简明工程力学 课件 第4章 轴向拉伸、压缩与剪切

工程力学

第四章拉伸、压缩与剪切§4.1轴向拉压概念与模型1、工程实例2、轴向拉压的概念（2）变形特点：杆沿轴线方向。。。（1）受力特点：外力合力作用线与。。。FN1FN1FN2FN2以轴向拉压为主要变形的杆件，称为拉压杆或轴向承载杆。ABCF3、拉杆和压杆模型（计算简图）仍有个小问题拉杆FFFF压杆

FFFF端部外力作用方式的差异，产生结果有何不同？圣维南（Saint-Venant）原理：

等效力系只影响荷载作用点附近局部区域的应力和应变分布。FFFF§4.2

轴向拉压杆的内力应力分析1、轴力FN

(axialforce)——拉压杆的内力截面法——截断、取半、画内力、平衡

∑Fx=0,FN-F1+F2=0∴FN=F1-F2

F1F2F3mmF1F2mmFN怎么求？FN=F3=F1-F2FNF1F2F3mmFNF1F2mmF3mm殊途同归。因此，可选外力较简单的一侧来计算轴力。取左半

取右半

小讨论那么，FN到底朝左还是朝右？

轴力符号的规定

(Signconventionforaxialforce)FNmFFmmFFNmFm（1）若轴力方向背离截面，则规定为正，称为拉力(tensileforce)。（2）若轴力方向指向截面，则规定为负，称为压力(compressiveforce)。从而引出内力符号取决于变形，与坐标轴无关！！！设正法！！！m问题：当拉压杆上存在多个轴力时，如何描述不同截面的轴力既简单又直观？方法：1.

分段

2.

写方程式

3.

作图

——轴力图:

横坐标——杆的轴线纵坐标——轴力数值F1F4F3F2332211例4-1

一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。600300500400CABDE20kN40kN55kN25kN解:求支座反力CABDE20kNFRA40kN55kN25kN求AB段内的轴力FRAFN1CABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN1

求BC段内的轴力

FRA40kNFN2CABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN2

FN3求CD段内的轴力20kN25kNCABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN3求DE段内的轴力20kNFN4CABDE20kNFRA25kN55kN40kN25kN55kN40kN4FN1=10kN（拉力）FN2=50kN（拉力）FN3=-5kN（压力）FN4=20kN（拉力）

发生在BC段内任一横截面上5010520++600300500400CABDE20kN40kN55kN25kN解：1.轴力计算2.

画轴力图并确定最大轴力

轴力图为直线例4-2等直杆BC，杆长l，横截面面积为A,材料密度为ρ,画出杆的轴力图，求最大轴力。2、拉压杆横截面应力分析判断：1

已知轴力求应力，这是超静定问题，

2

需要研究变形才能解决。思路：

应力表达式（由内力表示应力）观察变形（外表）

变形假设（内部）

应变分布

应力分布

回顾：

应力的点、方向等概念F1变形特点

纵向线——仍为直线，且平行于轴线横向线——仍为直线，且垂直于轴线FF纵向线横向线平截面假设（planecross-sectionassumption）

应变分布由平截面假设，轴向应变分布是均匀的。应力分布由均匀性假设，横截面上的应力也是均匀分布的，即各点应力相同。应力公式由平衡关系，横截面上

=0

因此，拉压杆横截面上只存在正应力。

静力学关系

∴dA

dA符号？unit？FF

FFFF？问题：两杆横截面的正应力分布是否相同？

考虑一下例4-3一横截面为正方形的立柱分上、下两段，其受力情况，各段长度及横截面面积如图所示。已知F=50kN，试求荷载引起的最大工作应力。解：（1）作轴力图FABCFF300040003702402150kN150kN（2）求应力结论：

在柱的下段，其值为1.1MPa，是压应力。FABCFF3000400037024021例4-4

∑Fy

=0,FN1sin45°－F=0

已知：A1=1000mm2,

A2=20000mm2,F=100kN求：各杆横截面的应力解：⑴轴力计算取节点A=－100kN=141.4kN∑Fx=0,－FN1cos45°－FN2=0

FN2=－FN1cos45°

=－141.4×0.707

FACB45ºAFFN2FN145°xy21FN1=141.4kNFN2=－100kN⑵应力计算FACB45ºAFFN2FN145°xy

拉压杆横截面上没有切应力，只有正应力，斜截面上是否也如此？观察一个现象：FNFNFNFN3、轴向拉压斜截面应力分析说明。。。为什么要研究斜截面上的应力（Stressonaninclinedplane）

？因为工程中经常发现构件沿斜截面破坏。为什么？

pα：斜截面k-k上的应力；

Aα：斜截面k-k的面积；

A

：横截面面积。因为变形均匀，所以应力均布Fα：斜截面k-k上的内力；沿截面法线方向的正应力

沿截面切线方向的切应力

将应力pα分解：

（1）当

=0°

时，（2）当

=45°时，（3）当

=90°时，讨论：§4.3

材料拉压力学性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialtension)任意横截面的轴力可求每一横截面内任意点的应力可求杆内最大应力可求建立强度条件还需要掌握材料的力学性能

力学性能：材料在外载作用下，表现出的与其形状，尺寸无关的变形和破坏方面的特性（固有性能）。由实验获得。

变形分类弹性变形塑性变形按破坏前塑性变形大小分为塑性材料脆性材料实验条件：室温，缓慢平稳加载，标准试件。dh实验设备：万能试验机1.低碳钢拉伸力学性能何谓低碳钢？钢？FOΔl拉伸图(F-

l

曲线)(tensiondiagram)efhabcdd′gf′Δl0应力-应变图（

-图）

l0

——原长名义应力名义应变A0——原始横截面面积拉伸图是结构响应（非本质），So

ε

e

p①弹性阶段elasticstage

特点变形是完全弹性的线性+非线性特征应力弹性极限

eelasticlimit

比例极限

pproportionallimit线性关系

胡克定律

(Hooke’slaw)E：弹性模量

Young’smodulus,modulus

ofelasticity

材料常数unit？前世今生②屈服阶段yieldingstage

特点材料失去抵抗变形的能力——屈服(流动）yield，flow应力不增加，变形增加

特征应力（下）屈服极限

s

yieldinglimitQ235钢

s

=235MPa

ε

sFF45°滑移线滑移线sliplines方位？原因？机理？③强化阶段hardeningstage特点应变硬化strainhardening

材料恢复变形抗力

-

关系非线性滑移线消失试件明显变细特征应力强度极限

b

ultimatestrength

ε

b④颈缩阶段（局部变形阶段）stageoflocaldeformation特征颈缩现象

necking断口杯口状有磁性

ε低碳钢拉伸分为四个阶段：弹性阶段（ob段）屈服阶段（bc段）强化阶段(ce段)局部变形阶段(ef段)材料的强度指标：——比例极限——屈服极限——强度极限——弹性极限

s

b

e

p

fOf′h

abce卸载与冷作硬化：

ε卸载

K平行于比例阶段

ε再加载coldhardeningunloadinglaw卸载完毕后，如果再反向加载。。。塑性指标⑴断后伸长率（延伸率）

percentelongation塑性材料

＞5﹪

ductilematerial

Q235钢

=20～30﹪脆性材料

＜5﹪

brittlematerial

铸铁

＜0.5﹪l0∆l

FF⑵断面收缩率

percentagereductionofarea

A0

———

断口原始横截面面积A1

———

断裂时断口横截面面积ΔA=A0

-A1断口处横截面面积改变量

Q235钢

=60﹪2.其它塑性金属材料拉伸力学性能

塑性材料特点

＞5﹪现象有的有明显屈服阶段有的则无塑性指标σs问题来了：对无明显屈服阶段的塑性材料,

如何确定屈服极限？

ε锰钢16锰钢退火球墨铸铁玻璃钢无明显屈服阶段有明显屈服阶段

一般地，一点线应变

由两部分组成：弹性应变

e和塑性应变

p

＝

e＋

p

e

pεε

0.2平行于比例阶段0.2％塑性应变K名义屈服极限σ0.2塑性应变等于0.2％时的应力值强度指标：σs或σ0.2

（MPa）ε（%）100500.45

b3.铸铁拉伸

1）

强度极限低

σb=110～160MPa

2）非线性可近似用割线代替

3）无屈服，无颈缩

4）

＜0.5﹪5）平断口所以脆性材料。。。4.材料压缩力学性能压缩

(MPa)0.200.10200400ε1）E，

p

，

e，

s与拉伸相同2）测不出

b3）试件棋子状压缩试验无意义低碳钢拉伸400

(MPa)ε3006000.100.05压缩

1.

b高于拉伸（接近4倍）2.

大于拉伸（接近5%）3.E与拉伸不同4.斜断口——剪断可制成受压构件拉伸断口铸铁§4.4

轴向拉压杆强度条件什么是失效？断裂，变形过大，稳定性不足，高温，腐蚀etc

正常工作这里只讨论强度不足引起的失效。1.强度计算的基本思想外力↑内力↑应力↑

0时破坏

0称之为极限应力（危险）——材料固有性质

(ultimatestress)

欲使构件安全工作，需要理论强度条件2.实用强度条件仅满足太危险，所以。。。n—安全因数(factorofsafety)>1

s或

0.2

塑性材料

0=

b

脆性材料[

]—许用应力(allowablestress)确定n的原则：①载荷，静or动？②材料自身，均匀？塑？脆？③理论计算的精度④零件重要否？工况如何？3.强度计算内容拉压问题强度条件可解决三方面问题：⑴强度校核⑵求许可载荷[F]

⑶设计截面[F]——人生目标[

]——个人能力A——条件与措施例4-5已知一圆杆受拉力F=25kN，直径d=14mm，许用应力

[

]=17MPa，试判断此杆是否满足强度要求。解：1、轴力FN=F=25kN2、应力：3、强度校核：此杆满足强度要求，能够正常工作。FF25kNxFN例4-6简易起重设备中，AC杆由两根80

80

7等边角钢组成，AB杆由两根10号工字钢组成。材料为Q235钢，许用应力[

]=170MPa。求许可载荷[F]。ABCF1m30°FAxyFN1FN230。解：（1）取A点为研究对象，受力分析如图所示。点A的平衡方程为由型钢表查得FAxyFN1FN230。得到（2）许可轴力为（3）各杆的许可荷载（4）结论：许可荷载[F]=184.6kN§4.5

轴向拉压杆的变形1.轴向变形(axialdeformation)轴向应变(axialstrain)由可得胡克定律的另一种形式。几种？EA？ll1aa1bb12.横向变形(lateraldeformation)，泊松比横向应变(lateralstrain)横向变形泊松比在比例极限内！！！取值范围？负？ll1aa1bb1a.等截面直杆受图示载荷作用，计算总变形。（各段EA均相同）b.连续变化轴力，计算总变形。取微段dx容重c.阶梯杆，各段EA不同，计算总变形。

d.截面连续变化杆受图示载荷作用计算总变形。（各段

EA均相同）例4-7图示为一变截面圆杆ABCD。已知F1=20kN，F2=35kNF3=35kN。l1=l3=300mm，l2=400mm.d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm。试求：（1）I-I、II-II、III-III截面的轴力并作轴力图；（2）杆的最大正应力

max；（3）B截面的位移及AD杆的变形。F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力FRD=-50kN（1）求I-I、II-II、III-III截面的轴力并作轴力图F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3F1FN1FRDFN3F2F1FN2F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3FN2=-15kNFN1=20kNFN3=-50kN15+-2050F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3FN2=-15kNFN1=20kNFN3=-50kN（2）杆的最大正应力

maxAB段CD段BC段

max=176.8MPa

发生在AB段F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3（3）B截面的位移及AD杆的变形F1ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDF2F3例4-8已知杆的抗拉压刚度EA，F1，F2，l1，l2，试分析杆

AC

的轴向变形

Dl。解：分段求解解法二——叠加原理分别计算2个力单独作用引起AC的变形，然后代数叠加单独F1作用时单独F2作用时二者相加，即和前述结果一致。§4.6

应力集中的概念因杆件外形（尺寸，形状）突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中，如：孔、裂缝、沟槽…应力集中因数smax－截面上最大局部应力。sm－名义应力(净截面上的平均应力）；同一截面上按净面积算出的平均应力。开有圆孔的板条带有切口的板条尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。FFFFFF应力集中对构件强度的影响对于脆性材料构件，当

smax＝sb

时，构件断裂。应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。对于塑性材料构件，当smax达到ss

后再增加载荷，

s

分布趋于均匀化，不影响构件静强度。应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件

（塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大。§4.7

轴向拉压超静定问题

前述章节中，支反力，轴力均可由静力平衡方程求得，属静定问题（staticallydeterminateproblem），再看看这个：ααAFBC1

2yFFN1FN2xααA一个钥匙两把锁，如之奈何？E2A2=E1A1FE1A1E3A3ABCDl1l3l2=l1321yxFFN3FN2FN1A超静定问题——仅用静力平衡方程不能求出全部未知力。又称静不定问题（staticallyindeterminateproblem)。求解步骤：2、然后根据变形协调条件列出变形几何方程；3、再写出补充物理方程；4、最后联立静力方程与物理方程求出所有的未知力。1、首先根据平衡条件列平衡方程（确定超静定次数）；

、几何方程——变形协调方程：

、物理方程－变形与受力关系解：、平衡方程:

、联立方程(1)、(2)、(3)可得:例4-9图示杆系结构，，求：各杆的内力。补充方程（3）ABDC132aaFN1AaaFN2FN3超静定结构的特征：内力按照刚度分配，

能者多劳的分配原则。ABDC132aa例4-10图示结构中，假设AC梁为刚性杆，杆1、杆2和杆3的材料相同，横截面面积相等。试求三根杆的轴力。解：作受力分析如图，均设正！例4-11图示杆两端固定，