2021年河北省高考数学真题试卷及答案

2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型()填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AB4,5x2x4AB（1.设集合，）22,33,44D.A.B.C.zziz2i2.（）6D.4A.6B.4C.3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（A.2B.22C.4D.42）6fx7sinx4.下列区间中，函数单调递增的区间是（）π22,π,,2A.B.C.D.22x2y2F1F2是椭圆C1的两个焦点，点M在C1上，则的最大值为（25.A.13，：）94B.12C.9D.6sin1sin2sincostan2（6.若）622565Aa,b可以作曲线yD.55ex的两条切线，则（7.若过点）A.ebaB.D.eabC.0aeb0bea8.有6234561事件“第一次取出的球的数字是“第二次取出的球的数字是2”“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立C.乙与丙相互独立B.甲与丁相互独立D.丙与丁相互独立二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.x1x2xy1y，，，其中2y9.有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，nnyxci,nc(为非零常数，则（）iiA.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同P,PA0),sin，310.OP,，，12）OPOPAP1APA.C.B.D.12231212311.已知点Px5216上，点A0、B2，则（2y5）A.点P到直线的距离小于B.点P到直线的距离大于232C.当PBA最小时，32D.当PBA最大时，AA11P1ABC，12.在正三棱柱，其中111，则（）1△1PA.当B.当C.当D.当的周长为定值1时，三棱锥P1的体积为定值1AP时，有且仅有一个点P，使得121AB1P时，有且仅有一个点P，使得12三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数3x2xa是偶函数，则______.fxxa214.O为坐标原点，抛物线C：y2(p0)的焦点为，为Cx轴垂直，Q与2F上一点，PFPxPQOPC6为轴上一点，且的准线方程为的最小值为______.______.fx2x12lnx15.16.两种规格的图形，它们的面积之和的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，1240dm2，，三种规格的图形，它们的，对折2次共可以得到S180dm22n4次共可以得到不同规格图形的种数为______面积之和nSk______dm2.k1四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.n,a.n17.已知数列a11aa，n1nbanb1，b的通项公式；bn1，写出，并求数列2n22）求20项和.an18.某学校组织“一带一路”AB从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；2）为使累计得分期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.19.记ABC是内角A，B，CaC.的对边分别为a，b，c.b2acD1）证明：b；2.2AABD的中点，，O为20.如图，在三棱锥中，平面.1）证明：；2是边长为1EAD2EBCD的大小为，求三棱锥A的体积.F17,0F217,02M.的轨迹为C21.在平面直角坐标系1C的方程；中，已知点、1121xTQ两条直线分别交于AB两点和P，，2T在直线C2PQ求直线的斜率与直线的斜率之和.x1xfx22.已知函数.1）讨论的单调性；fx11a，bb，证明：.2e2为两个不相等的正数，且baabaab2021年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型()填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AB4,5x2x4AB（1.设集合，）22,33,44D.A.B.C.【答案】B【解析】AB【分析】利用交集的定义可求.AB2,3，【详解】由题设有故选：B.zziz2i2.（）6D.4A.6【答案】C【解析】B.4C.【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.zzi2i2i6iz2i【详解】因为z2i故选：3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2224D.42【答案】B【解析】【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得的值，即为所求.lll2，解得l22.【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则l2故选：6fx7sinx4.下列区间中，函数单调递增的区间是（）π22,π,,2A.D.22【答案】A【解析】2kx2kkZ，利用赋值法可得出结论.【分析】解不等式【详解】因为函数2622ysinx2k,2kkZ，的单调递增区间为2fx7sinx对于函数kZ，2kx2k62622kx2kkZ，3333的一个单调递增区间为，k0fx,取，可得函数33,,,则，，A选项满足条件，B不满足条件；2332k1，可得函数fx的一个单调递增区间为,取，33,233233,,,,2,且，选项均不满足条件.233故选：A.【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yAφ形式，再求的单调区间，只需把xyAφysinx看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把5.A.13化为正数．x2y2FF2是椭圆C1的两个焦点，点M在C1上，则的最大值为（2，：）194B.12C.9D.6【答案】C【解析】a6【分析】本题通过利用椭圆定义得到，借助基本不等式12212即可得到答案．122ab4a6，1222【详解】由题，229（当且仅当3211212故选：C．【点睛】本题关键在于正确理解能够想到求最值的方法，即通过基本不等式放缩得到．sin1sin2sincostan2（6.若）622565A.B.C.D.55【答案】C【解析】tan2【分析】将式子进行齐次化处理，代入【详解】将式子进行齐次化处理得：即可得到结果．sin222sinsin12sinsinsinsinsintan2422．sin221tan2145故选：C．【点睛】易错点睛：本题如果利用过齐次化处理，可以避开了这一讨论．tan2sin,cos的值，可能还需要分象限讨论其正负，通，求出a,b可以作曲线yex的两条切线，则（7.若过点）A.ebaB.D.eabC.0aeb0bea【答案】D【解析】【分析】根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果yexPte,tyexye，x【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得extyettx1te，tyexyet所以，曲线P处的切线方程为由题意可知，点a,b在直线tyex1tettb1teta1tet上，可得，tftate.tfta1te令当taft00ft，此时函数单调递增，ft，此时函数单调递减，当ta所以，ftfaea，ftyb与曲线的图象有两个交点，则bfteyfta，由题意可知，直线ft的图象如下图所示：当ta1ft0ta1ft0，作出函数yb与曲线yft的图象有两个交点.由图可知，当0bea时，直线故选：D.【点睛】数形结合是解决数学问题常用且有效的方法8.有6234561事件“第一次取出的球的数字是“第二次取出的球的数字是2”“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件两次取出的球的数字之和是7”，则（）A.甲与丙相互独立C.乙与丙相互独立【答案】BB.甲与丁相互独立D.丙与丁相互独立【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断11561P)，P)，P)，P)，，【详解】66363661P)0P)P，P)P)P，361P)P)P，P)0P)P，36故选：B,BP()P(B)P(AB)是否成立【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断二､选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.x1x2xy1yy9.有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中n2nyxci,nc(为非零常数，则（）iiA.两组样本数据的样本平均数相同B.两组样本数据的样本中位数相同C.两组样本数据的样本标准差相同D.两组样数据的样本极差相同【答案】CD【解析】E(y)E(x)c、D(y)D(x)AC利用两组数据的线性关系有极差的定义，结合已知线性关系可判断、D的正误.【详解】A：E(y)E(xc)E(x)c且c0，故平均数不相同，错误；xyxc，显然不相同，错误；ii：若第一组中位数为，则第二组的中位数为i：(y)(x)c)(x)，故方差相同，正确；xD：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为yy(c)(c)，故极差相同，正确；故选：P,PA0),sin，310.OP,，，12）OPOPAP1APAD.122132123【答案】AC【解析】【分析】A、B写出OP，、，的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；、D根据向量1212的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.【详解】A：,sin)，,sin)，所以||21sin21，12|)2()1||||，正确；2122AP2sin)：APsin)，，所以1|AP(cos2sin222cos1sin2cos)4sin22|sin|，122|2sin22|sin||AP|,|AP|不一定相等，错误；2122：由题意得：1cos()0))，3cossin(sin))，正确；12D：由题意得：10sincos，1)(sin))23cos2sinsinsinsincossin2cos2sin22)，错误；故选：AC11.已知点Px5216上，点A0、B2y5，则（2）A.点P到直线的距离小于点P到直线的距离大于23232当PBA最小时，D.当PBA最大时，【答案】ACD【解析】P到直线AB选项的正误；分析可知，当PBA最大或最小时，PBM相切，利用勾股定理可判断选项的正误.2y5216的圆心为M5【详解】圆x5的方程为，半径为4，xy1，x2y40425254111154，M到直线的距离为22255551155P到直线的距离的最小值为42410AB选项错如下图所示：MMP、，可知，当PBA最大或最小时，PB相切，连接052252432，，22正确.故选：l与半径为圆rCC到直线的距离为dC上一点P到直线lldr,dr.的距离的取值范围是AA11P1ABC，12.在正三棱柱，其中111，则（）A.当1△1P的周长为定值1时，三棱锥P1当当D.当的体积为定值12AP1时，有且仅有一个点P，使得12AB11P时，有且仅有一个点P，使得【答案】BD【解析】【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；，考虑借助向量平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；D，考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数．【详解】1B易知，点P在矩形1=PCC，1A1，即此时△1PA11错误；1时，BCP点轨迹为线段11BCBC//BC//，1111=1111A1A1，则有P到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确．1212，BC中点分别为，HQ11131B,0，以P点轨迹为线段A,P0,，，122312AP,0,1,00或1H,Q则，，，所以均满足，故12C错误；121，1中点为．M,ND，所以P点1121233131AB,,1，Py,A0,0,y,轨迹为线段，001222223111y0y，此时P与重合，故正确．DN004222故选：BD．【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内．三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数3x2xa是偶函数，则______.fxxa2【答案】1【解析】a【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.【详解】因为3x2xfxx3a2xx2，，fxxa2为偶函数，故，fxfxfxa12，整理得到+2x=03a2x2xx3a2x2xxx时故a1，故答案为：114.O为坐标原点，抛物线C：y2(p0)的焦点为，为Cx轴垂直，Q与2F上一点，PFPxPQOPC6为轴上一点，且的准线方程为______.3x【答案】【解析】2Qp【分析】先用坐标表示，再根据向量垂直坐标表示列方程，解得，即得结果.P(,p)Q(6,0),PQ(6,p)pp【详解】不妨设22p32PQOP6p20Qp0p3Cx的准线方程为，所以23x故答案为：2【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.fx2x12lnx15.的最小值为______.【答案】1【解析】1212)0xx1x1f(x)(0,【分析】由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求f(x)最小值.f(x)|2x1|2lnx(0,)，【详解】由题设知：定义域为10xf(x)12x2lnxf(x)，此时单调递减；212f(x)20f(x)当x1f(x)2x12lnx，此时f(x)单调递减；单调递增；2x2当x1又f(x)在各分段的界点处连续，f(x)f(x)2x12lnxf(x)20，此时x0x1单调递减，x1f(x)单调递增；f(x)f1∴故答案为：1.16.两种规格的图形，它们的面积之和的长方形纸，对折1次共可以得到10dm12dm，1240dm2，，三种规格的图形，它们的，对折2次共可以得到S180dm22n4次共可以得到不同规格图形的种数为______面积之和nSk______dm2.k13n【答案】【解析】(1).5(2).42nS）根据规律可得，再根据错位相减法得结果.n54523dmdm6dm5dm10dm，，，1）对折4次可得到如下规格：，2320dmdm54n1S2S3S4S5，，Sn2）由题意可得，，，4，1232n1120212031204120n1设SL，021222n12120n120n1112021203则Sn1，2212222n1211n1n11111n1两式作差得S22n12n2n22212120n3120120n1360360，n12n2n2240n315n3因此，S720720.n2n4215n3故答案为：5；720.42n【点睛】方法点睛：数列求和常用方法：1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；b是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；nnba2）对于3）对于结构，其中nnab结构，利用分组求和法；nn11111是等差数列，公差为a结构，其中，利用裂dd04）对于nnan1nn1dan1n项相消法求和.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.n,a.n17.已知数列a11aa，n1nbanb1，b的通项公式；bn1，写出，并求数列2n22）求20项和.anbb5【答案】（1）【解析】.12n1n3，从而可求的通项.bn（2）根据题设中的递推关系可得项和为可化为，利用anSS2bbbb129S（1）的结果可求.baa12,baa1a2151212432aa2k11，2k12k2，又故2k22k3bn3即n1n3n1即2k2为等差数列，故n13n1n.bb2n（2）设项和为Saaaa，aSn123aaaa,aa1，1234S2a42102102910.2b29b31030012【点睛】方法点睛：对于数列的交叉递推关系，我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.18.某学校组织“一带一路”AB从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分：B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.【答案】（B【解析】1X似，找出先回答B类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可．）由题可知，X的所有可能取值为0，，．PX01；PX1；PX．X的分布列为X0P0.32（2）由（1）知，EX0．若小明先回答B问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，，．；PY01PY1；．PXEY0．，所以小明应选择先回答B类问题．19.记ABC是内角A，B，CaC.的对边分别为a，b，c.b2acD1）证明：BDb；227【答案】（）.【解析】b）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.bbBDb,AD,cosADB、cosCDB2）由题设，应用余弦定理求33ba4211b2CDB，可得2a2，结合已知及余弦定理即可求.3【详解】asinCsincbsinCsinc1）由题设，，由正弦定理知：，sinCsinABCb2bac，∴b∴b，得证.bbBDb,AD,2）由题意知：，3b93b22b2b2b2c2c2b2a2a2999∴，同理，bb2bb2bb3333∵CDB，b2b2c2a211b299∴∴，整理得2a2c2bac，2b2b2333ba4211b2ab2213a2232a2，整理得a4a2b2b40，解得或，3b2a2c2b24a2由余弦定理知：，23b2ab22137ab2237ABC1不合题意；当当；627综上，.【点睛】关键点点睛：第二问，根据余弦定理及CDBa,b,c的数量关系，结合已知条.件及余弦定理求AABD，，O为20.如图，在三棱锥中，平面的中点.1）证明：；2是边长为1EAD2EBCD的大小为，求三棱锥A【答案】(1)详见解析(2)【解析】的体积.36）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.）因为AB=AD,O为中点，所以AO因为平面ABD=⊥平面，ABD，AOBCD，BCD，所以AO(2)作EF⊥于作FM于M,连AOBCD，所以AOAO⊥EFEFD,EF⊥IF⊥，,⊥平面EFM⊥则EMF为二面角E-BC-D的平面角,4,为正三角形为直角三角形,11123)BE2ED,2232AO1EF=FM=3Q1113所以VS1133326【点睛】二面角的求法：一是定义法，二是三垂线定理法，三是垂面法，四是投影法.F17,0F217,02M.的轨迹为C21.在平面直角坐标系1C的方程；中，已知点、1121xT的两条直线分别交CQ于AB两点和P，，2T在直线2PQ求直线的斜率与直线的斜率之和.y2【答案】（）x21x）0.16【解析】）利用双曲线的定义可知轨迹C即可得出轨迹C的方程；1是以点F、Fa、b为左、右焦点双曲线的右支，求出的值，1212的方程为、与T,tytkxAx,yBx,y1112222TATBPQkTPTQC的斜率为的2kk的值.12表达式，由化简可得2FF2【详解】因为，1212所以，轨迹C是以点F1F、为左、右焦点的双曲线的右支，2x2y2设轨迹C的方程为1ab02a2，可得a1，ba4，2a2by2所以，轨迹C的方程为x21x；161,t，若过点TTC的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点，2）设点2121ytkxykxtk，11不妨直线的方程为1212ykxtk2111y并整理可得k2116x2ktkxtk160，消去1，11216x2y21212、Bx,y2且.Ax,y121122112ttk1xx由韦达定理可得，2，122xx11212t2116121k12111214TATB1k21121k21xx所以，设直线，122222t2k16121k22PQk2的斜率为，同理可得TPTQ，22tt21k2121k2221k，22k，整理可得12k22k1kkkk0k1k20k20即，显然.1212PQ因此，直线与直线【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去