2023-2024学年高考数学空间向量与立体几何专项练习题（附答案）

2023-2024学年高考数学空间向量与立体几何小专题一、单选题1．已知向量，，，若，则与的夹角为（

）A． B．C． D．2．若在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则边上的中线的长是（

）A． B．2 C． D．33．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（

）A． B．C． D．4．正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，则异面直线与所成的角为（

）A． B． C． D．5．如图，点P为矩形所在平面外一点，平面，Q为的中点，，，，则点P到平面的距离为（

）

A． B． C． D．6．如图，在平行六面体中，M为的交点．若，，，则向量＝（）A． B．C． D．7．如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（

）

A． B．C． D．8．如图,在平行六面体中,与的交点，记为,设,,,则下列向量中与相等的向量是（

）A． B． C． D．二、多选题9．如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，，，分别是，的中点，是棱上的动点，则下列选项正确的是（

）A．B．存在点，使平面C．存在点，使直线与所成的角为D．点到平面与平面的距离和为定值10．下列命题不正确的是（

）A．若A，B，C，D是空间任意四点，则有=B．“”是“共线”的充要条件C．若共线，则与所在直线平行D．对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，则P、A、B、C四点共面11．如图，在棱长均为2的平行六面体中，，点，，分别是，，的中点，与平面交于点，下列说法正确的是（

）A．B．C．直线和直线所成角的余弦值等于D．三棱锥的体积是六面体的体积的12．已知向量，，则下列结论中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．不存在实数，使得 D．若，则三、填空题13．已知是直线l的方向向量，是平面α的法向量，如果，则．14．已知，若，则．15．如图，的二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则长度为.16．已知四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是正方形，.点在棱上运动，当平面平面时，异面直线与所成角的正弦值为.

答案：1．C【分析】根据已知结合向量的坐标运算可得出，且.然后根据向量的数量积运算求解，即可得出答案.【详解】由已知可得，且.又，所以，即有，所以，.又，所以.故选：C.2．C【分析】利用中点坐标公式求出中点的坐标，根据空间两点间的距离公式即可得出中线长.【详解】由图可知：，，，由中点坐标公式可得的中点坐标为，根据空间两点间距离公式得边上的中线的长为.故选：C3．D【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，若可能，则，即.A选项，；B选项，；C选项，；D选项，；故选：D4．C【分析】建立适当的空间直角坐标系，将异面直线的夹角转换为直线的方向向量的夹角来做即可.【详解】连接，交于点O，连接，以为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，正四棱锥的侧棱长为，底面的边长为，E是的中点，，，，，设异面直线与所成的角为，则，，异面直线与所成的角为．故选：C.5．B【分析】建立空间直角坐标系，得到平面的法向量，从而得到点P到平面的距离.【详解】因为平面，平面，所以，四边形为矩形，故两两垂直，故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

因为，，，Q为的中点，所以，设平面的法向量为，则，令得，，故，故点P到平面的距离为.故选：B6．A【分析】向量，结合平行六面体的结构特征即能求出结果．【详解】∵在平行六面体中，M为的交点．若，，，∴向量.故选：A．7．B【分析】连接，根据空间向量的线性运算计算求解.【详解】连接，是的中点，，，.故选：B

8．B【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算的法则，准确化简，即可求解.【详解】在平行六面体中,与的交点，记为,可得点为的中点，根据空间向量的线性运算法则，可得.故选：B.9．ABD【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意可知两两相互垂直，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，设，，所以，所以，A选项正确.点到平面与平面的距离和为为定值，D选项正确.，，设平面的法向量为，则，故可设，要使平面，又平面，则，解得，所以存在点，使平面，B选项正确.若直线与直线所成角为，又，则，整理得，无解，所以C选项错误.故选：ABD.10．BCD【分析】根据向量的多边形法则可知A正确；根据向量的三角不等式等号成立条件可知，B错误；根据共线向量的定义可知，C错误；根据空间向量基本定理的推论可知，D错误．【详解】对A，四点恰好围成一封闭图形，根据向量的多边形法则可知，正确；对B，根据向量的三角不等式等号成立条件可知，同向时，应有，即必要性不成立，错误；对C，根据共线向量的定义可知，所在直线可能重合，错误；对D，根据空间向量基本定理的推论可知，需满足x+y+z=1，才有P、A、B、C四点共面，错误．故选：BCD．11．AB【分析】以，，作为空间的一组基底，利用空间向量判断A，C，利用空间向量法可得面，再用向量法表示，即可判断B，利用割补法判断D；【详解】依题意以，，作为空间的一组基底，则，，因为棱长均为2，，所以，，所以，故，即，故A正确；同理可证，，面，面，所以面，即面，即为正三棱锥的高，所以，又，，分别是，，的中点，，所以，则三棱锥是正四面体，所以，所以，故B正确；因为，，设直线和直线所成的角为，则，故C错误；，其中，所以，故D错误.故选：AB.关键点睛：本题解决的关键点是利用空间向量的基底法表示出所需向量，利用空间向量的数量积运算即可得解.12．AC【分析】对于A，根据即可算出的值；对于B，根据计算；对于C，根据计算即可；对于D，根据求出，从而可计算出.【详解】对于A，因为，所以，解得，故A正确；对于B，因为，所以，所以，故B错误；对于C，假设，则，所以，该方程组无解，故C正确；对于D，因为，所以，解得，所以，，所以，故D错误.故选：AC.13．15【分析】根据线面垂直，可得直线的方向向量和平面的法向量共线，由此列式计算，即得答案.【详解】∵，∴，∴，解得，∴，故1514．2【分析】根据垂直得到，得到方程，求出.【详解】，因为，所以，即，解得.故215．【分析】利用向量的加法，转化为，直接求模长即可.【详解】因为.所以所以.故答案为.16．【分析】首先建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量垂直求点的位置，并利用向量法求异面直线所成角的余