微积分 第7版 课件 第三章 导数的应用

第三章导数的应用第一节微分中值定理第二节洛必达法则第三节函数曲线的切线第四节函数的单调性与极值第五节函数的最值第六节函数曲线的凹向区间与拐点第七节几何与经济方面函数的优化1本章思维导图【引导案例】经济进货批量模型经济进货批量是指能够使一定时期存货的相关总成本达到最低点的进货数量，因此存在一个最佳的进货批量，使成本总和保持最低水平。其基本模型的假设条件是企业不允许缺货，则不存在缺货成本，故：存货相关总成本=相关进货费用+相关存储成本

=年进货次数×每次进货成本+年平均库存量×单位存货年储存成本

若某企业为了实现产品经济进货批量，在假定企业不允许缺货的前提下，设A为存货全年总的进货数量，B为一次进货费用，C为单位存货一年的变动储存成本，Q为每次进货批量，全年平均的存货占用量为Q/2。根据上述经济进货批量模型，请计算出经济进货批量的进货量。第一节

微分中值定理本节学习目标010203能通过微分中值定理理特殊化与一般化的数学思想方法理解拉格朗日定理及推论了解罗尔定理一、微分中值定理微分中值定理是导数应用的理论基础,包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理,核心是拉格朗日定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且两个端点函数值相等即f(a)=f(b),这时会有什么结果?61.罗尔定理引入考察函数曲线y=f(x),连结函数曲线y=f(x)的两个端点A,B得到弦AB,如图7由于函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,从而函数曲线y=f(x)在闭区间[a,b]上不断开由于函数f(x)在开区间(a,b)内可导,从而函数曲线y=f(x)在开区间(a,b)内存在切线且切线不垂直于x轴容易看出:在曲线y=f(x)上至少能找到一点M,使得点M处的切线平行于弦AB,这意味着它们的斜率相等8又由于端点函数值f(a)=f(b),从而函数曲线y=f(x)两个端点A,B的高度相等，即弦AB平行于x轴,说明弦AB的斜率等于零于是函数曲线y=f(x)上点M处的切线斜率等于零,即函数f(x)在点M横坐标ξ处的一阶导数值等于零,于是有下面的定理92.罗尔定理定理3.1(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且端点函数值f(a)=f(b),则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)=0

(a<ξ<b)罗尔定理只是论证了点ξ的存在性,至于ξ值等于多少,须解未知量为ξ的代数方程式f'(ξ)=010考察函数曲线y=f(x),连结函数曲线y=f(x)的两个端点A,B得到弦AB,如图在罗尔定理中,若去掉端点函数值f(a)=f(b)这个条件,会有什么结果?113.拉格朗日定理容易看出:在函数曲线y=f(x)上至少能找到一点M,使得点M处的切线平行于弦AB这意味着它们的斜率相等.又由于弦AB的斜率等于

12即函数f(x)在点M横坐标ξ处的一阶导数值

或者f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)可以应用罗尔定理证明下面的定理.13定理3.2(拉格朗日定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ,使得

或者f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)

(a<ξ<b)

144.拉格朗日定理有两个重要推论:推论1如果函数f(x)在区间I(可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间)上的一阶导数f'(x)恒等于零,则函数f(x)在区间I上恒等于一个常数,即f(x)=c0

(c0为常数)15推论2如果函数f(x)与g(x)在区间I(可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间)上的一阶导数f'(x)与g'(x)恒相等,则函数f(x)与g(x)在区间I上不一定相等,但至多相差一个常数,即f(x)=g(x)+c0

(c0为常数)165.罗尔定理与拉格朗日定理关系罗尔定理与拉格朗日定理的关系为:

罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况,拉格朗日定理是罗尔定理的推广1718本次课程结束第二节

洛必达法则本节学习目标0102能熟练运用洛必达法则计算函数极限掌握洛必达法则的应用条件一、洛必达法则引入

21设函数u(x)=ex-1,v(x)=sinx,注意到函数值u(0)=0,v(0)=0,根据§2.1导数值的定义与§1.7函数连续性的概念,得到极限(分子、分母同除以x)

22

即极限

=1一般地,有下面的洛必达(L'Hospital)法则.23二、洛必达法则1.洛必达法则

24例1

252.洛必达法则举例例2

26例3

27例4

28例5

29例6

=230例7

解:计算极限

=u'(1)v(1)+u(1)v'(1)=1×2+1×(-2)=0031例8当x→0时,无穷小量x-ln(1+x)与x2比较是(

)无穷小量.(a)较高阶(b)较低阶(c)同阶但非等价

(d)等价32

33根据无穷小量阶的定义,说明当x→0时,无穷小量x-ln(1+x)与x2是同阶无穷小量,又由于它们之比值的极限不等于1,因此无穷小量x-ln(1+x)与x2是同阶但非等价无穷小量此题答案为：（c）3435本次课程结束第三节

函数曲线的切线本节学习目标0102能熟练计算函数曲线某点处的切线方程理解导数的几何意义一、函数曲线的切线

根据§2.1给出的导数值的几何意义,若函数f(x)在点x0处可导,即一阶导数值f'(x0)为有限值,则函数曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)处的切线斜率为函数f(x)在切点横坐标x0处的一阶导数值f'(x0),因而得到函数曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)处切线方程的点斜式为y-y0=f'(x0)(x-x0)其中切点纵坐标y0=f(x0),如图38函数曲线的切线特别地,若切线斜率f'(x0)=0,说明切线平行于x轴,则切线方程为y=y0.

39二、求函数曲线切线方程步骤综合上面的讨论,求函数曲线y=f(x)上点M0(x0,y0)处切线方程的步骤如下:步骤1计算一阶导数f'(x),再在一阶导数f'(x)的表达式中,自变量x用切点横坐标x0代入,得到函数f(x)在切点横坐标x0处的一阶导数值f'(x0);步骤2若一阶导数值f'(x0)为有限值,则所求切线斜率为f'(x0),所求切线方程的点斜式为y-y0=f'(x0)(x-x0)当一阶导数值f'(x0)=0时,所求切线方程为y=y0;若一阶导数值f'(x0)=∞,则所求切线方程为x=x0.40例1

解:函数曲线y=f(x)上点M0(x0,f(x0))处的切线斜率为f'(x0),又直线y=3x+5的斜率为3,由于这两条直线平行,因而它们的斜率相等,有f'(x0)=341再根据§2.1导数值的概念,得到极限

=2f'(x0)=2×3=642例2求函数曲线y=e2x+x2上点(0,1)处的切线方程.解:计算一阶导数y'=e2x(2x)'+2x=2e2x+2x于是所求切线斜率为43所以所求切线方程为y-1=2(x-0)即有2x-y+1=0例3已知函数曲线y=xlnx上点M0(x0,y0)处的切线平行于直线y=4x-3,求切点M0的坐标(x0,y0).解:计算函数y=xlnx的一阶导数

=lnx+1于是函数曲线y=xlnx上点M0(x0,y0)处的切线斜率为44又直线y=4x-3的斜率为4,由于这两条直线平行,因而它们的斜率相等,有lnx0+1=4即有lnx0=3得到切点M0的横坐标x0=e3,相应纵坐标y0=e3lne3=3e3,所以所求切点M0的坐标为(e3,3e3)45例4求一条直线与函数曲线y=x4-4x相切,且平行于x轴.解:所求直线为函数曲线y=x4-4x的切线,设切点为点M0(x0,y0).计算函数y=x4-4x的一阶导数y'=4x3-4于是函数曲线y=x4-4x上点M0(x0,y0)处的切线斜率为46由于这条切线平行于x轴,因而它的斜率等于零,有

得到切点M0的横坐标x0=1,相应纵坐标y0=-3,因此切点为(1,-3),所以所求直线方程为y=-34748本次课程结束第四节

函数的单调区间与极值本节学习目标0102能熟练计算可导函数的单调性与极值掌握可导函数单调性判断方法掌握可导函数极值判断方法03一、可导函数单调性1.引入

可导函数f(x)在开区间(a,b)内单调增加,这时函数曲线y=f(x)上任意点(x,y)处切线倾斜角α是锐角,因而切线斜率f'(x)=tanα>051可导函数f(x)在开区间(a,b)内单调减少,这时函数曲线y=f(x)上任意点(x,y)处切线倾斜角β是钝角,因而切线斜率f'(x)=tanβ<0由此可知:可导函数的单调性与一阶导数正负号有着紧密的联系.

522.可导函数单调性判断方法定理3.3已知函数f(x)在开区间J内可导,那么:(1)如果在开区间J内一阶导数f'(x)恒为正,则开区间J为可导函数f(x)的单调增加区间(2)如果在开区间J内一阶导数f'(x)恒为负,则开区间J为可导函数f(x)的单调减少区间533.可导函数的驻点定义3.1若可导函数f(x)在点x0处的一阶导数值f'(x0)=0,则称点x0为可导函数f(x)的驻点.根据这个定义,可导函数f(x)在驻点x0处的一阶导数值f'(x0)=0,意味着函数曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线斜率等于零,说明切线平行于x轴.54可导函数f(x)在开区间(a,b)内有极大值点x1与极小值点x2,这时函数曲线y=f(x)上点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))处的切线平行于x轴,因而极值点x1,x2皆为可导函数的驻点554.可导函数的驻点与极值点关系可导函数的极值点一定在驻点中产生,为了求可导函数的极值点,必须先求出驻点,若无驻点,则无极值点但驻点是否一定为极值点?函数曲线y=f(x)上点(x3,f(x3))处的切线平行于x轴,从而点x3为可导函数f(x)的驻点,它却不为极值点56驻点在什么情况下一定为极值点,又在什么情况下一定不为极值点？容易看出:可导函数f(x)在驻点x1左右与驻点x2左右的单调性有改变,即一阶导数f'(x)在驻点x1左右与驻点x2左右变号,这时驻点x1与x2为极值点;而可导函数f(x)在驻点x3左右的单调性没有改变,即一阶导数f'(x)在驻点x3左右不变号,这时驻点x3不为极值点.由此可知:对于可导函数,极值点一定为驻点,但驻点不一定为极值点,驻点是否为极值点与一阶导数在其左右变号不变号有着紧密的联系.57二、可导函数的极值点判断1.定理3.4已知点x0为可导函数f(x)的驻点,当点x从驻点x0的左方变化到右方时,那么:(1)如果一阶导数f'(x)变号,且从正号(或负号)变化到负号(或正号),则驻点x0为可导函数f(x)的极大值点(或极小值点);(2)如果一阶导数f'(x)不变号,则驻点x0不为可导函数f(x)的极值点.58证:(1)考虑驻点x0左右很小范围内任意点x≠x0,当点x在驻点x0的左方即x0>x时,一阶导数f'(x)恒为正(或恒为负),说明可导函数f(x)单调增加(或单调减少),从而有f(x0)>f(x)

(或f(x0)<f(x))当点x在驻点x0的右方即x>x0时,一阶导数f'(x)恒为负(或恒为正),说明可导函数f(x)单调减少(或单调增加),从而有f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0)),即f(x0)>f(x)

(或f(x0)<f(x))所以函数值f(x0)为极大值(或极小值),即驻点x0为可导函数f(x)的极大值点(或极小值点).59(2)在驻点x0左右很小范围内一阶导数f'(x)不变号,即恒为正(或恒为负),说明可导函数f(x)单调增加(或单调减少),可导函数f(x)在驻点x0处当然连续因而函数值f(x0)大于左方函数值且小于右方函数值(或小于左方函数值且大于右方函数值),所以函数值f(x0)不为极值,即驻点x0不为可导函数f(x)的极值点.602.求可导函数单调区间与极值点步骤综合上面的讨论,求可导函数f(x)的单调区间与极值的步骤如下:步骤1确定可导函数f(x)的定义域D;步骤2计算一阶导数f'(x);步骤3在定义域D内,若一阶导数f'(x)恒非负(或恒非正),则可导函数f(x)的单调增加区间(或单调减少区间)为定义域D,这时当然无极值.否则令一阶导数f'(x)=0,求出可导函数f(x)的全部驻点,并转入步骤4;61步骤4可导函数f(x)的全部驻点将定义域D分成几个开区间,列表判断在这几个开区间内一阶导数f'(x)的正负号,于是确定可导函数f(x)的单调区间、极值点,计算极值点处的函数值即为极值.单调增加用记号↗表示,单调减少用记号↘表示.62例1若函数f(x)在点x0处及其左右可导,且函数值f(x0)为极大值,则函数曲线y=f(x)上点M0(x0,f(x0))处的切线方程为

.

解:由于函数f(x)在点x0处及其左右可导,且函数值f(x0)为极大值,即点x0为可导函数f(x)的极大值点,从而点x0为函数f(x)的驻点,当然一阶导数值f'(x0)=0这说明函数曲线y=f(x)上点M0(x0,f(x0))处的切线斜率为零,即切线平行于x轴,因而所求切线方程为y=f(x0)y=f(x0)63例2求函数f(x)=x-sinx的单调区间与极值.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数f'(x)=1-cosx≥0说明在定义域D=(-∞,+∞)内一阶导数f'(x)恒非负,所以函数f(x)=x-sinx的单调增加区间为定义域D=(-∞,+∞);无极值.64例3求函数f(x)=x2-4x+5的单调区间与极值.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数f'(x)=2x-4令一阶导数f'(x)=0,得到驻点x=2.驻点x=2将定义域D=(-∞,+∞)分成两个开区间:(-∞,2)与(2,+∞),注意到在这两个开区间内一阶导数f'(x)是连续的,且不等于零65根据§1.7连续函数性质3,对于其中每一个开区间内所有点x,一阶导数f‘(x)同号.在开区间(-∞,2)内任取一点,不妨取点x=0,计算一阶导数值f’(0)=-4<0,从而在此开区间内一阶导数f‘(x)恒为负，说明函数f(x)在此开区间内单调减少再在开区间(2,+∞)内任取一点,不妨取点x=3,计算一阶导数值f'(3)=2>0,从而在此开区间内一阶导数f'(x)恒为正,说明函数f(x)在此开区间内单调增加.当点x从驻点x=2的左方变化到右方时,由于一阶导数f'(x)变号,且从负号变化到正号,因而驻点x=2为函数f(x)的极小值点,极小值为f(2)=1.66x(-∞,2)2(2,+∞)f'(x)-0+f(x)↘极小值1↗上面这些分析列表如表所以函数f(x)=x2-4x+5的单调减少区间为(-∞,2),单调增加区间为(2,+∞);极小值为f(2)=1.67例4求函数f(x)=x2e-x的单调区间与极值.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x令一阶导数f'(x)=0,注意到指数函数e-x恒大于零,得到驻点x=0与x=2.列表如表68x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值0↗极大值4e-2↘所以函数f(x)=x2e-x的单调减少区间为(-∞,0),(2,+∞),单调增加区间为(0,2);极小值为f(0)=0,极大值为f(2)=4e-2.69例5求函数f(x)=4x3-x4的单调区间与极值.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数f'(x)=12x2-4x3=4x2(3-x)令一阶导数f'(x)=0,得到驻点x=0与x=3.列表如表70x(-∞,0)0(0,3)3(3,+∞)f'(x)+0+0-f(x)↗非极值↗极大值27↘所以函数f(x)=4x3-x4的单调增加区间为(-∞,3),单调减少区间为(3,+∞);极大值为f(3)=27.71注意:由于在驻点x=0左右一阶导数f'(x)不变号,因而驻点x=0不为极值点,这时应把单调增加区间(-∞,0)与(0,3)合并为一个区间(-∞,3).需要说明的是:极值是局部性的概念,它只是与极值点左右很小范围内对应的函数值比较而得到的,因此同一个函数的极大值有可能小于极小值.72利用函数的单调性,可以证明给定条件下含变量x的不等式.做法是:令不等式左端减右端为函数f(x),计算一阶导数f'(x),在给定条件下,判别一阶导数f'(x)的正负号,确定函数f(x)的单调性,再根据函数单调性的定义,得到所证不等式.73例6证明:当x>0时,恒有不等式ln(x+1)<x证:考虑函数f(x)=ln(x+1)-x计算一阶导数

74说明当x>0时,函数f(x)单调减少,因而自变量取值为x对应的函数值f(x)小于自变量取值为0对应的函数值f(0),即有f(x)<f(0)=0,得到ln(x+1)-x<0所以当x>0时,恒有不等式ln(x+1)<x7576本次课程结束第五节

函数的最值本节学习目标0102能熟练计算可导函数的最值掌握可导函数极值的另一种判断方法掌握可导函数最值的判断方法03一、求可导函数极值另一种方法1.定理3.5已知点x0为可导函数f(x)的驻点,且二阶导数f″(x)在驻点x0处及其左右连续,那么:(1)如果二阶导数值f″(x0)<0,则驻点x0为可导函数f(x)的极大值点(2)如果二阶导数值f″(x0)>0,则驻点x0为可导函数f(x)的极小值点79证:考虑驻点x0处及其左右很小范围内任意点x,由于二阶导数f″(x)连续,若二阶导数值f″(x0)≠0,根据§1.7连续函数性质3,则二阶导数f″(x)与二阶导数值f″(x0)同号.(1)由于二阶导数值f″(x0)<0,从而二阶导数f″(x)<0,说明一阶导数f'(x)单调减少.这意味着当点x从驻点x0的左方变化到右方时,一阶导数f'(x)逐渐减小,注意到可导函数f(x)在驻点x0处的一阶导数值f'(x0)=0,因而这时一阶导数f'(x)变号,且从正号变化到负号,根据§3.3定理3.2,所以驻点x0为可导函数f(x)的极大值点;80(2)由于二阶导数值f″(x0)>0,从而二阶导数f″(x)>0,说明一阶导数f'(x)单调增加这意味着当点x从驻点x0的左方变化到右方时,一阶导数f'(x)逐渐增大,注意到可导函数f(x)在驻点x0处的一阶导数值f'(x0)=0,因而这时一阶导数f'(x)变号,且从负号变化到正号,根据§3.3定理3.2,所以驻点x0为可导函数f(x)的极小值点.81例1求函数f(x)=x2e-x的极值.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数f'(x)=2xe-x+x2e-x(-x)'=2xe-x-x2e-x=(2x-x2)e-x82令一阶导数f'(x)=0,注意到指数函数e-x恒大于零,得到驻点x=0与x=2.再计算二阶导数f″(x)=(2-2x)e-x+(2x-x2)e-x(-x)'=(2-2x)e-x-(2x-x2)e-x=(2-4x+x2)e-x得到在驻点x=0处的二阶导数值f″(0)=2>083根据定理3.5,于是驻点x=0为极小值点;又得到在驻点x=2处的二阶导数值f″(2)=-2e-2<0根据定理3.5,于是驻点x=2为极大值点.所以函数f(x)=x2e-x的极小值为f(0)=0,极大值为f(2)=4e-2.这个结果与§3.4例5得到的结果是相同的.842.函数的最值点与极值点函数的最值点与极值点是不同的概念,不可混淆.极值点只能是给定区间内部的点,不能是给定区间的端点;而最值点可以是给定区间内部的点,也可以是给定区间的端点.一般情况下,最值点不一定是极值点,极值点也不一定是最值点,但在一定条件下,它们又有着紧密的联系.85可导函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点x0,且为极大值点,这时函数曲线y=f(x)上点M0(x0,f(x0))左右很小范围内的曲线段当然向下延伸,又由于可导函数f(x)没有极小值,从而函数曲线y=f(x)不可能再向上延伸,只能继续向下延伸,因而唯一极大值f(x0)也为可导函数f(x)在开区间(a,b)内的最大值,即唯一极大值点x0也为可导函数f(x)在开区间(a,b)内的最大值点.86可导函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点x0,且为极小值点,这时函数曲线y=f(x)上点M0(x0,f(x0))左右很小范围内的曲线段当然向上延伸,又由于可导函数f(x)没有极大值,从而函数曲线y=f(x)不可能再向下延伸,只能继续向上延伸。因而唯一极小值f(x0)也为可导函数f(x)在开区间(a,b)内的最小值,即唯一极小值点x0也为可导函数f(x)在开区间(a,b)内的最小值点.87二、函数的最值点判定综合上面的讨论,得到下面的定理.1.定理3.6已知可导函数f(x)在区间I(可以是开区间,也可以是闭区间或半开区间)内只有一个极值点x0,那么:(1)如果点x0为极大值点,则唯一极大值点x0也为可导函数f(x)在区间I上的最大值点(2)如果点x0为极小值点,则唯一极小值点x0也为可导函数f(x)在区间I上的最小值点882.求函数的最值点步骤开区间内的可导函数不一定存在最大值或最小值,但若满足定理3.4的条件,则开区间内的可导函数存在最大值或最小值.在这种情况下,求可导函数f(x)在定义域内的最值的步骤如下:步骤1确定可导函数f(x)的定义域D;步骤2计算一阶导数f'(x);89步骤3令一阶导数f'(x)=0,得到唯一驻点x0;步骤4计算二阶导数f″(x),判断二阶导数值f″(x0)的正负号,确定唯一驻点x0为唯一极大值点还是唯一极小值点,进而得到它为最大值点还是最小值点,计算最值点x0处的函数值f(x0)即为最值.90例2求函数f(x)=x2-8x+7在定义域内的最值.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数f'(x)=2x-8令一阶导数f'(x)=0,得到唯一驻点x=4.再计算二阶导数f″(x)=2它是常数.91当然,在唯一驻点x=4处也不例外,有二阶导数值f″(4)=2>0根据定理3.5,于是唯一驻点x=4为唯一极小值点,再根据定理3.6,这个唯一极小值点x=4也为最小值点.所以函数f(x)=x2-8x+7在定义域D=(-∞,+∞)内有最小值,最小值为f(4)=-9.92例3求函数f(x)=(1-x)ex在定义域内的最值.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数f'(x)=-ex+(1-x)ex=-xex令一阶导数f'(x)=0,注意到指数函数ex恒大于零,得到唯一驻点x=0.93再计算二阶导数f″(x)=-(ex+xex)=-(1+x)ex得到在唯一驻点x=0处的二阶导数值f″(0)=-1<0于是唯一驻点x=0为唯一极大值点,也为最大值点.所以函数f(x)=(1-x)ex在定义域D=(-∞,+∞)内有最大值,最大值为f(0)=1.94闭区间上的可导函数当然连续,根据§1.7连续函数性质1,它一定存在最大值与最小值.如何求出这个最大值与最小值?由于这个最大值与最小值一定在相应开区间内的极值点或两个端点处取得,又可导函数的极值点一定在驻点中产生,因而所求最大值与最小值一定在相应开区间内的驻点或两个端点处取得.95三、可导函数的最大值与最小值综合上面的讨论,求可导函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:步骤1计算一阶导数f'(x),并令一阶导数f'(x)=0,求出可导函数f(x)在开区间(a,b)内的所有驻点;步骤2计算可导函数f(x)在这些驻点处的函数值,同时计算可导函数f(x)在两个端点处的函数值f(a),f(b);96特别地,若可导函数f(x)在开区间(a,b)内单调,则可导函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值分别在两个端点处取得.步骤3比较上述计算得到的函数值大小,其中最大者为所求最大值,最小者为所求最小值.97例4求函数f(x)=x4-8x2+3在闭区间[-1,3]上的最大值与最小值.解:计算一阶导数f'(x)=4x3-16x=4x(x2-4)令一阶导数f'(x)=0,得到驻点x=-2,x=0及x=2,容易看出驻点x=0与x=2在开区间(-1,3)内,而驻点x=-2不在开区间(-1,3)内98再计算函数f(x)在驻点x=0,x=2及两个端点x=-1,x=3处的函数值f(0)=3f(2)=-13f(-1)=-4f(3)=12比较这些函数值的大小,得到最大者为f(3)=12,最小者为f(2)=-13.所以函数f(x)=x4-8x2+3在闭区间[-1,3]上的最大值为f(3)=12,最小值为f(2)=-13.99100本次课程结束第六节

函数曲线的凹向区间与拐点本节学习目标0102能熟练计算函数曲线的凹向区间与拐点掌握函数曲线上凹、下凹的定义掌握函数曲线凹向的判断方法031.函数曲线与其切线的位置关系在讨论可导函数的单调区间与极值的基础上,往往还要讨论函数曲线的弯曲情况,即讨论函数曲线与其切线在位置上的关系.103一、函数曲线的凹向区间函数曲线y=f(x)在开区间(a,c)内向上弯曲,这时曲线弧AC位于其上任意一点处切线的上方函数曲线y=f(x)在开区间(c,b)内向下弯曲,这时曲线弧CB位于其上任意一点处切线的下方而函数曲线y=f(x)上点C(c,f(c))是曲线y=f(x)弯曲方向改变的分界点.1042.函数曲线的凹向区间定义3.2已知函数f(x)在开区间J内可导,若函数曲线y=f(x)在开区间J内位于其上任意一点处切线的上方,则称函数曲线y=f(x)在开区间J内上凹,开区间J为函数曲线y=f(x)的上凹区间若函数曲线y=f(x)在开区间J内位于其上任意一点处切线的下方,则称函数曲线y=f(x)在开区间J内下凹,开区间J为函数曲线y=f(x)的下凹区间经过深入的讨论可知:函数曲线的凹向与函数的二阶导数正负号有着紧密的联系.105二、函数曲线的凹向判定方法1.定理3.7已知函数f(x)在开区间J内二阶可导,那么:(1)如果在开区间J内二阶导数f″(x)恒为正,则开区间J为函数曲线y=f(x)的上凹区间(2)如果在开区间J内二阶导数f″(x)恒为负,则开区间J为函数曲线y=f(x)的下凹区间1062.推论如果在开区间J内二阶导数f″(x)恒非负(或恒非正),且使得二阶导数f″(x)=0的点x只是一些孤立的点,则开区间J为函数曲线y=f(x)的上凹区间(或下凹区间).107三、函数曲线的拐点1.定义3.3在函数曲线y=f(x)上,凹向改变的分界点称为函数曲线y=f(x)的拐点.对于二阶可导函数f(x),函数曲线y=f(x)在其拐点(x0,f(x0))左右的凹向改变,即在拐点横坐标x0左右二阶导数f″(x)变号,因而二阶导数值f″(x0)=0,说明拐点横坐标x0一定是二阶导数f″(x)=0的根但在二阶导数f″(x)=0的根左右,若二阶导数f″(x)不变号,意味着函数曲线y=f(x)在对应点左右的凹向不改变,则这个二阶导数f″(x)=0的根不是拐点横坐标.1082.函数曲线的拐点与二阶导数由此可知:对于二阶可导函数,函数曲线拐点横坐标一定为二阶导数等于零的根,但二阶导数等于零的根不一定为函数曲线拐点横坐标,二阶导数等于零的根是否为函数曲线拐点横坐标与二阶导数在其左右变号不变号有着紧密的联系.1093.定理3.8已知函数f(x)二阶可导,点x0为二阶导数f″(x)=0的根,那么:(1)如果在点x0左右二阶导数f″(x)变号,则点(x0,f(x0))为函数曲线y=f(x)的拐点;(2)如果在点x0左右二阶导数f″(x)不变号,则点(x0,f(x0))不为函数曲线y=f(x)的拐点.1104.求函数曲线的凹向区间与拐点步骤在函数f(x)二阶可导时,求函数曲线y=f(x)的凹向区间与拐点的步骤如下:步骤1确定二阶可导函数f(x)的定义域D;步骤2计算一阶导数f'(x)、二阶导数f″(x);步骤3在定义域D内,若二阶导数f″(x)恒非负(或恒非正),则函数曲线y=f(x)的上凹区间(或下凹区间)为定义域D,这时当然无拐点.否则令二阶导数f″(x)=0,求出全部根,并转入步骤4;111步骤4二阶导数f″(x)=0的全部根将定义域D分成几个开区间,列表判断在这几个开区间内二阶导数f″(x)的正负号,于是确定函数曲线y=f(x)的凹向区间、拐点横坐标,计算拐点横坐标处的函数值即为拐点纵坐标.上凹用记号∪表示,下凹用记号∩表示.112例1求函数曲线y=x+lnx的凹向区间与拐点.解:函数定义域D=(0,+∞),

计算一阶导数、二阶导数

说明在定义域D=(0,+∞)内二阶导数y″恒为负,所以函数曲线y=x+lnx的下凹区间为定义域D=(0,+∞);无拐点.113例2求函数曲线y=6x2-x3的凹向区间与拐点.解:函数定义域D=(-∞,+∞),

计算一阶导数、二阶导数y'=12x-3x2y″=12-6x令二阶导数y″=0,得到根x=2.列表如表114x(-∞,2)2(2,+∞)y″+0-y=f(x)∪拐点(2,16)∩所以函数曲线y=6x2-x3的上凹区间为(-∞,2),下凹区间为(2,+∞);拐点为(2,16).115例3求函数曲线y=(x2-2)ex的凹向区间与拐点.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数、二阶导数y'=2xex+(x2-2)ex=(x2+2x-2)exy″=(2x+2)ex+(x2+2x-2)ex=(x2+4x)ex令二阶导数y″=0,得到根x=-4与x=0.列表如表116x(-∞,-4)-4(-4,0)0(0,+∞)y″+0-0+y=f(x)∪拐点(-4,14e-4)∩拐点(0,-2)∪所以函数曲线y=(x2-2)ex的上凹区间为(-∞,-4),(0,+∞),下凹区间为(-4,0);拐点为(-4,14e-4),(0,-2).117例4求函数y=x3-3x2+1的单调区间与极值及函数曲线的凹向区间与拐点.解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数y'=3x2-6x令一阶导数y'=0,得到驻点x=0与x=2.列表如表118x(-∞,0)0(0,2)2(2,+∞)y'+0-0+y↗极大值1↘极小值-3↗计算二阶导数y″=6x-6令二阶导数y″=0,得到根x=1.列表如表119x(-∞,1)1(1,+∞)y″-0+y=f(x)∩拐点(1,-1)∪所以函数y=x3-3x2+1的单调增加区间为(-∞,0),(2,+∞),单调减少区间为(0,2);极大值为y|x=0=1，极小值为y|x=2=3函数曲线y=x3-3x2+1的下凹区间为(-∞,1),上凹区间为(1,+∞);拐点为(1,-1).120例5

解:函数定义域D=(-∞,+∞),计算一阶导数

令一阶导数y'=0,得到驻点x=0.列表如表121x(-∞,0)0(0,+∞)y'+0-y↗极大值1↘计算二阶导数

122令二阶导数y″=0,得到根x=-1与x=1.列表如表x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)y″+0-0+y=f(x)∪∩∪123

极大值为y|x=0=1

124125本次课程结束第七节

几何与经济方面函数的优化本节学习目标0102能熟练求出几何与经济方面函数的最优解了解几何与经济方面函数的优化的类型掌握几何与经济方面函数优化的计算步骤03一、几何与经济方面函数的优化求函数的最值点也称为函数的优化,求最值点的函数称为目标函数,目标函数的最值点称为最优解,目标函数的最值称为最优值.1.几何与经济方面函数的优化的类型有两种:类型1求使得消耗为最小的最优解类型2求使得效益为最大的最优解.1282.几何与经济方面函数优化的求解步骤如下:步骤1根据实际问题的具体情况,确定自变量与因变量,建立它们之间的函数关系即目标函数关系式;步骤2求目标函数的极值点,往往也为最值点,即得最优解.129例1

一块正方形纸板的边长为a,将其四角各截去一个大小相同的边长为x的小正方形,再将四边折起做成一个无盖方盒,问所截小正方形边长x为多少时,才能使得无盖方盒容积V最大?130解:已设所截小正方形边长为x,从而无盖方盒底边长为a-2x,如图自变量为所截小正方形边长x,因变量为无盖方盒容积V.由于盒底面积为(a-2x)2,盒高为x,于是无盖方盒容积即目标函数为V=V(x)=x(a-2x)2

131

计算一阶导数