新教材2023版高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课课件北师大版选择性必修第一册

第三章

章末复习课一、空间向量的概念及运算空间向量可以看作是平面向量的推广，有许多概念和运算与平面向量是相同的，如模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量等概念，加减法的三角形法则和平行四边形法则，数乘运算与向量共线的判断、数量积运算、夹角公式、求模公式等．例1

(1)[多选题]下列命题中不正确的是(

)A．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反B．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同C．零向量是没有方向的D．有向线段就是向量，向量是有向线段答案：(1)ACD

解析：(1)A中，当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，A不正确；B中，两个有共同起点，而且相等的向量，其终点必相同，B正确；C中，零向量也是向量，故也有方向，只是方向不确定，C不正确；D中，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故D不正确．故选ACD.

二、利用空间向量证明线、面的位置关系用空间向量判断空间中线、面位置关系的类型与方法总结：(1)线线平行：证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．(2)线线垂直：证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直．(3)线面平行：用向量证明线面平行的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量．(4)线面垂直：用向量证明线面垂直的方法主要有：①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．(5)面面平行：①证明两个平面的法向量平行(即共线向量)；②转化为线面平行、线线平行问题．(6)面面垂直：①证明两个平面的法向量互相垂直；②转化为线面垂直、线线垂直问题．

例4

长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝6，AA1＝4，M是A1C1的中点，P在线段BC上，且|CP|＝2，Q是DD1的中点，求：(1)M到直线PQ的距离；(2)M到平面AB1P的距离．

跟踪训练4

如图所示，在四棱锥P­ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝3，BC＝2，E是PB上一点，且BE＝2EP，求点E到直线PD的距离．

五、利用空间向量解决探索性问题(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解或是否有规定范围内的解”等．(2)对于位置探索型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．角度1与线、面位置关系有关的探索性问题例5

在四棱锥P­ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．(1)求证：BM∥平面PAD；(2)平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置；若不存在，请说明理由．

(2)取AD的中点O，连接PO，CO，因为PA＝PD，所以PO⊥AD.因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.如图，建立空间直角坐标系O­xyz，由题意得，A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(2，0，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)．

解析：(1)证明设A1C交AC1于点F，则F为A1C的中点，连接DF.因为D为BC的中点，所以在