2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学模拟试卷

2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学模拟试卷

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合4={彳€2|犬＜5},8={y|y=2，},贝1140]8=（）

A.（—,5）B.（0,5）C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4）

2.（5分）已知复数z满足z（l+i）=2i（i为虚数单位），贝|z的模为（）

A.y/2B.GC.2D.3

3.（5分）安排4名记者到3家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名

记者，不同的安排方法共有（）

A.16种B.18种C.36种D.81种

4.（5分）半径为血的球。中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的

体积为（）

A.nB.2%C.4乃D.8万

5.（5分）某艺术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，

报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人

数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为（）

A.0.1B.0.15C.0.2D.0.25

6.（5分）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这

个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英

国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的

星等与亮度满足町-=2.5（值刍-/gEJ,其中星等为恤的星的亮度为心（4=1,2）.已知

小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77,且当|x|较小时，

10'B1+2.3X+2.7Y,则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（）

A.1.28B.1.26C.1.24D.1.22

7.（5分）已知直角梯形ABCD,A=9O°,AB//CD,AD=DC=-AB=\,。是8c边上

2

的一点，则,户•户。的取值范围为（）

A.[-1,1]B.[0,2]C.[-2,2]D.[-2,0]

8.（5分）设函数/（X）=H"（X+A/T7X2）,则不等式/（2》）-/（3犬-2）>0的解集为（）

2

A.（--,0）B.（0,2）

99

C.（12）D.（—00,—,+oo）

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（5分）已知圆锥曲线C的一个焦点为尸（0,1）,则。的方程可以为（）

1）

A.y7=4xB.y=­x

4

C.-^―+二=1（0<机<1）D.-^―+-^-=1（0<W<1）

tntnI-mm

10.（5分）已知函数f（x）=Asin（0x+s）（xeR,A>O,0>O,|e|<］）的部分图象如图所示，则

下列说法正确的是（）

A.直线、=手是f（x）图象的一条对称轴

B./（x）图象的对称中心为（-'+版■,（））,kwZ

C./⑶在区间［-工，刍上单调递增

36

D.将的图象向左平移看个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

II.（5分）已知a>0,b>0,则下列结论正确的是（）

A.若a>b,则+63>〃26+必2

B.若a+"=l,则2叫」

2

C.若108“2（）20>1。8〃2020>0,则炭一"<@

b

D.若a>1,贝！cJi+-----..3

a-\

12.（5分）如图，正六棱柱ABCOEF-AgCT/Ek的所有棱长均为1,点〃为对角线A。

上的动点，设过M且与4。垂直的平面截此正六棱柱所得截面为。，则下列说法正确的有（

)

A.b可以为△4?'尸B.b可以为四边形

C.cr可以为五边形D.b的面积最大值为巫

2

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知等差数列{〃〃},4+4=g+3,则S7=.

22

14.（5分）椭圆C:工+与=1（〃＞。＞0）的一个焦点是圆M:（x-3）2+y2=］的圆心，且c的

a-b-

长轴长为10,则该椭圆的离心率等于—.

15.（5分）据气象台监测，在海滨城市A附近的海面有一台风.台风中心位于4东偏南45。

方向、距离城市200百的海面尸处，并以25Am//?的速度向西偏北15。方向移动，则台风

中心一小时后距离城市A最近.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径150切7,台风移动的

方向与速度不变，那么该城市一（填“会”或“不会”）受台风侵袭.

16.（5分）3b准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进

行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属

于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除.对于正态分布的随机误差，落在

±3b之外的概率只有0.27%,它在有限次测量中发生的可能性很小，故存在3b准则.3cr准

则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则.为估计某精密仪器的测量误差，取其"次结果

的平均值得j~N（0,4）＞为误差使J在（-0.3,0.3）的概率不小于0.9973,至少要测量

次.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）在①sinA=\/5sin8；@tanB=-；③一夜cosC（acosB+bcosA）=c这三个条

3

件中任选一个，补充在下列问题中并解答.

问题：在AABC中，角A、3、C所对的边分别是“、b、c,"+「J逑,且_.

becosB3

（1）求tanA；

（2）若AA8C的最大边长为4,求AA8C的面积.

18.（12分）已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且q,+1-S“=2,其中〃GN'.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）在°“与％M之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为d”的等差数列，求数列

[:卜+1项的和好.

19.（12分）2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性

改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展

格局”.为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据

库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如表所示.

消费（千元）(0,4)[4,8)[8,12]

年龄段

年轻180120100

中年7015595

老年50125105

（I）若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；

（2）把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”.根据所给数据,

完成下面的2x2列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关？

低消费高消费合计

年轻人

中老年人

合计

附表及公式：K~=----------be)-------------,其中n=a+/j+c+ii,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pg.k。)0.050.0100.0050.001

3.8416.6357.87910.828

k。

20.（12分）如图，在四面体他8中，ABCZ）为等边三角形，点N分别为棱BD,CD

的中点，且AT）=AM=BM.

(1)证明：ANLBD；

(2)若二面角A-BD-C的大小为一，求二面角A-MN-£>的余弦值.

3

21.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0),动直线/经过C的焦点F,且与。交于A、B

两点.当F为线段43中点时，|AB|=4.

(1)求抛物线方程；

(2)问：在x轴上是否存在点Q(异于点尸)，满足磔="1?若存在，求出点。的坐

\QA\\AF\

标；若不存在，请说明理由.

(12分)设函数

而

(1)求f(x)的极大值点;

(2)若/'(丹)=/(刍)，且占《々，求证：A]+x2<0.

2020-2021学年广东省深圳市高二（下）期末数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1.（5分）已知集合A={XGZ|X<5},3={y|y=2*},则A0]8=（）

A.（-oo,5）B.（0,5）C.{1,2,3,4}D.{0,1,2,3,4）

【分析】利用交集定义直接求解.

【解答】解：•.•集合A={xeZ|x<5},8={），|y=2'}={y|y>0},

AQB={1,2,3,4）.

故选：C.

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

2.（5分）已知复数z满足z（l+i）=2源为虚数单位），则z的模为（）

A.V2B.73C.2D.3

【分析】利用复数模的运算性质求解即可.

【解答】解:因为z（l+i）=2i,

则|z||l+i|=|2i|,即|z|•应=2,

所以|z|=.

故选：A.

【点评】本题考查了复数模的求解，解题的关键是掌握复数模的运算性质，属于基础题.

3.（5分）安排4名记者到3家公司做采访，每位记者去一家公司，每家公司至少安排一名

记者，不同的安排方法共有（）

A.16种B.18种C.36种D.81种

【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4名记者分为3组，②将分好后的三组全排列,

安排到三家公司，由分步计数原理计算可得答案.

【解答】解：根据题意，分2步进行分析：

①将4名记者分为3组，有C：=6种分组方法，

②将分好后的三组全排列，安排到三家公司，有A；=6种安排方法，

则有6x6=36种安排方法，

故选：C.

【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

4.（5分）半径为四的球。中有一内接圆柱，当该圆柱的侧面积取得最大值时，则圆柱的

体积为（）

A.7TB.2万C.4ID.87r

【分析】根据圆柱的底面为球的截面，由球的截面性质得出圆柱的高力、底面半径r与球的

半径R之间的关系，用力和r表示出圆柱的侧面积，利用基本不等式求最值，再计算对应圆

柱的体积.

【解答】解：画出球内接圆柱的轴截面，如图所示：

设圆柱的高为人，底面半径为，侧面积为S,

则（今+产=4，

解得〃=2\lR2—r2.

所以圆柱的侧面积为

-------------------------（r2,R2_„2K2

S=2兀rh=4万r-V/?2一/=4万J/（R?-/-------——=2兀K,

当且仅当产二叱一产时取等号，此时球内接圆柱底面半径为〃=也R=l,高为人=0R=2.

2

圆柱的体积为：V=7rr2h=^-I2-2=2zr.

故选：B.

【点评】本题考查了球与圆柱的组合体应用问题，也考查了利用基本不等式求最值问题，是

中档题.

5.（5分）某艺术机构随机调查了50名学员，其中报名插花艺术或瑜伽的学员共有30名，

报名插花艺术的学员共有15名，报名瑜伽的学员共有25名，报名插花艺术且瑜伽的学员人

数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为（）

A.0.1B.0.15C.0.2D.0.25

【分析】由集合原理先求出报名插花艺术且瑜伽的学员，即可求得答案.

【解答】解：由题意根据集合原理可知，报名插花艺术且瑜伽的学员有15+25-30=10名，

10-50=0.2，

所以报名插花艺术且瑜伽的学员人数与该艺术机构学员的总数比值的估计值为02

故选：C.

【点评】本题考查了用样本数字特征估计总体的数字特征的应用，考查了逻辑推理能力，属

于基础题.

6.（5分）为了衡量星星的明暗程度，公元前二世纪古希腊天文学家喜帕恰斯提出了星等这

个概念.星等的数值越小，星星就越亮.1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英

国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的

星等与亮度满足叫-，巧=2.5四马-，*）,其中星等为外的星的亮度为E*（Z=1,2）.己知

小熊座的“北极星”与大熊座的“玉衡”的星等分别为2.02和1.77,且当|x|较小时，

10'al+2.3x+2.7f,则“玉衡”与“北极星”的亮度之比大约为（）

A.1.28B.1.26C.1.24D.1.22

【分析】把已知数据代入公式计算刍.

£2

E

【解答】解：由题意2.02-1.77=2.5（/gE,-/g骂），可得

E-,

E

—L=1O01~1+2.3X0.1+2.7X0.12=l.257«1.26.

E2

故选：B.

【点评】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力.解题关键是在新环境中抽象出数学知识,

用数学的思想解决问题.

7.（5分）已知直角梯形ABCD,A=90。，AB//CD,AD=DC=-AB=\,P是BC边上

2

的一点，则的取值范围为（）

A.[-1,1JB.[0,2]C.[-2,2JD.[-2,0]

【分析】P在BC上，不妨设B户=则予不=（1-团比（其中喷收1）,把衣•后转

化为关于2的函数求解即可.

【解答】解：因为P在8c上，不妨设8户=48。,

贝I)斥=(1一㈤而(其中啖氏1)

所以福•定=(通+AP)•定

=ABPC+BPPC=(1-A)ABBC+ABCPC

=(1-2)ABBC+2BC(1-2)BC

=(l->l)x2xV2xcos135°+Z(l-2)x(点)2

=-2(1-A)+22(1-2)

=-2Z2+4A-2=-2(2-l)2,

因为噫丸1,所以一2(几一1)2以-2,0],

故选：D.

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化思想，是中档题.

8.(5分)设函数/(x)=x/〃(x+J1+"),则不等式/(2x)—/(3x—2)>0的解集为()

2

A.(--,0)B.(0,2)

22

C.(子2)D.(—00,-2)[J(—,+co)

【分析】先判断函数/(x)为偶函数，然后利用导数判断函数/(X)的单调性，利用奇偶性以

及单调性将不等式等价转化为|2x|>|3x-2|,求解即可.

【解答】解：因为函数/(外=动2。+7?77),

则/(-%)=(一/)[(一x)+Jl+(-x)2]=-xln—j==---=xln(x+\ll+x2)=f(x)，

yjx2+1+x

故函数/(x)为偶函数，

]I2x

当x>0时，f\x)=ln(x+-J\+x2)+x——2,x：+1>0,

x+y/x2+1

所以f(x)在(0,内)上单调递增，

不等式/(2x)-f(3x-2)>0,即f(2x)>不3x-2),

等价于f(|2x|)>f(|3x-2|),

所以|2x|>|3x-2|,解得

所以不等式/（2x）-/（3x-2）>0的解集为（1,2）.

故选：C.

【点评】本题考查了函数性质的综合应用，主要考查了函数奇偶性的判断与应用，函数单调

性的判断与应用，含有绝对值的不等式的解法，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于

中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（5分）已知圆锥曲线C的一个焦点为尸（0,1）,则C的方程可以为（）

A.y2=4xB.y=—x2

-4

x2y2x2y2

C.----2Li（o</n<i）D.-----2Li（o</n<i）

m-\+m=1-m+m=

【分析】由题意可得焦点在y轴上，可得A不正确，将3中的方程写成标准形式可得3正

确，由机的范围，将C中的方程写成标准形式，可得C正确，。中由，〃的范围，如果分母

相等时可得曲线为圆，所以。不正确.

【解答】解：由焦点坐标在y轴，

而A中焦点在x轴上，可得A不正确，

3中标准形式为V=4y,所以可得焦点坐标为（0,1）,所以8正确；

C中，因为机w（0,l）,所以％-1<0,

所以双曲线的标准形式为二--=1,且/=机+1-机=1,所以可得C正确；

m\—m

。中，因为加W（0』），所以当〃2=1-加时，即〃7=1,此时曲线为圆，所以。不正确；

2

故选：BC.

【点评】本题考查圆锥曲线的标准方程的写法及焦点坐标的求法和命题真假的判断，属于基

础题.

10.（5分）已知函数/（x）=45皿〃优+0）（X£凡4>0,3>0,|夕|<5）的部分图象如图所小，则

下列说法正确的是（）

A.直线*=手是f(x)图象的一条对称轴

/(X)图象的对称中心为(-2+而,0),keZ

/(x)在区间［-生,刍上单调递增

D.将/(x)的图象向左平移看个单位长度后，可得到一个奇函数的图象

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出。，由五点法作图求出⑺的值，可

得函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论.

【解答】解：根据函数/(x)=Asin(3x+0)(xeR,A>0,<y>0,|夕的部分图象，

可得A=2,疗…=2.

结合五点法作图，可得2x巳+夕=巳，.•4=工，即/"(x)=2sin(2x+马.

6266

令x若,求得〃x)=-2,为最小值，故直线x=与是/(x)图象的一条对称轴，故A正

确；

令x=-^+k兀,求得/'(x)=。，/(%)图象的对称中心为(-专+左巴0),kcZ,故3正确；

在区间［-工，勺上，2x+-e［--,刍，函数/(外单调递增，故C正确；

36622'

将/(x)的图象向左平移2个单位长度后，可得到y=2sin(2x+至的图象，故。错误，

故选：ABC.

【点评】本题主要考查由函数)，=Asin(s+e)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点

坐标求出A,由周期求出。，由五点法作图求出9的值，正弦函数的图象和性质，属于中

档题.

11.(5分)已知”>0,b>0,则下列结论正确的是()

A.若a>b,则^+川>“25+4加

B.若a+Z/=i,则

2

C.logu2020>log,,2020>0,贝帖"“<@

D.若a>l,贝！J〃+---..3

a-\

【分析】利用作差法判断A,利用二次函数的性质判断区，利用构造函数的单调性判断C,

利用基本不等式判断O.

【解答】解:「.(/+方3)_(屋。+加)=(〃_加2(〃+份>0,..A正确，

2

Ba^b=19。>0,/?>0,.\0</?<1,

CL—b——b—/?4-1G(—1,1),2"一"G(―,2),B错误，

C：由log”2020>10gz,2020>0,则Ivavb,

设函数/(x)=£,广(x)="(.,则f(x)在(1,+oo)单调递增，

XX="J

所以/(a)<f(b),即《•<《，则有;.C正确，

ahb

D-.若a>l,则a+」一=a-l+」一+1..2&+1=3,

a—\a—\

当且仅当a-l=」一，即a=2时取等号，.•.〃+」一..3,二。正确.

a-1a-\

故选：ACD.

【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到不等式的性质、函数单调性，属于中档题.

12.(5分)如图，正六棱柱ABCDEF-A/'CTyEF的所有棱长均为1,点〃为对角线A'。

上的动点，设过〃且与垂直的平面截此正六棱柱所得截面为则下列说法正确的有(

B.cr可以为四边形

D.。的面积最大值为姮

C.。可以为五边形

2

【分析】利用线面垂直的判定定理即可判断选项A,将平面/W'尸'沿直线4。方向平移，分

析变化过程中。的形状，即可判断选项5,C,当截面。为矩形时，其投影面积最大，截

面b的面积最大，求解即可判断选项£>.

【解答】解：•.•四边形A439为正方形,

：.ABA.BA，

连接在正六棱柱ABCQEF-AEC'Q'E'F'中，ZABC=ABCD=120°,

则ZZ)BC=30°,

.-.ZABD=90°,

-.B'BLBD,AB^B'B=B,

.•.8£>_1_平面4如'A,

•.•AB'u平面ABQA，

：.AB!VBD,

■.■BD^\BA'=B,

AB'_L平面A'3£),

.\AD±AB',

.•."。，平面钻尸，

BC

故选项4正确；

由题意可知，截面。与平面45'k平行或重合，亦可视为将平面A?广沿直线4。方向平移,

若将平面河尸向点A平移，则b为三角形；

若将平面AQF'向点。平移，则。的形状变化过程为：等腰三角形f六边形f矩形（四边

形）f六边形f等腰三角形，

故选项B正确，选项C错误；

因为截面o■与底面ABC”户所成的角相等，

欲使截面。的面积最大，只需考虑其在底面ABCDEF的投影面积最大，

故当截面b为矩形时，其投影面积最大，

设B'C'和Ek的中点分别为P,Q,

则矩形3PQF面积为巫，即b的面积最大值为巫，故选项。正确.

22

故选：ABD.

【点评】本题主要考查了空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间

想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知等差数列4+%=出+3,则S.=21.

【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的等差中项，即可求解.

【解答】解：•.・{/}为等差数列,

:.2a,+4d=at+d+3,化简可得，4+34=3,即4=3,

S7=7a4=7x3=21.

故答案为：21.

【点评】本题考查了等差数列的性质，以及等差数列的等差中项，需要学生熟练掌握公式，

属于基础题.

22

14.（5分）椭圆C:「+4=l（a>b>0）的一个焦点是圆M:（x-3）2+y2=i的圆心，且c的

a~h~

长轴长为10,则该椭圆的离心率等于-.

-5-

【分析】由圆M的方程可得圆心M的坐标，由题意可得椭圆中的c的值，再由长轴长可得

。的值，进而求出椭圆的离心率.

【解答】解：由圆M的方程可得圆心例（3,0）,所以由题意可得c=3,

由题意2〃=10,所以a=5,

所以椭圆的离心率e=f=3,

a5

故答案为：

5

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法及由圆的方程可得圆心坐标的方法，属于基础题.

15.（5分）据气象台监测，在海滨城市A附近的海面有一台风.台风中心位于A东偏南45。

方向、距离城市2006初?的海面P处，并以25痴//?的速度向西偏北15。方向移动，则台风

中心12小时后距离城市A最近.如果台风侵袭范围为圆形区域，半径150k",台风移动

的方向与速度不变，那么该城市—（填“会”或“不会”）受台风侵袭.

【分析】由题意画出图形，求解三角形可得台风中心距A最近时，台风中心3距A与尸的

距离，可得台风中心距离城市A最近的时间；进一步判断城市A是否受到台风影响.

【解答】解：如图，

台风中心沿P8由P向8行驶，当台风中心距A最近时，ABLPB,

由题意可知，ZAPB=30°.又AP=200j5h〃，AB=2«)75xsin30°=1m4ilan,

PB=2(X)J5xcos30°=300/7/7,

Qnn

而风速为25初?/,---=12/z.

即台风中心12小时后距离城市A最近;

台风侵袭范围为圆形区域的半径150m，且1006>150,

，该城市不会受到台风侵袭.

故答案为：12；不会.

【点评】本题考查解三角形在实际问题中的应用，考查运算求解能力，是基础题.

16.(5分)3b准则又称为拉依达准则，它是先假设一组检测数据只含有随机误差，对其进

行计算处理得到标准偏差，按一定概率确定一个区间，认为凡超过这个区间的误差，就不属

于随机误差而是粗大误差，含有该误差的数据应予以剔除.对于正态分布的随机误差，落在

±3<r之外的概率只有0.27%,它在有限次测量中发生的可能性很小，故存在3b准则.3b准

则是最常用也是最简单的粗大误差判别准则.为估计某精密仪器的测量误差，取其〃次结果

的平均值得j~N(0，C),为误差使£“在(-0.3,0.3)的概率不小于0.9973,至少要测量10

次.

【分析】利用正态分布的意义以及正态分布曲线的对称性进行分析求解即可.

【解答】解：由题意，正态分布的随机误差落在±3。之外的概率只有0.27%,

所以落在(-3b,3b)的概率为0.9973,

根据正态曲线的对称性，要使误差％在(-0.3,03)的概率不小于0.9973,

则3,,0.3,解得”.」().

故答案为：10.

【点评】本题考查了正态分布曲线的特点以及曲线所表示的意义，解题的关键是利用正态分

布曲线的对称性，属于基础题.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)在①sinA=0sin3；®tanB=—；(3)-^2cosC(acos^+/?cosA)=c

3

件中任选一个，补充在下列问题中并解答.

问题：在A4BC中，角A、3、C所对的边分别是a、b、c,逑,且.

becosB3

(1)求tanA；

(2)若AABC的最大边长为4,求AABC的面积.

【分析】(1)利用余弦定理消去边，得到A、B两角余弦值的关系；联立条件①或②或③、

内角和公式，利用三角恒等变换解出tanA；

(2)利用“大角对大边“得c=4,利用正弦定理得a,6的值，再求面积.

【解答】解：(1)由"+c?-=2feccosA=逑有3cos4=2应cos8(*),则A、B都是

hecosBhecosB3

锐角....(2分)

若选①sinA=&sin3,则sinB=—；又由（*）有cosB=-,

V22V2

由T=cos2B+sin2B=）2+（?口卷）2=­sirrA+—cos2A

2028

又sin?A+cos2A=1且A是锐角，可得sinA=@,cosA=,

55

所以tanA」............（6分）

2

若选②tan3=g,则cos8=^^^,又由（*）有cosA=,

Xsin2A+cos2A=1,RfWsinA=—,所以tanA='.........................（6分）

52

若选③-0cosC（acos8+/;cosA）=c,

由正弦定理有一行cosC（sinAcosB+sin3cosA）=一夜cosCsinC=sinC,

则cosC=-J,则C=135。，

2

由（*）有3cosA=2A/2cosB=2V2cos（l80°-135°-A）=2cosA+2sinA,

故tanA='.........................（6分）

2

（2）由①②③都可得sinA,cosA=2旧，sinB=—cosB=）,sinC=.

5510'1"02

..................（8分）

因为sinAvsinBvsinC,所以a<6<c,所以最长边c=4,

由正弦定理有一L=—L=—J,则。=生叵力=延，...........（10分）

sinAsinBsinC55

所以J\ABC的面积为—«Z?sinC=—x生叵x生叵x—=-...........（12分）

225525

【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识，渗透数形结合、转化与

化归、方程等思想，意在考查学生的逻辑推理，数学运算等核心素养.

18.（12分）已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，且a,加-S,=2,其中

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）在°“与”,用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为的等差数列，求数列

目前〃+1项的和7；用.

【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；

（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法在数列求和中的应用求出数列的和.

【解答】解：⑴（解法一）设等比数列｛a,J的公比为q,已知%-S“=2,

当”..2时，=2,

两式相减可得%-%-（5„-S„_,）=0,

即4+1=，则“=2,

当〃=1时，得%-％=2,

即axq-ax—2,解得%=2,

故等比数列｛勺｝的通项公式为4=2”,〃£N*.

（解法二）设等比数列｛4｝的公比为,，已知为M-S〃=2,

当〃=1时，得生一4=2,即4夕一4=2,

当〃=2时，得生一电=2,即qq?—。闻—4=2,

两式相除可得-2q=0,因为qwO,所以q=2,q=2,

故等比数列｛«„｝的通项公式为q=2",〃wN*.

（2）若在凡与《用之间插入〃个数，使这〃+2个数组成一个公差为d“的等差数列,

则%=%+5+2-D4,，

即为2""一2"=(〃+1)4,,

整理得4=工，所以-1="1,

〃+1clnT

1111

（解法一）北讨=——十—+—+•••+一+---

Zd2d34"”+1

日nr234/74-1n+2

即加=5+声+尹+…+方~+

234n+1n+2

初+尹+>+…+^7r+^r

两式相减,得1加=1+七工一岑二-3-喀

2.12,,+222'田2"+2

1-----

2

故数歹U前〃+1项的和T„+t=3—祟

.11111

（解法二）/“=------1--------p------FH----------1------，

444d〃_\dn

HHF234nn+1

即T=--H——H----+•—I------H-------,

“2122232n-,T

1234n〃+l

/丁kk…十丁才’

22(1nl)

两式相减得：-7；,=1+2-_Zl±l=2-J_-^>

2nj2"+i22"2"+i

1—

2

所以北=3-巴士，

〃2〃

故数列前〃+1项的和心=3-碧

【点评】本题主要考查数列通项与前〃项和5“的关系、等比数列的定义、等比等差数列

的通项公式、错位相减法求和，考察了学生的运算、逻辑推理等核心素养.

19.(12分)2020年5月14日，中国经济“双循环”首次提出——“要深化供给侧结构性

改革，充分发挥中国超大规模市场优势和内需潜力，构建国内国际双循环相互促进的新发展

格局为了解国内不同年龄段的民众服装消费的基本情况，某服装贸易公司从其网站数据

库中随机抽取了1000条客户信息进行分析，这些客户一年的服装消费金额数据如表所示.

消费(千元)10,4)[4,8)[8,12]

年龄段

年轻180120100

中年7015595

老年50125105

(I)若从这1000位客户中随机选一人，请估算该客户的消费期望；

(2)把一年服装消费金额满8千元称为“高消费”，否则称为“低消费”.根据所给数据,

完成下面的2x2列联表，判断能否有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关?

低消费高消费合计

年轻人

中老年人

合计

n(ad-be)2

附表及公式：K2=，其中〃=4+。+C+4•

(Q+b)(c+d)(a+c)(b+d)

Pg.kJ0.050.0100.0050.001

我。3.8416.6357.87910.828

【分析】(1)求出J的可能取值，求出概率，再求解期望即可.

(2)利用已知条件求解联列表，然后求解K?,即可判断结果.

【解答】解：(1)随机选一人，设该客户的消费额为J千元，则J的可能取值为：2,6,10,

优日百*可俎々*3003々八4002，匕以3003

依虺思可得，p(j=2)=----=—，=6)=----=—，=10)=----=—，

10001010005100010

所以该客户的消费期望是：EC)=2xK+6xg+10xQ6千元.

(2)2x2列联表如下：

低消费高消费合计

年轻人300100400

中老年人400200600

合计7003001000

S1000X(300X200-100x400)2_…

K---------------------------»7.937,

400x600x700x300

因为7.937>6.635,所以有99%的把握认为服装消费的高低与年龄有关.

【点评】该题在国内经济“双循环”的大背景下，选取学生熟知的服装消费分析消费者的消

费现状，并以此提供决策依据.本题试图考察随机变量的分布列与数学期望，2x2列联表

以及独立性检验.并以此检验学生的数学抽象、数据分析、数学运算、逻辑推理等数学核心

素养.

20.(12分)如图，在四面体ABCZ)中，ABCD为等边三角形，点N分别为棱8。，CD

的中点，且==

(1)证明：AN±BD；

(2)若二面角A-8£>-C的大小为丝，求二面角A-MN-O的余弦值.

3

【分析】(1)不妨设O为的中点，S.OD=a,则BD=4«,AD=BM=2a,连接AO,

NO,MC,通过AAOI^ABAD,证明AO±BD,MCVBD,推出ON//MC,证明ON工BD,

证明比>_L平面AON,然后证明4V_L3r>.

(2)建立如图所示空间直角坐标系。-孙z,说明N4ON为二面角A-3£>-C的平面角，

求出平面的一个法向量，平面DMN的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面

角A—MV-£>的余弦值即可.

【解答】(1)证明：如图1,不妨设。为的中点，且OE>=a,则8。=4«,AD=BM=2a,

连接AO,NO,MC,•.•点M为棱如的中点，且=8例，

..BAVAD,即/&4。=工，_________..（1分）

2

AD1OD

&ZADO=ZBDA,

~BD2-AD

/./^AOD^ABAD，

ZAOD=ZBAD=-,即AO_LB£>..............（2分）

2

又•.•AfiCD为等边三角形，点M为棱比）的中点，

MC_LBD,（3，分）

•.•点O,N分别为MD,CD的中点，

:.ON//MC,

ON±BD,...