微积分 第7版 课件 后续内容（上）-二元微分学

后续内容（上）

二元函数微分学一、二元函数的一阶偏导数二、二元函数的二阶偏导数三、二元函数的全微分四、二元函数的极值1本章思维导图引导案例

元，问两种型号的钢笔的产量各为多少时，企业利润最大？分析：此题讨论两种型号的笔的产量为多少时，利润最大，属二元函数的最优化问题，应先根据问题建立二元函数关系，再考虑二元函数求极值问题．

4一

二元函数的一阶偏导数本节学习目标010203掌握二元函数一阶偏导数的计算规则理解二元函数一阶偏导数定义了解二元函数的概念能熟练计算二元函数一阶偏导数04一、二元函数已知变量x,y及z,当变量x,y相互毫无联系地在某个二元有序实数数组的非空集合D内任取一组数值时,若变量z符合对应规则f的取值恒为唯一确定的实数值与之对应,则称对应规则f表示变量z为x,y的二元函数,记作z=f(x,y)61.二元函数定义其中变量x,y称为自变量,自变量x,y的取值范围D称为二元函数定义域二元函数z也称为因变量,二元函数z的取值范围称为二元函数值域,记作G对应规则f也称为对应关系或函数关系72.二元函数的表达式二元函数表达式主要有两种:一种是z=f(x,y),称为二元显函数另一种是由方程式F(x,y,z)=0确定变量z为x,y的二元函数,称为二元隐函数83.二元函数的极限已知二元函数f(x,y)在点(x0,y0)附近有定义,当点(x,y)无限接近于点(x0,y0)即(x,y)→(x0,y0)时若二元函数f(x,y)无限接近于常数A,则称当(x,y)→(x0,y0)时二元函数f(x,y)的极限为A,记作

94.二元函数的连续性已知二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处及其附近有定义,若有关系式

则称二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处连续.105.二元连续函数若二元函数f(x,y)在区域E上每一点处都连续,则称二元函数f(x,y)在区域E上连续,并称二元函数f(x,y)为区域E上的二元连续函数对于二元函数,若同时考虑两个自变量都在变化,则它的变化比较复杂,不便于讨论,于是分别讨论只有一个自变量变化而引起的二元函数变化情况11二、二元函数的一阶偏导数1.定义后.1已知二元函数z=f(x,y),若自变量x变化而自变量y不变化,这时所给二元函数化为自变量为x的一元函数,其对自变量x的一阶导数称为二元函数z=f(x,y)对自变量x的一阶偏导数,记作

12若自变量y变化而自变量x不变化,这时所给二元函数化为自变量为y的一元函数,其对自变量y的一阶导数称为二元函数z=f(x,y)对自变量y的一阶偏导数,记作

132.二元函数的一阶偏导数计算方法由此可知:求二元函数z=f(x,y)对自变量x的一阶偏导数时,把自变量y暂时看作常量,对自变量x求导数求二元函数z=f(x,y)对自变量y的一阶偏导数时,把自变量x暂时看作常量,对自变量y求导数显然,只需运用一元函数导数基本运算法则、导数基本公式及复合函数导数运算法则,就可以得到结果14例1求二元函数z=xy的一阶偏导数.解:求二元函数z对自变量x的一阶偏导数时,把自变量y暂时看作常量,于是z'x=(xy)'x=y(x)'x=y求二元函数z对自变量y的一阶偏导数时,把自变量x暂时看作常量,于是z'y=(xy)'y=x(y)'y=x15例2求二元函数z=x3+3x2y-y3的一阶偏导数解:z'x=3x2+6xyz'y=3x2-3y216例3求二元函数z=xy的一阶偏导数解:求二元函数z对自变量x的一阶偏导数时,把自变量y暂时看作常量,因而二元函数z=xy化为自变量为x的一元函数,它属于幂函数,于是z'x=yxy-1求二元函数z对自变量y的一阶偏导数时,把自变量x暂时看作常量,因而二元函数z=xy

化为自变量为y的一元函数,它属于指数函数于是z'y=xylnx17例4

根据一元复合函数导数运算法则,于是

18例5求二元函数z=e3x+2y的一阶偏导数解:z'x=e3x+2y(3x+2y)'x=3e3x+2yz'y=e3x+2y(3x+2y)'y=2e3x+2y19例6求二元函数z=esinxcosy的一阶偏导数解:z'x=esinx(sinx)'xcosy=esinxcosxcosyz'y=-esinxsiny203.求一阶偏导数值若求二元函数z=f(x,y)在定义域上点(x0,y0)处的一阶偏导数值f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)则首先求出一阶偏导数fx'(x,y),fy'(x,y)然后在一阶偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)的表达式中,自变量x,y分别用数x0,y0代入所得到的数值就是所求一阶偏导数值,f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)21例7

解:计算一阶偏导数

在一阶偏导数f'x(x,y)的表达式中,自变量x用数1代入、自变量y用数2代入,得到所求一阶偏导数值

224.求二元隐函数的一阶偏导数最后考虑二元隐函数的一阶偏导数.已知方程式F(x,y,z)=0确定变量z为x,y的二元函数z=z(x,y)如何求二元函数z对自变量x,y的一阶偏导数z'x,z'y?23二元函数与一元函数的情形类似,具体作法是:方程式F(x,y,z)=0等号两端皆对自变量x或y求一阶偏导数,然后将含一阶偏导数z'x或z'y的项都移到等号的左端,而将不含一阶偏导数z'x或z'y的项都移到等号的右端经过代数恒等变形,就得到一阶偏导数z'x或z'y的表达式,这个表达式中允许出现二元函数z的记号在二元隐函数一阶偏导数运算过程中,要注意应用一元复合函数导数运算法则.24例8

解:方程式xsinz=y-z等号两端皆对自变量y求一阶偏导数,有

即有

25得到

因而一阶偏导数

26本次课程结束27二

二元函数的二阶偏导数本节学习目标010203掌握二元函数二阶偏导数的计算规则理解二元函数二阶偏导数定义能熟练计算二元函数二阶偏导数一、二元函数的二阶偏导数二元函数的一阶偏导数仍为自变量的二元函数,还可以考虑它们对自变量求一阶偏导数1.定义后.2二元函数z=f(x,y)的一阶偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)再分别对自变量x,y求一阶偏导数,所得到的偏导数称为二元函数z=f(x,y)的二阶偏导数,共有四个,分别记作29二元函数的二阶偏导数

302.二元函数的二阶偏导数计算方法已知二元函数,若求其二阶偏导数,必须先求出一阶偏导数,一阶偏导数表达式再对自变量求一阶偏导数,就得到二阶偏导数.31例1求二元函数z=x3y2-5xy4的二阶偏导数解:计算一阶偏导数z'x=3x2y2-5y4z'y=2x3y-20xy3所以二阶偏导数32z″xx=(3x2y2-5y4)'x=6xy2z″xy=(3x2y2-5y4)'y=6x2y-20y3z″yx=(2x3y-20xy3)'x=6x2y-20y3z″yy=(2x3y-20xy3)'y=2x3-60xy2例2

解:计算一阶偏导数

所以二阶偏导数33

在例1与例2中都有关系式:z″xy=z″yx,这反映出在某种条件下计算二阶偏导数的一种规律经过深入的讨论可以得到结论:如果二阶偏导数z″xy与z″yx都连续,则有关系式z″xy=z″yx下面所讨论的二元函数都满足这个结论的条件,因此只需计算三个二阶偏导数.34例3求二元函数z=ex-y的二阶偏导数解:计算一阶偏导数z'x=ex-y(x-y)'x=ex-yz'y=ex-y(x-y)'y=-ex-y所以二阶偏导数35

例4求二元函数z=ysinex的二阶偏导数解:计算一阶偏导数z'x=ycosex·(ex)'x=yexcosexz'y=sinex所以二阶偏导数36

=yex(cosex-exsinex)z″xy=z″yx=excosexz″yy=0二元函数在定义域内点(x0,y0)处的二阶偏导数值为二阶偏导数的表达式中自变量x,y分别用数x0,y0代入所得到的数值.37例5

(a)-2 (b)2(c)-1 (d)138解:计算一阶偏导数

再计算二阶偏导数

于是得到二阶偏导数值

此题答案为：(a)3940本次课程结束41三

二元函数的全微分本节学习目标010203掌握二元可微函数的全微分表达式了解二元函数的全微分定义能熟练计算二元函数的全微分一、二元函数的全微分1.定义后.3已知二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处及其附近有定义,且两个一阶偏导数值f'x(x0,y0),f'y(x0,y0)皆存在自变量x,y在点(x0,y0)处分别有了改变量Δx,Δy(Δx,Δy不同时为零),相应二元函数改变量为Δz

43并称自变量改变量Δx,Δy的正比例函数的和

f'x(x0,y0)Δx+f'y(x0,y0)Δy

为二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分值,记作

442.二元函数的全微分与改变量Δz关系

自然提出问题:在什么条件下,二元函数一定可微?453.二元函数可微定理如果二元函数z=f(x,y)的两个一阶偏导数f'x(x,y),f'y(x,y)皆在点(x0,y0)处连续,则二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.定理后.1464.二元可微函数若二元函数z=f(x,y)在区域E(可以是开区域,也可以是闭区域或半开区域)上每一点(x,y)处都可微,则称二元函数z=f(x,y)在区域E上可微并称二元函数z=f(x,y)为区域E上的二元可微函数二元可微函数z=f(x,y)在区域E上任意点(x,y)处的全微分值称为二元可微函数z=f(x,y)的全微分,记作dz=f'x(x,y)Δx+f'y(x,y)Δy47根据§2.7给出的结论:自变量微分等于自变量改变量,因此对于自变量x,y,有dx=Δx,dy=Δy于是得到二元可微函数z=f(x,y)的全微分表达式为dz=f'x(x,y)dx+f'y(x,y)dy48二、求二元函数全微分方法求二元可微函数的全微分并不需要新的方法：应该先求出二元可微函数的两个一阶偏导数,再将这两个一阶偏导数分别乘以相应自变量的微分,然后相加,就得到二元可微函数的全微分49例1求二元函数z=ln(x3+y3)的全微分解:计算一阶偏导数

50所以全微分

51例2求二元函数z=sinxy2的全微分解:计算一阶偏导数z'x=cosxy2·(xy2)'x=y2cosxy2z'y=cosxy2·(xy2)'y=2xycosxy52所以全微分dz=y2cosxy2dx+2xycosxy2dy=ycosxy2·(ydx+2xdy)53例3方程式z2-2yez=x2确定变量z为x,y的二元函数,求全微分dz解:方程式z2-2yez=x2等号两端皆对自变量x求一阶偏导数,有2zz'x-2yezz'x=2x即有(z-yez)z'x=x得到一阶偏导数

54方程式z2-2yez=x2等号两端皆对自变量y求一阶偏导数,有2zz'y-2(ez+yezz'y)=0即有(z-yez)z'y=ez得到一阶偏导数

55所以全微分

二元可微函数在定义域内点(x0,y0)处的全微分值为全微分的表达式中自变量x,y分别用数x0,y0代入所得到的数值.56例4二元函数z=xey的全微分dz=(

).(a)ey(dx+ydy) (b)ey(dx+xdy)(c)ey(ydx+dy) (d)ey(xdx+dy)解:计算一阶偏导数z'x=eyz'y=xey因而全微分dz=eydx+xeydy

b5758本次课程结束59四

二元函数的极值本节学习目标010203掌握二元函数极值的判定定理理解二元函数的极值定义能熟练计算二元函数的极值一、二元函数的极值

已知二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处及其附近有定义,对于点(x0,y0)附近很小范围内任意点(x,y)≠(x0,y0),若恒有f(x0,y0)>f(x,y),则称二元函数值f(x0,y0)为二元函数f(x,y)的极大值,点(x0,y0)为二元函数f(x,y)的极大值点若恒有f(x0,y0)<f(x,y),则称二元函数值f(x0,y0)为二元函数f(x,y)的极小值,点(x0,y0)为二元函数f(x,y)的极小值点极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.611.定义2.二元函数的驻点若二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处的一阶偏导数值fx'(x0,y0)=0,且fy'(x0,y0)=0,则称点(x0,y0)为二元函数f(x,y)的驻点.定义后.4623.二元函数的驻点与极值点关系驻点在什么情况下一定是极值点,又在什么情况下一定不是极值点?经过深入的讨论可以得到结论:对于二元可微函数,极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点63定理后.2已知点(x0,y0)为二元可微函数f(x,y)的驻点,且二阶偏导数f″xx(x,y),f″xy(x,y),f″yy(x,y)皆在驻点(x0,y0)处及其附近连续,引进记号A=f″xx(x0,y0),B=f″xy(x0,y0),C=f″yy(x0,y0),那么:(1)如果关系式B2-AC<0且有A<0,则驻点(x0,y0)为二元可微函数f(x,y)的极大值点;64(2)如果关系式B2-AC<0且有A>0,则驻点(x0,y0)为二元可微函数f(x,y)的极小值点;(3)如果关系式B2-AC>0,则驻点(x0,y0)不是二元可微函数f(x,y)的极值点.二、求二元函数极值的步骤综合上面的讨论,求二元可微函数f(x,y)的极值的步骤如下:步骤1确定二元函数f(x,y)的定义域D;步骤2计算一阶偏导数f'x(x,y),f'y(x,y);步骤3令一阶偏导数f'x(x,y)=0,且f'y(x,y)=0,若此方程组无解,则二元函数f(x,y)无驻点,当然无极值.否则求出二元函数f(x,y)的全部驻点,并转入步骤4;65步骤4计算二阶偏导数f″xx(x,y),f″xy(x,y),f″yy(x,y),得到在驻点处的二阶偏导数值A,B,C,根据定理6.2判断驻点是否为极值点,计算极值点处的二元函数值即为极值.66例1二元函数f(x,y)=3x+2y-xy-6的驻点为点

解:二元函数定义域为整个xy平面,计算一阶偏导数f'x(x,y)=3-yf'y(x,y)=2-x令一阶偏导数

67即有方程组

解此方程组,得到根为

因而二元函数f(x,y)=3x+2y-xy-6的驻点为点(2,3)68例2求二元函数f(x,y)=4(x-y)-x2-y2的极值解:二元函数定义域D为整个xy平面,计算一阶偏导数f'x(x,y)=4-2xf'y(x,y)=-4-2y令一阶偏导数

得到驻点(2,-2).69再计算二阶偏导数f″xx(x,y)=-2f″xy(x,y)=0f″yy(x,y)=-2它们都是常数70当然,在驻点(2,-2)处也不例外,有二阶偏导数值A=f″xx(2,-2)=-2B=f″xy(2,-2)=0C=f″yy(2,-2)=-2由于关系式B2-AC=02-(-2)×(-2)=-4<0且有A=-2<0根据定理后.2,所以驻点(2,-2)为极大值点,极大值为