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第13章能量法简介§13.1

概述§13.2杆件应变能的计算§13.3应变能的普遍表达式§13.4互等定理§13.5卡氏定理§13.1

概述能量原理：力学中，把与功和能有关的一些定理统称为能量原理。功能原理：若外力从零开始缓慢增加到最终值，固体在变形中的每一瞬间都处于平衡，动能和其它能量皆可不计，则固体的变形能Vε在数值上等于外力所作的功，此称为功能原理。即Vε=W§13.2

杆件应变能的计算1.轴向拉伸或压缩线弹性范围内：§13.2

杆件应变能的计算当轴力FN为变量FN（x）时，§13.2

杆件应变能的计算2.纯剪切线弹性范围内，应变能密度§13.2

杆件应变能的计算3.扭转线弹性范围内

当扭矩T沿轴线变化为T（x）时§13.2

杆件应变能的计算4.弯曲（1）纯弯曲§13.2

杆件应变能的计算（2）横力弯曲细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比很小，可以不计，仅计算弯曲应变能。取微段，然后积分。§13.2

杆件应变能的计算5.杆件基本变形应变能的统一表达式（1）F——为广义力

δ——为广义位移（2）线弹性范围内F与δ成线性关系F=Cδ，C为刚度系数§13.3

应变能的普遍表达式1.弹性体变形的一般情况§13.3

应变能的普遍表达式2.杆件组合变形的应变能（1）微段dx内的应变能（2）整个杆件的应变能对非圆截面杆，以It代替Ip1.如图13-6在线弹性结构上，先加F1，F2（同时按比例达到最终值）§13.4

互等定理§13.4

互等定理2.在线弹性结构上先加F3、F4，然后再加F1、F2§13.4

互等定理3.由于应变能只决定力和位移的最终值，与加力的次序无关，故§13.4

互等定理第一组力在第二组力引起的位移上所作之功等于第二组力在第一组力引起的位移上所之功，这就是功的互等定理。§13.4

互等定理4.若第一组力只有F1，第二组力只有F3则若F1=F3则F1作用点沿F1方向由F3引起的位移等于F3作用点沿F3方向由F1引起的位移，这就是位移互等定理。§13.4

互等定理5.注意（1）结构只发生变形位移，不发生刚性位移。（2）力和位移都是广义的。§13.5

卡氏定理即：结论：（1）杆件应变能对力F求导数，就求得力F作用点沿其作用方向的位移，此为一个普遍的规律，称为卡氏定理。（2）力和位移都是广义的。§13.5

卡氏定理§13.5

卡氏定理1.卡氏定理证明（1）设①线弹性结构在支座约束下，无任何刚性位移。§13.5

卡氏定理②F1，F2……Fn为作用于弹性结构上外力的最终值，而δ1、δ2……δn为相应的位称最终值，则Vε=f（F1，F2……Fi）（2）第一种加载方式：先加F1，F2……Fi，然后给Fi一个增量dFi，则§13.5

卡氏定理（3）第二种加载方式：先加dFi，然后再加F1，F2……Fi则（4）材料服从胡克定律，小变形线弹性应变能与加载次序无关，则略去二阶微量得2.卡氏定理应用于几种常见情况§13.5

卡氏定理（1）横力弯曲（2）小曲率平面曲杆（只考虑弯矩）§13.5

卡氏定理（3）刚架§13.5

卡氏定理（4）桁架（5）组合变形

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