2022届河南省名校联盟高三5月大联考数学（文）试题（解析版）

2022届河南省名校联盟高三5月大联考数学(文)试题

一、单选题

1.已知集合力={M-2<x<3},集合3=则集合()

A.(2,3)B.(-2,2)C.(-2,+a>)D.(9,3)

【答案】D

【分析】化简集合&由并集运算求解.

【详解】由已知可得8={xlx<2},故AuB={x|x<3}.

故选：D

2.已知复数z=(4+i)(l-i),则z的共朝复数为()

A.5+3iB.5-3iC.3-5iD.3+5i

【答案】A

【分析】先利用复数的乘法化简，再求其共辗复数.

【详解］因为z=(4+"(l_i)=5_3i,

所以I=5+3i.

故选：A

3.设等差数列{4}的前〃项和为S,，若％+%=10,贝1竺9=()

A.22.5B.45C.67.5D.90

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质及求和公式进行求解.

【详解】由等差数列的性质可得：«,+«,,=a,+«7=10,则与=但*)巳9=45.

故选：B

4.设a=log36,/?=log25,c=0.88,则()

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

【答案】C

［分析］根据对数函数和指数函数的性质比较大小

【详解】因为y=log3X在(0,+8)上递增，且3<6<9,

所以10833<1。836<1。839,得1<1幅6<2,即

因为y=log?X在(0,+00)上递增，5>4,

所以Iog25>log24=2,即b>2,

因为y=0.8、在R上为减函数，且8>0,

所以0co.81*<0.8°=1,即0<c<l,

所以/?>a>c.

故选：C

5.如图所示的是国家统计局官网发布的2021年3月到2022年3月全国居民消费价格

的涨跌幅情况.

①所有月份的同比增长率都是正数;

②环比增长率为正数的月份比为负数的月份多;

③9月到10月的同比增长率的增幅等于10月到11月的同比增长率的增幅;

④同比增长率的极差为0.9.

其中正确说法的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据折线图进行数据的分析即可得到正确的答案.

【详解】①显然是正确的；

②环比增长率为正数的有6个月，为负数的有5个月，故②正确；

③9月到10月的同比增长率的增幅为1.597=0.8,10月到11月的同比增长率增幅为

2.3-1.5=0.8,所以同比增长率相等，③的说法是正确的；

④同比增长率的极差为2.3-0.4=1.9,所以④的说法是错误的.

故选：C

x-2y-4,,0,

6.设毛丁满足约束条件2x—y+4..O,贝！Jz=%-y的最大值为(）

y-4,,0,

A.8B.6C.4D.-4

【答案】A

【分析】画出可行域和目标函数，利用几何意义求出最大值.

最大值为8.

故选：A

7.函数/（力=4工的图象大致为（

)

【分析】由奇偶性判断A选项，再利用函数值的正负排除BD选项.

【详解】由题意知“X）的定义域为何心如5｝,

因为/（一彳）=东m=一4苧;=—“X），所以“X）为奇函数，排除A.

当0<x<0.5时，/（%）<0,当x>0.5时，/（x）>0,排除B,D.

故选：C.

8.在等比数列｛%｝中，若々佝=8,则logM+log2%+log2a3+…+1鸣曲）=（）

A.5B.10C.15D.20

【答案】C

【分析】根据等比中项的性质即可求解.

【详解】因为4生=8,所以4a2a3…即>=8,=2",

所以log?%+log2a2+log,+•••+log2al0=log2ala2<J3•­•<?!（）=15；

故选：C.

9.函数/（x）=4sin（@x+“A>0M>0，MW）的部分图象如图所示，则〃x）图象的

【答案】c

【分析】根据图象求出函数解析式，再由正弦型函数的对称中心求解即可.

【详解】由图可知4=a,7=兀，则0=2,所以f(x)=&sin(2x+e).

由2*^|+9=与+2也(02),陷＜],得夕=三，所以〃x)="；in(2x+£|.

令2犬+工=far,%eZ,x=--+—,keZ,

362

2兀

当&=7时，x=~—

3v°-

故选：C

10.在长方体ABC。-AqGA中，48=2蝴=24£>,££&”分别是棱4。6。,8。,

AA的中点，则异面直线£F与GH所成角的余弦值是（）

【答案】A

【分析】连接EG,取EG的中点。，连接A0,C0,AG，即可得到EFHOCX,GH//OA,,

NAOC是异面直线E尸与G，所成的角（或补角），再利用余弦定理计算可得;

【详解】解：如图，连接EG,取EG的中点。，连接A。，G。，AG.

在长方体ABCO-ABC。中，

因为EO〃0c且EO=g℃,FC\HDC旦FC\=^DC,

所以尸G〃E。且=E。，所以四边形0EF£是平行四边形,

同理可得四边形。GH4,平行四边形，所以E尸〃0G，GH//0A，

故NAQG是异面直线所与GH所成的角(或补角).

设AD=2,则AG=2>/5，O\=0cl=3,

M+cc'ACj=9+9-20=_i_

故cos/AOC[=--

2\OOCX2x3x39

即异面直线£尸与G”所成角的余弦值为"

y

故选：A

11.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的

对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已

知抛物线E：y2=2px(0<p<4),一条平行于x轴的光线从点A(8,2p)射出，经过抛物

线E上的点B反射后，与抛物线E交于点C,若AABC的面积是10,则。=()

3

A.!B.1C.-D.2

22

【答案】D

【分析】根据A8〃x轴知B点纵坐标为2p,代入抛物线方程可求B点横坐标，利用8

和尸求出直线BC的方程，代入抛物线方程消去y可得根与系数关系，根据抛物线焦点

弦长公式可求BC长度，利用点到直线距离公式可求4到直线BC的距离比根据

•忸5"=1°即可求出。・

【详解】由题知抛物线焦点为尸(5，。｝AB〃x轴，

将y=2p代入y2=2px得x=2p,则B为(2p,2〃)，

由题可知8、F、C三点共线，BC方程为：>二言1卜一£)，即>=

代入抛物线方程消去y得，8/-17px+2P2=0,

设方程两根为％、々，则再+七=?，贝1］忸。=%,+七+°=半+夕=当0，

OOO

又A(8,2p)到BC：4x-3y-2p=0的距离为：”=匡二字切=必萨，

•••由以.=10得。忸C|・"=10n学p・上亚=20np=2.

285

故选：D.

12.已知函数〃x)=Je若,且/(m)=/(〃)，则〃-机的最大值是()

x+l,x<0,

A.In2B.1C.2D.In3

【答案】B

e"—lx0

【分析】作出函数〃x)=「图象，设/»=〃〃)=%，建立"〃，关于左的函

x+l,x<0,

数，利用导数判断单调性，求最值即可.

fe，—1Y0

【详解】作出/(6=「一:图象，如图，

Ix+l,x<0,

设/(加)=机+1=攵，则〃2=2-1,由/(〃)=e〃-1=2,得〃=ln化+1),

所以〃_〃z=In(2+1)_(Z7).

设g(4)=ln(Z+l)一伏-则/(4)=-告<0,

所以g(k)在［0,1)上单调递减，则g(Z)a=g(0)=l.

故选：B

二、填空题

13.已知向量2=(-4,3)3=(1,⑼，若(£+2母则团=.

【答案】-2或或-2

【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.

【详解】•・•〃=(一4,3),5=(1,〃。，

->一

/.a+2b=(-2,3+2m)»

,/(a+2b)JLb,

:.(a+2b)-b=-2+m(3+2m)=0>解得帆=-2或机=万.

故答案为：-2或

14.已知双曲线C*-，=l(a>0,6>0)的一条渐近线方程为2x+3y=0,则双曲线C的

离心率为.

【答案】半加

【分析】由渐近线方程求出2=],从而求出离心率.

a3

【详解】因为C的一条渐近线方程为2x+3y=0,所以2=],

a3

所以C的离心率6=

故答案为：姮

3

15.在△ABC中，已知AC=4,8C=3,48=5,若△ABC内部有一只小虫，则该小中离

△ABC顶点的距离小于1的概率为.

7T1

【答案】丘1r

【分析】根据题意作出图形，求出面积，利用几何概型求解即可.

【详解】mAC2+BC2=AB2,所以AC_L8C,AA8C的面积为6.

在AABC中任取一点尸(小虫)，则点尸到AABC的顶点AB,C的距离小于1的部分，构

成一个以1为半径的半圆，其面积之和为如图，

2

由几何概型，可得该小虫离“ABC顶点的距离小于1的概率为5.兀vI_兀.

62612

故答案为：々

12

16.在正四棱锥尸-ABC£＞中，AB=4,PA=2y/6,则平面PA8截四棱锥P-ABC。外接

球的截面面积是.

【答案】等

【分析】先作出辅助线，求出外接球半径，求出球心到截面的距离，从而得到截面圆的

半径，求出截面的面积.

【详解】如图，作•平面ABCZ),垂足为。'，则。'是正方形ABCD外接圆的圆心,

从而正四棱锥P-ABC。外接球的球心。在尸。'上，

取棱A5的中点E,连接O'D,O'E,OD,PE,作。”_LPE,垂足为

由题中数据可得O'。=2夜,OE=2,PE=2行,O'P=4,

设四棱锥P-A8CO外接球的半径为R,

则R2=O'D2+OCT=OP'=(O'尸一O'。》，

即R2=8+002=(4-00/，

解得R=3.

由题意易证40PHsAEPO,

PHOP

贝lj=,

OPPE

故PH=­.

5

故所求截面圆的面积是兀

三、解答题

17.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且

sin2B+sin2C=(sinA+2sin3sinC)sinA.

⑴求角A；

(2)若a=J万，b=3,求△ABC的面积.

【答案】（1）£

4

⑵6

【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理对已知式子化简可求出角A;

（2）利用余弦定理求出％从而可求出三角形的面积

【详解】（1）因为sin?B+sin2C=（sinA+2sinBsinC）sinA,

所以Z?2+<?=a2+2/?csinA,

所以2/?ccosA=2/?csinA,

因为"CHO,

所以tanA=1.

因为AE(OZ),

所以A=

4

(2)因为〃=JF7,b=3,4=f,

所以由余弦定理〃=匕2+/-2bccosAf

可得17=9+c2—6cx与即/一3缶一8=0，

解得c=4&或c=-V5(舍去)，

故4A3C的面积为kcsinA='x3x40x^^=6.

222

18.相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机

都不需要了，毕竟手机支付还需要携带手机，打开"扫一扫'’也需要手机信号和时间，从

而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取

100名顾客进行调查，得到了如下列联表：

男性女性总计

刷脸支付2570

非刷脸支付10

总计100

（1）请将上面的列联表补充完整，并分别估计男性、女性在该超市消费后使用刷脸支付的

概率；

（2）判断是否有99%的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关.

2

叱2n(ad-be)一,

附：K=S+4c+d)g+c)(Hd)，其中〃i+b+c+小

0.1000.0500.0250.010().(X)1

k02.7063.8415.0246.63510.828

【答案】（1）表格见解析，A9，5

⑵有.

【分析】（1）由题意完善2x2列联表，根据古典概型计算概率即可;

（2）计算K、与临界值比较可得出结论.

【详解】（1）（1）列联表补充为：

男性女性总计

刷脸支付452570

非刷脸支付102030

总计5545100

男性在该超市消费后使用刷脸支付的概率约为45言=A9,

女性在该超市消费后使用刷脸支付的概率、.约为4251=53

459

⑵由列联表可得K-=l0°x(45x20-25x10)2'&.29>6,635,

所以有99%的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关.

19.如图，在三棱柱ABC-AgG中，A4,_L平面ABC,AB=BC=AC,AAi=2A8,D是BC

的中点.

(1)证明：AB〃平面ACQ.

(2)若AB=2,求三棱锥A-的体积.

【答案】(1)证明见解析

【分析】⑴连接4C交4G于O,连接。。，易知。。是"BC的中位线，得到

利用线面平行的判定定理证明；

(2)根据\B〃平面AC,D,由%际=VB_ADCi=^Ct-ABD求解.

【详解】(1)证明：如图，

连接AC交AC|于O,连接。。,

因为。是AC的中点，。是BC的中点，

所以。。是AA/C的中位线，

所以OO〃A2

因为A8U平面

所以A18//平面AG。.

(2)因为AB//平面AC2,

所以三棱锥A-ADG的体积与三棱锥B-4DG的体积相等.

因为三棱锥B-ADC,与三棱锥C,-ABD是同一个三棱锥.

S.AB=BC=AC=2,AAt=4,

所以三棱锥A-ADG的体积为1X,X1XGX4=2叵.

323

20.已知函数/(可=•成+力

⑴求“X)的最小值；

⑵若/(x)...-x2+(〃?+l)x-2恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】⑴/(X)min=-4

e

⑵SR

【分析】(1)求出函数的导数，利用导数求函数在定义域上的最值即可；

79

(2)由原不等式恒成立分离参数后得，%,lnx+x+：,构造函数〃(x)=lnx+x+：,利用

导数求最小值即可.

【详解】⑴由已知得尸(x)=lnx+2,

令广(x)=0,得x*.

当xe(0$)时，尸(x)<0"(x)在(0/)上单调递减；

当xeJ,+8)时，/'(x)..0J(x)在+8)上单调递增.

故f(X)min=/(!]=__T-

⑵/(x).・・一x2+(m+l)x—2,即tnXy,xlrvc+x2+2,

2

因为x＞0,所以lnx+x+最在（0,«»）上恒成立.

令〃（X）=lnx+X+Z,则么，〃'（X）='+1_+2）'」），

令〃'（x）=（）,得x=l或工=一2（舍去）.

当。«0,1）时,"（%）v（U（x）在（0,1）上单调递减;

当X£[1,+8）时，〃'（X）..0,〃（X）在[1,+00）上单调递增.

故必冷nin=%（l）=3,所以m,3,即实数加的取值范围为（F,3].

21.已知椭圆C:[■+r•=l（a＞人＞0）的离心率为字P（2,l）为椭圆C上一点.

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）若过点Q（2,0）且斜率为％的直线/与椭圆C相交于AB两点,记直线AP,BP的斜率分

别为匕,网,试问占+%-2%是否是定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

22

【答案】⑴工+E=1

82

⑵勺+&-2A为定值-1

【分析】（1）根据离心率与椭圆过的点，列出方程组，待定系数法求解椭圆方程；（2）

设出直线方程，求出两根之和，两根之积，表达出仁,白，计算匕+与-2&,得到定值.

【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c,

41,

—r+-y=1

aba2-8

则a2=b2+c2解得6=2

cy/3c2=6

故椭圆C的方程为《+片=1.

82

（2）由题意可知直线/的斜率存在，设直线/：y=Hx-2）,A（X“J,5（毛,%）.

《+上=1

联立82-'整理得（4公+1卜2-16人+16%2-8=0,,

y=k（x-2）,

16k216公-8

则西+x

2=赤1'—=左丁

/\.y.—1.y,—1

因为P（2,l）,所以勺=3&=之

]

则k]+k「2k=

X]-2%2-2Xj—•2%2-2%|一29—2

『4

X,+々-445+1

百/一2（玉+x）+416公-832k2

2+4

4k?+14k12+1

故仁+内-2无为定值-1.

X二百cos/

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为L（。为参数）.直线/经

y=2+V5sin6^

TT

过点P(a,0),且倾斜角为

(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线/的一个参数方程;

(2)若直线/与曲线C相交于AB两点，且|PA|-|PB|=2,求实数。的值.

1

X=Q+T,

2

【答案】(1)/+(丫-2)2=5,■厂(，为数);

也

⑵a=—73.

【分析】(1)利用sin24+cos2g=l消参可得曲线C的直角坐标方程，由直线的参数方

程可得直线/的参数方程:

(2)利用直线参数方程代入f+(),一2尸=5中，由参数的几何意义求出|以中|尸3|,解

方程即可.

x=逐cose,

【详解】(1)由曲线C的参数方程为r（。为参数）消参可得:

y=2+V5sin0

曲线C的直角坐标方程为f+(y-2y=5.

TT