2020 年北京市昌平区中考二模数学试题详解

昌平区2020年初三年级第二次统一练习

数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.如图所示，用量角器度量NAO8,可以读出NAO8的度数为（）

A.40°B.45°C.135°D.140°

2.今年的新冠肺炎病毒侵袭武汉时，全中国第一时间组织对武汉的救援.这其中，我国自主

研制的大型运输机“运20”，为在疫情初期向武汉快速转运大量物资和人员作出了重要贡

献.“运20”起飞重量220吨，从立项到成功编入部队，经历了20多年，仅研究初期的预研

经费就超过3000000000元人民币.将30（）0000000用科学记数法表示为（）

A，3x108B.O.3xlO10C.3xl()9D.30x108

3.下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

△A

4.实数a,b,c,d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（

ab0c

A.B.ad>0C.a+c>0D.d-a>0

5.在下面的四个几何体中，左视图是圆的是（）

A.

6.昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、

碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑.如图，分别以正东、正北方向

为x轴、），轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为（2,0）,表示园中园的

点的坐标为（-1,2）,则表示弘文阁所在的点的坐标为（）

A.(—2,—3)B.(—2,—2)

C.(—3,—3)D.(—3,—4)

7.如果^一占=4,且awO,BwO,那么代数式（《一切+（土也）的值是（）

bb

A.-4B.4C.2D.-2

8.如图所示，边长为2的等边AABC是三棱镜的一个横截面.一束光线ME沿着与AB边垂

直的方向射入到BC边上的点。处（点力与B,C不重合），反射光线沿。尸的方向射出去，

0K与BC垂直，且入射光线和反射光线使/MZ）K=/F£>K.设BE的长为x,/XOFC的面积

为y,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）

K

I

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.若而7在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

10.如图是由射线AB,BC,CD,DE,EF,FA组成的平面图形，则N1+N2+N3+/4+N5+

Z6=_____°.

11.如图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为1,点A,B,C均在格点上，则

12.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：''今有黄金九枚，白银一十

一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装

有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋

相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每

枚各种多少两？设黄金重X两，每枚白银重了两，根据题意可列方程组为一.

13.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC,BE,交于点O,

若=1>贝U1BOC=---------

AED

14.如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽

弦图此图案的示意图如图②，其中四边形A8CO和四边形EFG”都是正方形，△ABF、

△BCG、ACDH、△D4E是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为.

15.为了更好的开展线上学习，李老师打算选择一款适合网上授课的软件，他让年级同学在

使用过A、B、C三款软件后进行评分，统计结果如下：

五星四星三星两星一星合计

A52301332100

B49361041100

C35302564100

（说明：学生对于网上授课软件的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一

星）.

李老师选择（填“A"、"B”或“C”）款网上授课软件，能更好的开展线上学习（即

评价不低于四星）的可能性最大.

16.如图，是用图象反映储油罐内的油量V与输油管开启时间，的函数关系.观察这个图象，

以下结论正确的有

①随着输油管开启时间的增加，储油罐内的油量在减少；

②输油管开启10分钟时，储油罐内的油量是80立方米；

③如果储油罐内至少存油40立方米，那么输油管最多可以开启36分钟;

④输油管开启30分钟后，储油罐内的油量只有原油量的一半.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6

分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：7i2+2-1-2cos30°+|^-2|.

'2x>x-3

18.解不等式组4为+7

----->2x-l

I3

19.已知：关于x的一•元二次方程x2+（2w+l）x+w2+m=0.

（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；

（2）请选择一个合适的加值，写出这个方程并求出此时方程的根.

20.在数学课上，老师提出如下问题：

已知：Za,直线/和/上两点A,B.

求作：RtAABC,使点C在直线/的上方，且NA2C=90。，ZBAC=Za.

B

小刚的做法如下:

①以Na的顶点。为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M,N；以A为圆心，同样长为半

径作弧，交直线/于点P;

②以P为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点Q,作射线AQ；

③以8为圆心，任意长为半径作弧，交直线/于E,F；

④分别以E,F为圆心，大于」EF长为半径作弧，两弧在直线/上方交于点G,作射线BG；

2

⑤射线AQ与射线BG交于点C.Rt^ABC即为所求.

(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)

(2)完成下面的证明：

连接PQ

在△OMN和4402中，

*：ON=AP,PQ=NM,OM=AQ

:AOMN之△AQP()(填写推理依据)

XPAQ=ZO=a

•：CE=CF,BE=BF

：.CB±EF()(填写推理依据)

21.在平行四边形A8CO中，过点A作AE_L8C于点，点尸在边上，S.DF=BEf连接

DE,CF.

(1)求证：四边形AEC/是矩形；

(2)若。E平分NADC,AB=5,AD=8,求tanNADE的值.

BEC

22.如图，PA,PB是。。的两条切线，A,B是切点，AC是。0的直径.

(1)若/4CB=70。，求NAP8的度数；

(2)连接0P,若AB=8,BC=6,求OP的长.

23.在平面直角坐标系xOy中，直线/：y^kx+b与双曲线y=—交于点A(1,〃)和点8(—2,

x

—1),点C是x轴的一个动点.

(1)①求，〃的值和点A的坐标；

②求直线/的表达式；

(2)若△48C的面积等于6,直接写出点C的坐标.

24.为深入贯彻落实习近平总书记关于防灾减灾救灾和自然灾害防治等重要论述精神，推动

防震减灾治理体系和治理能力现代化，引导学生学习掌握防震减灾科普知识，区教委开展了

2020年昌平区中小学生防震减灾知识挑战赛.从某所学校中抽取了50名同学的成绩进行分

析，下面给出部分信息：

该校抽取的50名学生防震减灾知识挑战赛成绩的频数分布直方图如下(数据分成5组:

50<r<60,60<r<70,70<r<80,80<r<90,90<r<100）：

b.该校抽取的50名学生防震减灾知识挑战赛的成绩在80<r<90这一组的是：

8181828383848484858586868787888989

根据以上信息回答问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）该校抽取的50名学生成绩的中位数是；

（3）若该校共有学生200人，请你估计该校在防震减灾知识挑战赛中获得优秀的有多少

人.（成绩285视为优秀）

25.如图，懑是以。为圆心，AB长为直径的半圆弧，点C是AB上一定点.点P是冠上

一动点，连接以，PC,过点尸作POL4B于。.已知AB=6cm,设A、P两点间的距离为x

cm,P、C两点间的距离为yicm,P、。两点间的距离为y2cm.

小刚根据学习函数的经验，分别对函数'和”随自变量x变化而变化的规律进行了探究.下

面是小刚的探究过程，请将它补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到V和”与x的几组对应值：

x/cm0123456

y\/cm4.003.96m3.613.272.772.00

yi/cm0.000.991.892.602.982.770.0()

经测量，胆的值是;(保留一位小数)

(2)在同一平面直角坐标系xO)，中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,，)，点(x,

)2),并画出函数>1,”的图象；

(3)结合函数图象，回答问题：△APC为等腰三角形时，A尸的长度约为cm.

26.在平面直角坐标系xQy中，抛物线1y=-犬+*+3与x轴交于点A和点B(点A在点

B左侧)，

(1)若抛物线的对称轴是直线k1,求出点A和点8的坐标，并画出此时函数的图象；

(2)当已知点P(机，2),。(一机，2/71-1).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函

数图象，求，”的取值范围.

27.如图，在△ABC中，NR4C=30。,AB=AC,将线段AC绕点A逆时针旋转a°(0<a<180),

得到线段AZ),连接B£>,交AC于点P.

(1)当a=90时,

①依题意补全图形；

②求证：PD=2PB；

(2)写出一个a的值，使得尸£>=QP8成立，并证明.

28.平面直角坐标系X。中，给出如下定义：对于图形G及图形G外一点P,若图形G上存

在一点M,满足PM=2,且使点P绕点M顺时针旋转90。后得到的对应点尸在这个图形G

上，则称点P为图形G的“2旋转点”.

已知点A(-1,0),B(-1,2),C(2,-2),D(0,3),E(2,2),F(3,0)

(I)①判断：点B线段AF的“2旋转点”(填“是”或“不是”)；

②点C,。，E中，是线段A尸的“2旋转点”的有:

(2)已知直线=,若直线/上存在线段AF的“2旋转点”，求6的取值范围；

(3)0T是以点TG,0)为圆心，0为半径的一个圆，己知在线段AQ上存在这个圆的

“2旋转点”，直接写出t的取值范围.

5-

4-

3-

2-

1-

II।1।11111r

-5-4-3-2-1O12345x

昌平区2020年初三年级第二次统一练习

数学试卷

一、选择题（本题共16分，每小题2分）

1.如图所示，用量角器度量NAO8,可以读出NAO8的度数为（）

A.40°B.45°C.135°D.140°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据角的定义与量角器的使用即可得到结论.

【详解】解：看内圈的数字可得：NAOB=45。，

故选：B.

【点睛】本题主要考查了角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键.

2.今年的新冠肺炎病毒侵袭武汉时，全中国第一时间组织对武汉的救援.这其中，我国自主

研制的大型运输机“运20”，为在疫情初期向武汉快速转运大量物资和人员作出了重要贡

献.“运20”起飞重量220吨，从立项到成功编入部队，经历了20多年，仅研究初期的预研

经费就超过3000000000元人民币.将3000000000用科学记数法表示为（）

A.3X108B.O.3xlO10C.3xlO9D.30x10K

【答案】C

【解析】

【分析】

科学记数法的形式是：^xlO".其中1工同＜10，然为整数.所以a=3，花取决于原数

小数点的移动位数与移动方向，然是小数点的移动位数，往左移动，花为正整数，往右移

动，花为负整数。本题小数点往左移动到3的后面，所以网=9.

【详解】解：3000000000=3X109.

故选C.

【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法

的基础上确定好。产的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响.

3.下列生活垃圾分类标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

△XX4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；

B、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意；

C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意.

故选：B.

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，

图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

4.实数a,b,c,d在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A.\a\<\b\B.ad>0C.a+c>0D.d-a>0

【答案】D

【解析】

【分析】

根据实数在数轴上的位置，得出各个数的大小关系，再根据绝对值的大小，判断相关代数式

的符号.

【详解】由实数a,b,c,d在数轴上对应的点的位置可知，a<b<O<c<d,

|a|>|b|,ad<0,a+c<0,d-a>0,

因此选项D正确，

故选：D.

【点睛】本题考查数轴表示数，有理数的四则运算法则，理解符号、绝对值是确定有理数的

必要条件.

5.在下面的四个几何体中，左视图是圆的是（）

【解析】

【分析】

根据几何体的三种视图，对各图形的左视图分析后进行选择即可.

【详解】解：A、圆柱的左视图是长方形；

B、圆锥的左视图是三角形；

C、三棱柱的左视图是长方形；

D、球的左视图是圆.

故选：D.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，学生的思考能力和对几何体三种视图的

6.昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、

碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑.如图，分别以正东、正北方向

为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为（2,0）,表示园中园的

点的坐标为（-1.2）,则表示弘文阁所在的点的坐标为（）

诗班园中园

____________史遑

______

A.（—2,—3）B.（—2,—2）

C.（一3,—3）D.（一3,—4）

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用文节亭的点的坐标为（2,0）,进而得出原点位置进而得出答案.

【详解】如图所示：

故选:B.

【点睛】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键.

7.如果a-8=4,且awO,b^Q,那么代数式（《■一小）+（土马的值是（）

bb

A.-4B.4C.2D.-2

【答案】B

【解析】

【分析】

在条件aw0,小工0下，先把分式化到最简，再把a-8=4整体代入化简的结果中，即可

解答.

【详解】解：aw0,5#0

••(43(*

bb

a1-^b

—------•----

ba+b

（以十占）（以一）

------------8-•--b--

ba+b

=a-b

a-b=A

原式=ci~b=A•

故选B.

【点睛】本题主要考查了分式的化简与求值，解答时一定要遵循先化简再求值的步骤.

8.如图所示，边长为2的等边△A8C是三棱镜的一个横截面.一束光线ME沿着与43边垂

直的方向射入到8c边上的点。处（点力与8,C不重合），反射光线沿。尸的方向射出去，

DK与BC垂直,且入射光线和反射光线使NMDK=/FE>K.设BE的长为x,△。尸C的面积

为y,则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用X表示出CF、DF,

最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图

像即可得出答案.

【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2.

VME1AB,Z5=60°)

•••是直角三角形，ABED=90°.Z5=60°>Z.BDE=30°>

vBE=x，

BD=2x,CD-2—2x-

又：DK1BC,NMDK=NFDK,

：.ABDE=^CDF=30°.

v4=60°,

•••ZDFC=90°.

斤e是直角三角形,

12-2X

：.CF=-CD=^-^=1-x，

22

cosNCDF==cos30°=——，

DC2

，方=立。（7=@（2-2幻=啰一岳，

22

y=jxDFxCF=1郃-#x）Q-x）,

即—4x+日

则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点(0,

故选：A.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度,

直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的关键.

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9.若总在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>-3

【解析】

【分析】

根据二次根式有意义的条件，二次根号下的数非负的性质，得x+3N0,解不等式即可得

出本题答案.

【详解】解：总在实数范围内有意义

,,x+320

，x>-3

故填：x>-3-

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，即二次根号下的数非负的性质.

10.如图是由射线AB,BC,CD,DE,EF,FA组成的平面图形，则/1+N2+/3+/4+/5+

Z6=_______

【答案】360°

【解析】

【分析】

根据多边形外角和定理：多边形外角和为360°,即可解答本题.

【详解】解：由图可知

VZl,N2、N3、N4、/5、N6是六边形六个内角所对应的六个外角

.,.Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6==360°,

故填：360°.

【点睛】本题主要考查多边形的外角和为360。的性质，准确识图，熟练掌握和灵活运用相

关知识是解题的关键.

11.如图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为1,点A,B,C均在格点上，则S3c

【答案】3

【解析】

【分析】

由网格是正方形网格，正方形网格边长为1,可得三角形的AC的长度为3,而点B到边AC

的距离为2,根据三角形的面积公式即可算出的值.

【详解】解：；每个网格是正方形网格，正方形网格边长为1

AC=3,BD=2

1xBDxAC=—x2x3=3

⑷c22

故填:3.

【点睛】本题主要考查高在三角形外部的钝角三角形的面积计算，找准高线，是解答本题的

关键.

12.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十

一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装

有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋

相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每

枚各种多少两？设黄金重X两，每枚白银重了两，根据题意可列方程组为一.

9x=11y

［处案］1

.(IQy+x)-(8x+y)=13

【解析】

【分析】

根据题意甲袋中装有黄金9枚(每枚黄金重量相同)，乙袋中装有白银11枚(每枚白银重量

相同)，称重两袋相同.故可得9x=l»,再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了

13两，可得(lOy+x)-(8x+y)=13,因此可得二元一次方程组.

【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得9x=lly,

再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得(10y+x)-(8x+_y)=13.

9x=l»

因此《

《Qy+x)-(8x+y)=13

9x=Uy

所以答案为

(10^+x)-(8x4-7)=13

【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题，必

须熟练掌握.

13.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是线段AD的中点，连接AC,BE,交于点O,

若SJ感=1,贝s,Boc=---------------

【答案】4

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质可得AD=BC,AD〃BC,通过证明△AEOs^cBO,利用相似三角形

的性质可求解.

【详解】解：•••四边形ABCD是平行四边形，

AAD=BC,AD〃BC,

・••点E是线段AD的中点，

/.AE=1AD=—BC,

22

・.・AD〃BC,

AAAEO^ACBO,

Sg。［BC)4'

.♦SABOC=4X1=4,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是本题的

关键.

14.如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽

弦图此图案的示意图如图②，其中四边形ABC。和四边形EFGH都是正方形，△A8F、

△BCG、△C£>H、ZXD4E是四个全等的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为.

【答案】10.

【解析】

解：依题意知，BG=AF=DE=8,EF=FG=2,:.BF=BG-BF=6,...直角△ABF中，利用勾股

定理得：4B=返尸2+3>=(忠+6?=10.故答案为10.

点睛：此题考查勾股定理的证明，解题的关键是得到直角AAB厂的两直角边的长度.

15.为了更好的开展线上学习，李老师打算选择一款适合网上授课的软件，他让年级同学在

使用过A、B、C三款软件后进行评分，统计结果如下：

五星四星三星两星一星合计

A52301332100

B49361041100

C35302564100

（说明：学生对于网上授课软件的综合评价从高到低，依次为五星、四星、三星、二星和一

星）.

李老师选择（填“A"、"B”或“C”）款网上授课软件，能更好的开展线上学习（即

评价不低于四星）的可能性最大.

【答案】B

【解析】

【分析】

分别求出三款软件评价不低于四星的比例，然后再进行比较即可得到结论.

【详解】A软件的综合评价不低于四星的比例为：（52+30）700=0.82；

B软件的综合评价不低于四星的比例为：（49+36）*00=0.85；

C软件的综合评价不低于四星的比例为：（35+30）-100=0.65；

0.65<0.82<0.85

故李老师选择B款网上授课软件，能更好的开展线上学习的可能性最大.

故答案为：B.

【点睛】考查了基本概率的计算及比较可能性大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况

数与总情况数之比.

16.如图，是用图象反映储油罐内的油量v与输油管开启时间f的函数关系.观察这个图象，

以下结论正确的有.

①随着输油管开启时间的增加，储油罐内的油量在减少；

②输油管开启10分钟时，储油罐内的油量是80立方米；

③如果储油罐内至少存油40立方米，那么输油管最多可以开启36分钟；

④输油管开启30分钟后，储油罐内的油量只有原油量的一半.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

①根据图象中的信息，可得储油罐内的油量情况；

②根据函数图象的横坐标可得其对应的函数值；

③根据函数图象的纵坐标，可得相应的自变量的值；

④根据函数图象的横坐标可得其对应的函数值.

【详解】由函数图象知，随着输油管开启时间的增加，储油罐内的油量减少，故①说法正确；

由函数图象知，输油管开启10分钟时，储油罐内的油量大于80立方米，故②说法错误；

由函数图象知，如果储油罐内至少存油40m3,那么输油管最多可以开启36分钟，故③说法

正确；

由函数图象知，输油管开启30分钟后，储油罐内的油量只有原油量的一半，故④说法正确.

.•.结论正确的有①③④.

故答案为：①③④.

【点睛】本题考查了函数图象，利用了函数的定义，观察函数图象获取信息是解题关键.

三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6

分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.

17.计算：Vl2+2-1-2cos30o+|^-2|.

【答案】-

2

【解析】

【分析】

分别计算算术平方根，负整数指数塞，余弦函数值，绝对值，再合并即可.

【详解】解：7i2+2-1-2cos30°+|^-2|

=2$+；_2**+（2_布）

=5

-2

【点睛】本题考查的是实数的混合运算，考查算术平方根，负整数指数幕，余弦函数值，绝

对值的运算，掌握以上知识是解题的关键.

-2x>x-3

18.解不等式组+7

---->2x-l

I3

【答案】-3<x<2

【解析】

【分析】

先求出两个不等式的解集，再求其公共解.

【详解】解不等式2xNx-3得：xN-3，

解不等式^—>2x-lW：x<2,

3

...不等式的解集为：一3Vx<2.

【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解.求不

等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到.

19.已知：关于x的一元二次方程x2+（2w+l）x+w2+m=0.

（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；

（2）请选择一个合适的，〃值，写出这个方程并求出此时方程的根.

【答案】（1）见解析；（2）々=0,Xj=-1

【解析】

【分析】

（1）要证明此方程总有两个不相等的实数根，只需证明二次函数的判别式4>0即可.

（2）由（1）知方程的根的个数和m的值无关，所以本着计算简洁的要求m的值可选取0,

把0代人一元二次方程，计算即可.

【详解】解：(1)V❖=b2-4ac=(2m+1)2-4x+wj

❖=4w2+4m+1-4m2-Am=1

，6=1>0

.••一元二次方程总有两个不相等的实数.

(2)令，*=0,

得一元二次方程：x2+x=0

解得一元二次方程的解为：々=0,毛=T.

【点睛】本题主要考查一元二次方程根与判别式的关系及解一元二次方程的知识，熟练掌握

相关知识是解题的关键.

20.在数学课上，老师提出如下问题：

已知：Z«,直线/和/上两点A,B.

求作：RtAABC,使点C在直线/的上方，且NA2C=90。，ZBAC=Za.

B

小刚的做法如下：

①以/a的顶点。为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M,N；以A为圆心，同样长为半

径作弧，交直线/于点P；

②以尸为圆心，MN的长为半径作弧，两弧交于点。，作射线AQ；

③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线/于E,F；

④分别以E,尸为圆心，大于」EF长为半径作弧，两弧在直线/上方交于点G,作射线BG；

2

⑤射线AQ与射线BG交于点C.Rt/XABC即为所求.

M

B

（1）使用直尺和圆规,补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明:

连接PQ

在△OMN和△AQP中,

•/ON=AP,PQ=NM,OM=AQ

：./\OMN丝ZXAQP(）（填写推理依据）

：.ZPAQ=ZOa

"：CE=CF,BE=BF

：.CB±EF(）（填写推理依据）

【答案】（1）见解析；（2）边边边或SSS,三线合一

【解析】

【分析】

（1）根据题目给出的步骤进行尺规作图即可得出答案，其中步骤①②是尺规作一个角等于

已知角，步骤③④是尺规作图作垂线，可得出直角;

（2）根据题目条件，可知在△OMN和△AQP中，对应边相等，则是利用了SSS证明三角

形全等，然后再利用圆规作图可知aCEF是等腰三角形，根据等腰三角形底边三线合一即

可证出CB1.EF.

【详解】（1）作图：如图

（2）（边边边或SSS）：（三线合一）

解：根据步骤①用圆规画图，圆的半径相等，可知ON=AP,OM=AQ,根据步骤②可知

PQ=NM,即直接利用SSS证明△OMN也△AQP全等，即第一个括号答案可写“边边边或

SSS”；

根据步骤③用圆规画图，圆的半径相等，可知8E=BF、，根据步骤④可知CE=CF,即可得出

△CEF是等腰三角形，且底边上B是EF的中点，则可根据等腰三角形底边上三线合一即可

证出CBVEF,则第二个括号答案可写“三线合一”.

【点睛】本题考查了尺规作图一作直角三角形的知识点，熟练掌握作一个角等于已知角和作

垂线的原理及步骤是解题的关键.

21.在平行四边形ABCD中，过点A作AE_LBC于点E,点F在边上，且。F=BE,连接

DE,CF.

（1）求证：四边形4EC尸是矩形；

（2）若。E平分NADC,AB=5,A£>=8,求tan/AQE的值.

【答案】（1）见解析；（2）1

2

【解析】

【分析】

（1）证四边形AECF是平行四边形，再证出NAEC=90。，即可得出结论；

（2）证出NDEC=NCDE,得出CD=CE=5,则BE=BC-CE=3,由勾股定理求出AE=4,再

由三角函数定义即可得出答案.

【详解】解：（1）I.在平行四边形ABC。中

：.AD=BC,AD//BC,

又,：DF=BE,

J.AF^EC

二四边形AECF为平行四边形

ZAEC=90°

.♦•平行四边形AECF为矩形

(2)平分NAQC,

・・・ZADE=ACDE

9：AD//BC

：./ADE=NCED

：.ZCDE=ZCED

:・EC=DC=AB=5

：・BE=3

在RSABE中，AE=y/AB2-BE2=4

•・•在矩形AECF^

：.ZDAE=90°

；.tan/ADE=—=i=l

AD82

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾

股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和平行四边形的判定与性质是

解题的关键.

22.如图，PA,PB是。。的两条切线，42是切点，AC是。。的直径.

(1)若NACB=70。，求N4PB的度数；

(2)连接0P,若AB=8,BC=6,求。P的长.

【答案】(1)ZAPS=40°；(2)—

3

【解析】

【分析】

(1)利用直径所对的圆周角是直角，切线的性质定理证明/以B=/ACB=/PBA,利用三

角形的内角和可得到结论；

(2)连接OP,交于点。，证明NPO4=N4CB,利用等角的三角函数值相等，可得到

结论.

【详解】解：Q)'：PA,尸8是。。的两条切线

J.PAYOA,PA=PB

APBA=APAB,

'：AC为是。。的直径

，ZABC=90°

：.AACB+/BAC=90°

又；/抬B+NBAC=90°

.'.NRW=/ACB=NPBA=70°

，ZAPB=40°

(2)连接OP,交AB于点。

在RtAABC中，

,AC=4AB2+Bd=1°，A°=5

,：PA,PB是。。的两条切线

...PO平分NAP8

又：％=PB,AB=2,

：.BD=AD=4,PO1AB,

：.PO//BC

：.ZPOA^ZACB

BC3

cosZ.POA—cosZACB=-=-

5

cosZPCM=—=-=

PO5~PO

25

：.PO=—

3

P

B

c金，

【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，等角的锐角三角函数，圆周角定

理，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.

23.在平面直角坐标系xOy中，直线/：y^kx+b与双曲线y=—交于点4(1,〃)和点8(—2,

x

—1),点C是x轴的一个动点.

(1)①求m的值和点A的坐标；

②求直线/的表达式；

(2)若AABC的面积等于6,直接写出点C的坐标.

【答案】(1)①根=2,点A坐标为(1,2)；②y=x+l；(2)点C坐标为(3,0)或(一5,0)

【解析】

【分析】

(1)①把B点代入y=-中求出m得到反比例函数解析式为y=2,然后利用反比例函

xx

数解析式确定A点坐标；

②利用待定系数法求直线1的解析式；

(2)直线AB交x轴于D,如图，则D(・l,0),设C(t,0),利用三角形面积公式得到工

2

x|t+l|x2+ix|t+l|xl=6,然后解方程求出t得至I]C点坐标.

2

【详解】(1)①・・♦点3(—2,—1)在双曲线^二一上

x

.•・/〃=2

2

•.•点41,〃)在双曲线丁=一上

X

.•.”=2,点A坐标为(1,2)

②：点41,2)和点B(—2,一1)在直线/：y=kx+b±.

.f-l=-2Jt+6

"'2=k+b

^<=1

解得：<,

6=1

直线/的表达式为：y=x+1

(2)直线AB交x轴于D,如图，则D(-1,0),

设C(t,0),

SAABC=SAACD+SABCD>

LX|t+l|x2+lx|t+l|xl=6,解得t=3或t=-5,

22

，C点坐标为(3,0)或(-5,0).

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐

标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两

者无交点.也考查了三角形面积公式.

24.为深入贯彻落实习近平总书记关于防灾减灾救灾和自然灾害防治等重要论述精神，推动

防震减灾治理体系和治理能力现代化，引导学生学习掌握防震减灾科普知识，区教委开展了

2020年昌平区中小学生防震减灾知识挑战赛.从某所学校中抽取了50名同学的成绩进行分

析，下面给出部分信息：

a.该校抽取的50名学生防震减灾知识挑战赛成绩的频数分布直方图如下(数据分成5组:

50sx<60,60<x<70,70sx<80,80<r<90,90<r<100)：

b.该校抽取的50名学生防震减灾知识挑战赛的成绩在80<r<90这一组的是：

8181828383848484858586868787888989

根据以上信息回答问题：

（1）补全频数分布直方图；

（2）该校抽取的50名学生成绩的中位数是；

（3）若该校共有学生200人，请你估计该校在防震减灾知识挑战赛中获得优秀的有多少

人.（成绩N85视为优秀）

【答案】（1）见解析；（2）83.5；（3）88

【解析】

［分析］

（1）求出第3组的人数，即可补全频数分布直方图；

（2）结合50名学生防震减灾知识挑战赛的成绩在80<x<90这一组的数据，以及中位数的

意义，可以求出中位数；

（3）求出样本中优秀人数所占的百分比，即可估计总体的优秀率，进而求出优秀人数.

【详解】解：⑴50-3-5-13-17=12（人），

补全的频数分布直方图如下：

（2）把50名同学的成绩从小到大排列后处在第25、26位的两个数的平均数为

空—3.5,

2

故答案为：83.5,

9+13

(3)200x^22i=88(人),

50

答：该校200名学生中获得优秀的有88人.

【点睛】考查频数分布直方图、频数分布表的意义，理解中位数的意义、掌握中位数的求法

是正确解答的关键.

25.如图，懑是以。为圆心，A8长为直径的半圆弧，点C是AB上一定点.点F是冠上

一动点，连接以，PC,过点尸作PQ_LAB于。.已知AB=6cm,设A、尸两点间的距离为x

cm,P、C两点间的距离为“cm,P、。两点间的距离为y2cm.

小刚根据学习函数的经验，分别对函数》和”随自变量x变化而变化的规律进行了探究.下

面是小刚的探究过程，请将它补充完整：

（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到?和”与x的几组对应值：

x/cm0123456

yi/ctn4.003.96m3.613.272.772.00

2.602.98

yjcm0.000.991.892.770.00

经测量，机的值是;(保留一位小数)

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,»),点(x,

A),并画出函数yi,”的图象；

(3)结合函数图象，回答问题：△APC为等腰三角形时，AP的长度约为cm.

【答案】(1)3.8；(2)见解析；(3)3.46或4.0

【解析】

【分析】

(1)先在半圆的图上作出FN=x=2,连接P、C,用刻度尺测量出线段PC的长度，即为

m=y/的值；

(2)根据表格中的数据，先描点，再用平滑的曲线连起来即可；

(3)当△APC为等腰三角形时，分情况讨论，则①当PA=PC时，由图像测量得AP=3.46；

②当当PC=PC,即儿=为时，由图像测量得AP=4.00.

【详解】(1)由表格知x=2,先在图上作出取=才=2，连接P、C,两点

经过测量得:/«=3,82,

•・•计算结果要保留一位小数

8

(2)分别根据表中各组数值所对应的点(x,户)，点(x,”)描点，然后用平滑的曲线连结，

作图如下：

(3)①当PA=PC,即芯="时，由图像测量得=3.46

②当PC=PC,即%=了?时，由图像测量得AP=4.00

综上所述，AP的长度为3.46或4.0.

【点睛】本题主要考查构成函数图像的自变量和因变量的关系，用描点法做函数图像，以及

图像与等腰三角形的综合性知识.

2

26.在平面直角坐标系xQy中，抛物线1y=-x+榻x+3与x轴交于点A和点B〈点A在点

B左侧)，

(1)若抛物线的对称轴是直线x=l,求出点A和点8的坐标，并画出此时函数的图象；

(2)当已知点尸(”，2),Qk-m,2m-1).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函

数图象，求"的取值范围.

【答案】(1)点A坐标为(一1,0),点8坐标为(3,0),图像见解析；(2)m<-2或加打

【解析】

【分析】

2

(1)根据抛物线的对称轴是直线x=l可得-------=1,求出m=2,得1y=-x+2x+3，

求出与X