c为正实数,则a2+b2+b2+c2+a2+c2≥2ab+2bc+2ac,所以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥ab+ac+bc+2ab+2bc+2ac=3(ab+bc+ac),当且仅当a=b=c时,等号成立.由(1)可得ab+c+ba+c+ca8.(1)证明由a+b+c=3,得a+b=3c,∵(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2=(3c)2,∴a2+b2≥(3-c)22,当且仅当a=b时,等号成立,∴a2+b2+2c2=4≥(3-c)22+2c2,即(2)解若a=b,则a2+b2+2c2=2b2+2c2=4,即