第12章电容器和电介质

第12章电容器和介电质(Capacitoranddielectric)

1§12.2电容器的级联§12.3电介质对电场的影响§12.4电介质的极化§12.5D矢量及其高斯定律§12.6电容器的能量§12.1电容器及其电容§12.7介电质中电场的能量212.1电容器一、孤立导体的电容真空中孤立导体球任何孤立导体，q/φ与q、φ均无关，定义为电容R介质几何3电容单位：法拉（F）物理意义：使导体升高单位电势所需电量代表体系固有的容电本领，只与几何因素和介质有关4二、电容器的电容电容器的两极板常带等量异号电荷。几种常见电容器及其符号：电容器：两相互绝缘的导体组成的系统。(a)(b)固定电容器(c)电介质电容器(d)可变电容器(e)半可变电容器(f)变容器5计算电容的一般方法：q—其中一个极板电量绝对值φ1-φ2—两板电势差电容器的电容：先假设电容器的两极板带等量异号电荷，再计算出电势差，最后代入定义式。6几种常见电容器及其电容(1)平板电容器电容与极板面积成正比，与间距成反比。Sd7(2)圆柱形电容器8(3)球形电容器9分布电容（杂散电容）电容器的作用隔直流，通交流。振荡放大器、时间延迟电路等储存电能(4)电介质电容器理论和实验证明即其中10一些电介质的相对介电常数电介质

r电介质

r电介质

r真空1变压器油3氧化钽11.6空气1.000585云母3.7-7.5二氧化钛100纯水80普通陶瓷5.7-6.8电木7.6玻璃5-10聚乙烯2.3石蜡2.2纸3.5聚苯乙烯2.6钛酸钡103-10411电介质电容器的分类：空气电容器纸介质电容器云母电容器陶瓷电容器钛酸钡电容器电解电容器电容器性能参数：电容和耐压如：12…1、并联：因此，并联后的电容器组具有增大电容的作用。这时，各电容器的电压相等，即总电压U，而总电量Q为各电容器所带的电量之和。则总电容为12.2电容器的级联132、串联：…这时各电容器所带电量相等，也就是电容器的总电量，总电压U等于各个电容器的电压之和。则总电容为因此，串联后的电容器组具有提高耐压的作用。143、混联：AB根据连接计算。如图所示，根据并联和串联的规律，可以得到A、B间电路的电容为

因此，混联后电容和耐压同时得到了提高，可以满足容量和耐压的特殊要求。15例1三个电容器按图连接，其电容分别为C1、C2和C3。求当电键K打开时，将C1充电到U0，然后断开电源，并闭合电键K。求各电容器上的电势差。KU0+q0-q0C1C2C3解:在K闭合前，

C1极板上所带电荷量为q0=C1U0

，C2和C3极板上的电荷量为零。K闭合后，C1放电并对C2、C3充电，整个电路可看作为C2、C3串联再与C1并联。设稳定时，C1极板上的电荷量为q1，C2和C3极板上的电荷量为q216解两式得对于两个支路的电量和电压KU0+q0-q0C1C2C317因此，得C1

、C2和C3上的电势差分别为18例2、一电容器两极板都是边长为a的正方形金属板，两板并不严格平行，而是有一夹角。试计算当时，电容器的电容。分析：由于电容器的极板之间不平行，不能直接利用平行板电容器的电容公式进行计算。如果将极板分成无数个窄带，每个窄带之间的电容可以近似看作为平行板电容，由平行板电容器公式计算元电容dC，整个电容器的电容可以看作无限多个dC并联。总电容可以通过积分来完成。19解：取如图的坐标系，对应窄带电容为由图可知因此则当时，20所以又因为，故得（泰勒级数展开）21例3、两根平行长直导线截面半径为a，中心轴线间距为d（），求单位长度的电容。分析：本题的导体分布为对称性组合，其电场分布可由高斯定理求出。注意在求电场时，应采用同一坐标系。解：建立如图的坐标系，设两导线单位长度带电，根据高斯定理和电场叠加原理可知，两平行导线间任一点r的电场强度为22则两导线间的电势差为由电容的定义得到所以单位长度电容为2312.3电介质对电场的影响首先，由静电计可测出极板间为空气时，两个极板间的电压为；如果保持两个极板间的电量不变，充满电介质的情况下，发现两个极板间的电压减小了由于所以电场强度为真空时的倍。电介质：绝缘体，无自由电荷,在电场中产生极化。电介质极化特点：内部场强一般不为零。2412.4电介质的极化一、有极分子和无极分子电介质有极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心不重合。负电荷中心正电荷中心无极分子：分子的正电荷中心与负电荷中心重合。25+-有极分子+-有极分子无极分子无电场时的分子，呈电中性无极分子26二、电介质的极化（有电场时）（1）无极分子的位移极化加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中心不再重合，出现分子电矩（感生电矩）。位移极化无极分子+++---displacement

polarization27无外电场时，有极分子电矩取向不同，整个介质不带电。（2）有极分子的取向极化在外电场中有极分子的固有电矩要受到一个力矩作用，电矩方向转向和外电场方向趋于一致。取向极化有极分子+++---orientationpolarization28结论：极化的总效果是介质边缘出现电荷分布。由于这些电荷仍束缚在每个分子中，所以称之为束缚电荷或极化电荷。29三、电极化强度矢量（1）电极化强度矢量单位体积内分子电矩的矢量和。（2）空间任一点总电场总电场束缚电荷电场外电场（3）电极化强度与总电场的关系极化率（4）极化率与相对介电常数的关系30对于非极性分子组成的电介质，由于每个分子的感生电矩都相同，即位移极化的强度相同。所以，若以n表示电介质单位体积内的分子数，则有在国际单位制中，极化强度的单位是库仑每平方米，符号为，它的量纲与面电荷密度的量纲相同。31介质球放入前电场为一均匀场介质球放入后电力线发生弯曲+++++++32电介质的极化规律1、各向同性线性电介质介质的电极化率无量纲的纯数，与无关极化强度与电场强度的实验关系介质的相对介电常数2、各向异性线性电介质张量描述与、与晶轴的方位有关3、铁电体与间非线性，没有单值关系。33束缚电荷与电极化强度的关系分子电矩电极化强度由于极化而越过面元的总电量束缚电荷面密度dSl极化强度在法线方向的分量对极性分子同样适用。34例1半径R

的介质球被均匀极化，极化强度为P。求：1)介质球表面极化电荷的分布；

2)极化电荷在球心处的场强。解：1)球面上任一点由此可知，右半球面上左半球面上2)在球面上取环带35E

沿x轴负方向。在球心处的场（由例8-7的结论）3612.5D矢量及其高斯定律一、D的高斯定律当电介质放在电场中时，受电场的作用而极化，产生了束缚电荷，束缚电荷反过来又影响电场的分布。1、环路定理一般来说，束缚电荷的电场分布情况比较复杂。但这种复杂关系可以通过引入适当的物理量来简明地表示。极化电场也是有势场37导体电介质如图所示，带电的导体和电极化了的电介质组成的系统可视为由一定的束缚电荷()和自由电荷()分布组成的电荷系统，所有这些电荷产生一个电场分布E当同时考虑自由电荷和束缚电荷产生的电场时总电场束缚电荷自由电荷2、D的高斯定律38由于电介质为中性，则根据电荷守恒定律，由于极化而留在封闭曲面内的多余的电荷，即体束缚电荷，为电介质内部的体束缚电荷我们已经求得由于极化，穿过dS面而移出封闭曲面的电荷为通过整个封闭曲面移出的电荷为封闭面内的体束缚电荷等于通过该封闭面的电极化强度通量的负值。39整理得定义：电位移矢量D的高斯定律

通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和。将代入高斯定律，得——D的高斯定律40是描述电介质中电场的一个辅助量，它揭示了D、E、P三个物理量之间的普遍联系，是一个同时描述电场和电介质极化的复合矢量。电位移矢量D：电位移线和电场线性质不同电场线电位移线41二、三矢量之间的关系有电介质存在时的高斯定律的应用（1）分析自由电荷分布的对称性，选择适当的高斯面，求出电位移矢量。（2）根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。（3）根据电极化强度与电场的关系，求出电极化强度。（4）根据束缚电荷与电极化强度关系，求出束缚电荷。各向同性介质单位为库仑每平方米C/m242例1.一无限长同轴金属圆筒，内筒半径为R1，外筒半径为R2，内外筒间充满相对介电常数为

r的油，在内外筒间加上电压U(外筒为正极），求电场及束缚电荷分布。解：根据自由电荷和电介质分布的对称性，电场强度和电位移矢量均应有柱对称性。设内圆筒单位长度带电为

，以r为底半径、l为高作一与圆筒同轴的圆柱面为高斯面，则分析：这是求具有对称性的电介质的电场，可根据电位移矢量与电场的关系，求出电场。再根据束缚电荷与电极化强度的关系，求出束缚电荷分布。43由电位移与电场的关系，知44内外筒电势差代入得到电场的分布为：沿半径向里45由得电极化强度矢量的分布沿半径向里由得束缚电荷的分布束缚电荷在介质内表面为正，外表面为负。46例3一半径为R的金属球，带有电荷q0,浸埋在均匀“无限大”电介质（电容率为ε），求球外任一点P的场强及极化电荷分布。解:根据金属球是等势体，而且介质又以球体球心为中心对称分布，可知电场分布必仍具球对称性，用D的高斯定律来求解。如图所示，过P点作一半径为r并与金属球同心的闭合球面S，由高斯定律知RrPS

47所以写成矢量式为,所以离球心r处P点的场强为因48

结果表明：带电金属球周围充满均匀无限大电介质后，其场强减弱到真空时的1/εr倍,可求出电极化强度为电极化强度与有关，是非均匀极化。在电介质内部极化电荷体密度等于零，极化面电荷分布在与金属交界处的电介质表面上（另一电介质表面在无限远处），其电荷面密度为49因为εr>1，上式说明σ’恒与q0反号，在交界面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为总电荷量减小到自由电荷量的1/εr倍，这是离球心r处P点的场强减小到真空时的1/εr倍的原因。50例4平行板电容器两板极的面积为S，如图所示，两板极之间充有两层电介质，电容率分别为ε1

和ε2

，厚度分别为d1

和d2，电容器两板极上自由电荷面密度为±σ。求（1）在各层电介质的电位移和场强，（2）电容器的电容.解：（1）设场强分别为E1和E2，电位移分别为D1和D2

，E1和E2

与板极面垂直，都属均匀场。先在两层电介质交界面处作一高斯闭合面S1，在此高斯面内的自由电荷为零。由D的高斯定律得+

E1E2D1D2S2S1d1d2AB

1E2

2-

51所以即在两电介质内，电位移和的量值相等。由于所以

可见在这两层电介质中场强并不相等，而是和介电常数（或相对介电常数）成反比。52为了求出电介质中电位移和场强的大小，我们可另作一个高斯闭合面S2

，如图中左边虚线所示，这一闭合面内的自由电荷等于正极板上的电荷，按D的高斯定律，得再利用可求得方向都是由左指向右。+

E1E2D1D2S2S1d1d2AB

1E2

2-

53q=σS是每一极板上的电荷，这个电容器的电容为可见电容与电介质的放置次序无关。上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况（每一层的厚度可以不同，但其相互叠合的两表面必须都和电容器两极板的表面相平行）。（2）正、负两极板A、B间的电势差为还可以由电容器的连接方式计算得出54例5、一平板电容器板间为真空时，两极板上所带电荷的面密度分别为+

和-，极板间电压为U0，这时保持两板上电量不变，将板间一半空间充以相对介电常数为εr的电介质，求极板间电压以及电介质上下表面的束缚电荷。（忽略边缘效应）55解：设极板间距离为d，未充入介质前极板间场强为，板间电压为，充入介质后，各个量如图所示。根据图中虚线作一圆柱形高斯面，上下底面与极板面平行，上底面位于上极板中，下底面位于电介质中。由D的高斯定律得56由于上底在金属板内，场强为0，D也为0，而且D与侧面平行，所以，上式中第一和第三项都为0，有即则同理对于右半部分又由于左右两部分极板间的电压相等即57则又因为电荷保持不变联立以上两式，得两极板间电压为左半侧电介质极化强度为方向与E1相同，垂直于电介质表面，有58这时，极板间的电场强度为由于，所以这一结果说明，两极板间电场比板间全部为真空时的场强减弱了，但并不像前面我们得到的结果那样减弱到1/εr，这是因为电介质并未充满两极板之间的空间的缘故。5912.6电容器的能量一、电容器的储能CabK与a接通,电源对电容器充电;电容器的储能转化为光能和热能化学能转化为电容器的储能实验K与b接通,电容器放电,灯闪亮。60以充电过程为例计算电容器的储能dq

从负极板到正极板，电源克服电场力作功使电势能增大：电源极板电量从0增加到Q，电势能总的增量为：电容为C的电容器，带电量Q，电压U时的储能为：61电场能量密度适用于任何电场二、电场的能量电容器的储能就是电容器中电场的能量以平行板电容器为例62例1、一球形电容器，内外半径分别为R1和R2，两球面间充满相对介电常数为εr的电介质，如图所示。求此电容器带电量为Q时所储存的静电能。分析：由于电容器内外球面分别带有+Q和-Q的电量，因此，可以根据高斯定理，求出各部分的场强，进而根据场强和静电能的关系得到电容器储存的电能。63解：根据高斯定律，可以知道，在内球内部和外球外部的电场强度都为零，因此只有两球面之间具有场强由D的高斯定律则电场强度为64因此，此球形电容器所储存的电能为利用，还可以得到电容值为65例2一平行板空气电容器的板极面积为S，间距为d，用电源充电后两极板上带电分别为±Q。断开电源后再把两极板的距离拉开到2d。求（1）外力克服两极板相互吸引力所作的功；（2）两极板之间的相互吸引力。（空气的电容率取为ε0）。板极上带电±Q时所储存的电能为解：（1）两极板的间距为d和2d时，平行板电容器的电容分别为66（2）设两极板之间的相互吸引力为F

，拉开两极板时所加外力应等于F

，外力所作的功A=Fd

，所以故两极板的间距拉开到2d后电容器中电场能量的增量，即外力克服电场力做功为67例3、一平行板电容器极板面积为S，板间距为d，相对介电常数为εr的介质板充满电容器两极板间空间的一半，试求

(1)空气间隙中所储存的能量占总能量的百分数。

(2)介质板中储存的能量占总能量的百分数。分析：由于介质没有充满电容器空间，因此，首先需要把插入介质后的等效电容求得，再根据电容器的储能公式得到各部分的储能比例。68如图所示，分别取高斯面，可得解：设极板上电荷为q，面密度为，空气部分场强为E1，介质中为E2，电位移分别为D1，D2。即则69两极板间的电势差为等效电容为电容器储存的总能量为70(1)空气隙中的能量密度为空气隙的体积空气隙中储存