江西省高三数学(理科)模拟考试卷附带答案解析

江西省高三数学(理科)模拟考试卷附带答案解析

学校:姓名：班级：

一、单选题

1.已知集合A={x∣χ2＜2},B=Wy=泗},则AB=()

A.0B.(-√2,√2)C.[1,√2)I).(-√2,1]

2.若z=2-3i3(i为虚数单位)，则IZl=()

A.√13B.5C.3D.1

3.如图，一组数据X”当，知…，/，西。，的平均数为5,方差为打，去除不，Xn)这两个数据后，平均数为元，

方差为学,则()

Vi

9-----------------；----------1

••

5-•——V--------------：-

•

1...........................................2一一,，r

^O∣910I

A.x＞5,s；＞s；B.X＜5,s；＜s；C.x=5,s；＜s；D.x=5,s：＞s；

4.在,,ΛβC中''sin2A=sin23”是“A=3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

5.已知点/是抛物线V=4y的对称轴与准线的交点,点8为抛物线的焦点,尸在抛物线上且满足IPH=同冏,

当0取最大值时点尸恰好在以46为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为()

A.正√2-l

B.√3-lC.D.√2-l

22

6.已知SinN+£)=,贝(Jcos4。=()

33ɪ1

A.—B.-C.D.-

44^88

7.已知'=ln3,

b=log35-log32和c=21n√L则a,b,。的大小关系为(

a

A.a>c>bB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

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8.已知棱长为3的正四面体S-AfiC的内切球球心为。，现从该正四面体内随机取一点P,则点P落在球。

内的概率为()

A.叵B.空C.垦D.叵

63万183

9.二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克•牛顿提出.二项式定理可以推广到任意实数次累，即广

义二项式定理：

对于任意实数α,且(l+x)"=]+3∙x+α(α-l).,+…+α(αT)∙∙(ɑ--+l)/+

v,1!2!k∖

当N比较小的时候，取广义二项式定理展开式的前两项可得(l+x)"al+sx,并且W的值越小，所得结果

就越接近真实数据.用这个方法计算逐的近似值，可以这样操作：

用这样的方法，估计力的近似值约为()

A.2.922B.2.926C.2.928D.2.930

10.已知直线x-2点)，+3w=O和圆f+y2-6χ+5=O相交，则实数机的取值范围为()

A.(一8,-3)B.(—3,1)C.[—3,1]D.(l,÷ocj)

11.设函数“X)=In(W+1)-占，则使得/(x-2)>“2x+l)成立的X的取值范围是()

ɪ2-在锐角A钻C中角AB,C的对边分别为AABC的面积为S,若Sin(A+。==,则

.C+丽匕；的最小值为()

A.近B.2C.1D.2近

二、填空题

13.己知向量”=(1,/),6=(k+l,2),若aJ_b，则Ia+b∣=

ɔ2

14.已知双曲线C:9-£=1S>O)的两条渐近线互相垂直，则b=.

15.在四棱锥P-ABCD中底面ABCD为梯形，Aβ∕ΛDC且Aβ=28,点M在侧棱PC上，点。在侧棱AP

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上运动，若三棱锥M-BQQ的体积为定值，则詈；=

MC

16.若函数/(x)="+a)sinx在x=π时取得极值，则，(x)在^,π上的最小值为

三、解答题

17.已知数列｛%｝满足«„+)=2a,,+n+l(n∈7V*).

(1)若｛%｝是等差数列，求其首项％和公差任

(2)若4=7,是否存在实数々和6使得数列｛q+如+。｝是等比数列？若存在,求出数列｛%｝的通项公式；

若不存在，请说明理由.

18.如图，在直三棱柱ABC-AMG中NACB=90。，AC=BC=I且AA=2,D,E分别是棱44∣,BC的中点.

(2)求二面角A-BD-Ct的余弦值.

19.设函数/(x)=x2-24lnx.

(1)当。=1时求函数Fa)在定义域内的最小值；

⑵若〃力-2x+l≥-2or+2α,求实数。的取值范围.

20.甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的

胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比

赛，丙轮空.设比赛的场数为X,且每场比赛双方获胜的概率都为3•

⑴求P(X=2)和P(X=3)；

(2)求E(X).

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21.己知椭圆<7:捺+/=13>6>0)过点M(I当1点A为其左顶点，且AM的斜率为骼.

(1)求C的方程；

(2)P,Q为椭圆C上两个动点，且直线AP与AQ的斜率之积为-，，且。为垂足，求IA0的最

0

大值.

2

22.在平面直角坐标系中已知曲线G：Y+./=,(0<r<l),C2;^-+V=1.p.。分别为曲线G和

曲线G上的动点，且归。|的最小值为.以坐标原点为极点,X轴正半轴为极轴建M极坐标系.

(1)求"和Cz的极坐标方程；

(2)若射线/与c∣,ɑ在第一象限分别交于A,B两点，且MBl=乎，求/的极坐标方程.

23.如图，/8是半圆的直径，。为4?的中点OOLA8、C在四上，且AC=X与BC=y.

(1)用x、P表示线段切，G9的长度：

(2)若〃>0,〃>0和α+b=2,求a4+//的最小值.

参考答案与解析

1.C

【分析】解一元二次不等式求出集合4根据指数函数性质确定集合区根据集合的交集运算即可得答案.

【详解1解<2得一及<x<√2

故A={xlX2<2∣=(->∕2,Λ∕2j,B=∣γ∣y=2®}=[l,+e)

所以ACB=[l,√∑)

故选：C

2.A

【分析】求出Z的代数形式，然后求模即可.

【详解】Z=2-3i=2+3i

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.,.∣Z∣=V22+32=y∕l3.

故选：ʌ.

3.D

【分析】根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断.

110IO

【详解】由题意可得：—∑X,.=5,X9=1,X10=9,则Zxj=5。

ɪUZ=IZ=I

_1S1/10λ1

i⅛ɪ=-∑-∖=-∑¾-⅞-¼=-(50-1-9)=5

θ/=131j∙=∣J0

Y/,/是波幅最大的两个点的值，则去除Xg，/这两个数据后，整体波动性减小，故S；＞S；.

故选：D.

4.B

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义求解作答.

【详解】在一43C中A=5,则2A=23,必有sin2A=sin23

JTTT

而A=^,B=;,满足sin2A=sin2B,此时∙.ABC是直角三角形，不是等腰三角形

63

所以“sin2A=Sin28”是“A=B”的必要不充分条件.

故选：B

5.D

【分析】设P(x,y),利用两点间的距离公式求出m的表达式，结合基本不等式的性质求出，"的最大值时的

P点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.

【详解】解：设P(X»),因为A是抛物线f=4)，的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点

所以A(0,T),3(0,1)

则机=也=叵三=叵三=「今

IPBWyT),χ2Wy-l)，4yVy2+2y+l

当J=O时m=1

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综上当P（±2,l）时〃?取得最大值

∣PA∣=2√2,∣PB∣=2

■点尸在以AB为焦点的椭圆上,2c=∖AB∖=2

由椭圆的定义得2α=∣PA∣+∣Pβ∣=2jΣ+2

所以椭圆的离心率e=,=工=2丘+2=R-1.

故选：D.

6.C

【分析】先利用两角和的正弦公式对已知等式化简，可求出Sina+cosα=；,然后两边平方化简可求出

sin2ɑ=-],再利用余弦的二倍角公式求解即可.

【详解】因为sin（α+工]=,所以SinaCoS工+cosαsin工=

4）4444

所以也^Sina+∙^cosα=^-

224

所以Sina+cosa=—

2

所以（Sina+cos=：

所以sin?a+2sinacosa+cos?a=—

4

13

即1+2Sinacosa--,所以sin2a=一一

44

故cos41=l-2sin22a=--.

8

故选：C.

7.C

【分析】根据对数的运算及对数函数的性质计算可得；

【详解】解：c=21nʌ/ɜ=In3,1=Ine<In3<Ine2=2即IVCV2

又I=In3,所以a=」=兽=Iog；e,所以?<a<l

aIn3In32

⅛=log,5-log,2=Iog31,ɪ=Iog3√3<Iog31<log,3=1BPɪ<⅛<ɪ

又e>∣∙,所以IogF>log弓，BRa>⅛

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综上可得c>a>6；

故选：C

8.C

【分析】根据正四面体的结构特征及性质求其内切球的半径，求出内切球体积和四面体体积，利用几何概

型一体积比求概率即可.

【详解】由正四面体各侧面为等边三角形，若0'为aABC的中心

连接SO',则内切球球心。在线段S。'上，如下图示：BO'=-BDABsin-=

333

所以内切圆半径r=OOz,而SOj■面ABC,80人面S4C,BDu面ABC,Sr)U面SAC

故80_LSL>,S0_L3O,注意。在面BDS上，又SD=BD

所以。为等腰三角形BSO的垂心，故80=So

XSO'^yJSB2-BO12=√6-令BO=So=X,则r=#-x

所以V=3+(#-X)2,可得X=侦，故r=如

44

2

而正四面体S—ABC的体积K=-SO'Sak.=i×√6×i×3×^=^

'3ahc3224

3

其内切球体积为匕=—πr=√6π

38

尸落在球。内的概率为各=W兀.

V,18

故选：C

9.B

［分析］变形侬=3x$—"=3X,然后根据题中的方法计算即可.

_________ɪ

【详为军】√25=√27-2=3^27^1-^=3×^l-^=3×1+≈3×1+∣×(^-^≈2.926-

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故选：B.

10.B

【分析】求出圆心到直线的距离与半径比较，解不等式，即可求解.

【详解】圆/+y2-6χ+5=0可化为(X-3)2+/=4,圆心为(3,0),半径为2

圆心到直线的距离4=邑粤=∣1+同

由直线与圆相交可知∣l+"<2,解得-3<四<1

所以实数m的取值范围为(-3,1)

故选：B

11.B

【分析】分析函数/(x)的定义域、奇偶性及其在［0,+∞)上的单调性，由/(x-2)>∕(2x+l)可得出

/(∣x-2∣)>∕(∣2x+l∣),根据函数/(x)在［0,+巧上的单调性可得出关于X的不等式，解之即可.

【详解】对任意的xeR,W+l≥l和f+ι≥ι,所以，函数f(x)的定义域为R

/(-X)=In(T+1)“；+］=ln(lxl+1)-p71="H,则函数/(x)为偶函数

因为函数yTn(W+1)、y=--在［°，+8)上均为增函数

所以，函数/(X)在［0,+8)上为增函数

贝IJf(X-2)>∕(2x+l)等价为f(∣x-2∣)>∕(∣2x+l∣),即Cl

平方得(x—2)2>(2X+1)2,即3X2+8X-3<0,解得-3<x<g.

故所求X的取值范围是(-3,g).

故选:B.

12.Λ

2S

【解析】Sin(A+C)=∙^^结合面积公式，可得出由余弦定理得出α-2ccos8=c,再用正弦

b-c~

定理化边为角，得出8=2C,把所求式子用角。表示，并求出角C范围，最后用基本不等式求最值.

【详解】因为Sin(A+C)二f？，BPsi∏β=ττ¾

b-cib--C

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所以sin3=ʒ√--,因为sin5wθ

b~-c^

所以〃=c?+ac,由余弦定理。2=a1+c2-2accosB

可得4一2ccos5=c

再由正弦定理得sinA-2sinCcosB=sinC

因为SinA-2sinCcosB=Sin(B+C)-2sinCcosB=sin(B-C)

所以Sin(B-C)=SinC,所以3-C=C或8-C+C=τr

得8=2。或8=万(舍去).因为AABC是锐角三角形

0<C<-

2

所以0<2C<g,得f<C<f,即tanCe(3,1)

2643

Tt

0<乃一3。<一

[2

所以tanC+---------------=tanC+——-——≥-Jl

2tan(B-C)2tanC

当且仅当tanC=也，取等号.

2

故选:A

【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.

Q5√2

O«-----

3

【分析】根据两向量垂直数量积为。的坐标表示求出女的值，然后得出Q+。的坐标表示，进而求出模长.

【详解】,d=(l,⅛),5=(⅛+l,2)a.Lb

.∙.l×(⅛+l)+⅛×2=0,解得：k=_；

故答案为里.

3

14.2

【分析】由题得出渐近线斜率相乘为T即可得出.

【详解】由题可得双曲线的渐近线方程为y=±gχ

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bb

因为两条渐近线互相垂直，所以--x-=-l,解得匕=2.

22

故答案为：2.

15.2

【分析】根据给定条件，由」面积为定值，借助等体积法确定PA〃平面M8D即可计算作答.

【详解】在四棱锥P-ABCD中点M是侧棱PC上的定点，则-MBD面积为定值

三棱锥M-BDQ的体积VM.BDΩ=VQ.MBD为定值，因此点Q到平面MBD的距离为定值

又点。是侧棱AP上的动点，于是侧棱AP上的所有点到平面。的距离都相等，则P4〃平面MBZ)

如图，连接ACCBD=N,连接MN,平面PAC平面MBD=MN,而PAU平面PAC

PMANANAB

因此MV//%,有——=—,梯形ABC。中AB//DC,AB=2CD则一=—=2

MCNCNCCD

PM

所rrμ以l比=2.

故答案为：2

«死4乂1

16.—#++—π

22

【分析】根据函数“X)在X=兀处取得极值可得(5)=0,求得a的值，继而判断函数在ɪ3上的单调性,

由单调性求最小值即可.

【详解】.∕r(x)=sinx+(x+6f)cosx.*.∕z(π)=(π+tz)cosπ=-(π+a)=0

gp=-π.∙.ʃ(ɪ)=(X-π)sinx

当尢∈∙^,π时/'(x)=sinx+(x-π)cosx≥0

.∙.∕(x)=(x-π)sinx在］,兀上单调递增

R⑴而“7图=4

π

故答案为一］.

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17.(1)4=-3J=-I；(2)存在a,,=2"-n-2.

【分析】(1)利用数列递推式，及｛《,｝是等差数列，可求其首项％和公差d;

(2)假设存在，利用数列｛q,+E+b｝是等比数列，建立等式，即可求得通项.

【详解】⑴«„+|=2ɑ,,+n+l

,

..a2=2α∣+2a3=Ia2+3=4a1+7

.｛α,｝是等差数列2¾=dl+¾

2(2q+2)=4+(4〃]+7)

：.4=-3a2=-4

.,.d=a2-a1=-\；

(2)假设存」在,，则*,有4%ι+A:(〃++l；)+h=2α,,+(k+l)…n-vk—+b+∖=常,数,,

(k+l=2k(k=l

,[k+b+∖=2b'[b=2

「.｛凡+〃+2｝是等比数列，首项为2,公比为2

π

.∖an+n+2=2

,

,∖an=2'-n-2.

18.(1)证明见解析

⑵--

2

【分析】(1)设CG的中点为E连接AF,EF,分别证明AE//平面8CQ,EF//平面3CQ,通过面面

平行证得线面平行；

(2)根据题意，以C为原点C4,CB,CG所在的直线分别为X,y,Z轴，建立空间直角坐标系，转化为空

间向量处理即可.

【详解】(1)证明：设CG的中点为E连接AF,EF.

因为GF〃AD,GF=A。所以四边形GE4。为平行四边形，所以G。“AF

因为CQU平面8CQ，AFa平面BCQ,所以AP//平面8CQ；

在,CC∣B中EF〃£8,GBU平面BCQ,EF(Z平面BCQ,所以EF〃平面3CQ.

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因为4尸EF=F,AF,EFu平面AE尸，所以平面BCQ〃平面AEF.

因为AEU平面AEF,所以AE〃平面3CQ.

(2)以。为坐标原点，分别以C∕∙CB.CG所在克线为X轴,y轴，z轴建正如图所示的空间直角坐标系.

则。(1,0,1),5(0,1,0),C1(0,0,2),4(1,0,0),BD=(1,-1,1),5C∖=(0,-1,2).

X

CCCr/、n-BLJ=u,

设平面DBcl的法向量为〃=(χ,y,z),贝IJ

n∙BCl=0,

fx-y÷z=0,./、

即｛∙取z=l,贝∣J“=1,2,1.

[-y+2z=0,

取A3的中点G,连接CG.由AC=BC=I得CGj_AB.

在直三棱柱ABC-ABG中AA，平面43C,CGU平面ABC,所以∕¼,CG

又ABCAA=4,AB,∕½u平面ABBM,所以CG-L平面A88∣A∣.

所以CG=g,g,θ)为平面A%A的一个法向量

际3叶留=於l+1邛r•

2

易得二面角A-BD-Ct为钝角，故二面角A-8。-&的余弦值为T.

19.(1)1

(2)[0,+0>)

【分析】(1)对/(x)求导判断其单调性，从而可求得最小值；

(2)令g(x)=/(x)-2x+l-(-2ax+2a)=x2-2alnx+(2a-2)x-2。+1,则问题转化为当1>0,g(%)≥0恒成立

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求实数a的取值范围.对g(x)求导，分类讨论判断可知当«>0时有最小值从而可求；当α<O时没办法确定

最小值，可通过确定g(e⅛Γ')<o来判断不成立.

【详解】(1)当α=l时/W=/-/.,其定义域为(0,+纥)

则小)=2x-Z=亚=2(x+l)(l).

XXX

令∕,(x)=0,X=1.

当θvx<r时r(x)<o；当%>1时/'(χ)>o,

所以/(X)在(0,1)上单调递减，在(l,+∞)上单调递增.

故函数F(X)在定义域内的最小值为ʃ(l)=1.

(2)^∙g(x)-f(x)-2x+∖-(-2ax+2a)-x2-2a∖nx+(2a-2)x-2a+∖

即x>0,g(x)≥0恒成立.

，/、C2acʌ2(犬一I)(X+〃)

g(x)=2x-----+2β-2=------------

XX

①当“≥0时令g'(x)=O,X=L

当0<x<l'时g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>l时g(x)>O,g(x)单调递增.

所以g(x)≥g⑴=0,原不等式成立.

②当α=T时x>0时g'(x)≥O,g(x)单调递增.

所以当O<x<r时g(x)<g(l)=O,所以a=—1不成立.

③当。<-1时I<x<-a时g'(x)<0,g(x)单调递减.

所以当l<x<-a时g(x)<g(l)=O,所以a<T不成立.

④当-l<a<0时令x=e立τ<e。=]X⅛(x)=(Λ-l)2-2t∕(lnx-x+l)

-LT-LTI-LT-LT-LT

.,.g(e2a)=(e2rt-l)2-2a(-----1—e2fl+1)<I2-↑+2ae2a=2ae2a<0

2a

所以一l<a<0不成立.

综上所述，实数。的取值范围为[0,+8).

【点睛】关键点点睛：

第二问可以转化为X>0,g(X)≥0恒成立.从而确定g(X)的最小值.当a<0时没办法确定最小值,可通过确定

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g(e》)<0来判断不成立.

20.⑴P(X=2)=gp(χ=3)=1

吟

【分析】(1)根据相互独立事件概率乘法公式即可求解；

(2)求得X的所有取值及对应概率，利用离散型随机变量的期望公式计算即可.

【详解】(1)由题意得，当X=2时甲连胜或乙连胜

所以P(X=2)=gχgχ2=;

当X=3时丙连胜P(X=3)=→→^×2=ls

''2224

(2)根据题意可得X可能的取值为2,3,4

当χ=4时前三局甲、乙、丙平局，最后一局甲赢或乙赢

所以P(χ=4)=gxgxgx2=:

所以E(X)=2x；+3x；+4x；=?.

21.(1)-+^=1

42

⑵述

2

【分析】(1)设椭圆方程，根据椭圆过点例”,乎J,以及AM的斜率为器，构造方程解得答案；

(2)设直线PQ方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用直线AP与4。的斜率之积为-J,整理化简证

O

明直线过定点，进而求出。的轨迹是圆，把问题转化为圆上的点到椭圆左顶点距离的最大值问题，使问题

得到解决.

【详解】⑴由题意可知直线AM的方程为y冷邛(D，即x-#y+2=0

令y=0,解得X=—2,所以。=2

椭圆。：二+2=1(4>〃>0)过点例

a~b

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13

可得：+白=1，解得从=2

所以C的方程£+亡

(2)设P(%,χ),Q(%,%)

由题意得直线PQ斜率不为零，设牝：χ=my+r,代入到椭圆

X=my-st-t

由《fy2得(阳+/)2+2y2-4=0,即由2+2)y2+2nιty+t2-4=0

—+—

142

所以

由心海1°=一］，得；¾.7¾=q,即6χM+α+2)H+2)=0

OA∣I/ʌɔ十乙U

所以6y∣%+("%+r+2)(叼2+/+2)=0

所以(6+∕√)χ%+"z(f+2)(y∣+y2)+(f+2>=O

所以(6+〃/)'I4+m(r+2)―乎+(r+2)2=O

化简得产+r-2=0

所以f=l或f=-2

若f=-2,则直线R：x=，〃y-2过椭圆的左顶点，不适合题意，所以f=l

所以牡：X=冲+1过定点s(ι,o)

因为MDLPQ,。为垂足

所以。在以MS为直径的圆上IMSl=远，MS的中点为71,率

5√6

又4-2,0),所