中考数学第一轮复习真题分点练习矩形、菱形、正方形（解析版）

第十九讲矩形、菱形、正方形

命题点1矩形的相关证明与计算

1.（2022∙陕西）在下列条件中，能够判定ZABC。为矩形的是（）

A.AB=ADB.AC±BDC.AB=ACD.AC=BD

【答案】D

【解答】解：A.丁EIABCO中，AB=AD,

.∙.I3ABC。是菱形，故选项A不符合题意；

B.：ElABC。中，AC_L8D,

.∙.E1ABC。是菱形，故选项8不符合题意；

C.EIABeD中，AB=AC,不能判定13ABC。是矩形，故选项C不符合题意;

D.■/0ABCDΦ,AC=BD,

ElABC。是矩形，故选项。符合题意；

故选：D.

2.（2022•青海）如图，矩形ABCT）的对角线相交于点O,过点。的直线交AD,

BC于点E,F,若AB=3,BC=A,则图中阴影部分的面积为

【答案】6

【解答】解：Y四边形ABC。是矩形，AB=3,

：.OA=OC,AB=CD=3,AD//BC,

：.ZAEO=ZCFO;

又，:ZAOE=ZCOF,

^∆AOE和ACOb中，

'NAEO=NCFO

<OA=OC,

.ZAOE=ZCOF

AAOE^/XCOF,

∙"∙S^AOE=SΛCOI-I

SBIgJ=SΔAOE+S^BOF+SΔCOD-S∆CO∕7+S∆BOF÷S∆COD=S^BCD»

VS∆βCD=-j-BC∙CD=y×⅛×3=6,

∙'∙S阴影=6.

故答案为6.

3.（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC,Br）相交于点O,点E是

边AD的中点，点b在对角线AC上，且AF=LAG连接EH若AC=I0,

【解答】解：在矩形ABe。中，AO=OC=Lc,AC=BD=IO,

2

VAf=Lc,

4

.∖AF=^AO,

2

.∙.点F为A。中点，

又：点E为边Ao的中点,

.∙.Ef为AAOD的中位线，

.∙.Eb=LOO=工BO—.

242

故答案为:ɪ.

2

4.（2021•邵阳）如图，在矩形ABCr）中，DELAC,垂足为点E.若SinNAoE

=A,AO=4,则4?的长为

5------

【答案】3

【解答】W：'：DEVAC,

：.ZADE+ZCAD=9Q0,

VZACD+ZCAD=90o,

/.ZACD=ZADE,

'：矩形ABCD的对边AB//CD,

"BAC=NACD,

VSinZADE=A,

5

•••—B—C-—4,

AC5

55

由勾股定理得，AB=YhC2.BC?=Y52γ2=3,

故答案为：3.

∙*∙S,行四边形AGC”=CG∙ΛB=3×2√5=6√5.

5.（2022∙山西）如图，在矩形ABC。中，AC是对角线.

（1）实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点。，交边A。

于点E,交边BC于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明

字母）.

（2）猜想与证明：试猜想线段AE与C尸的数量关系，并加以证明.

【解答】解:（1）如图,

AE/D

B'~~7⅛------^lC

/

(2)AE=CF,证明如下：

四边形ABCo是矩形，

：.AD//BC,

，ZEAO=ZFCO,/AEO=NCFO,

•；EF是AC的垂直平分线，

.'.AO=CO,

在和ACOQIL

'NAEO=NCFO

<ZEAO=ZFCO,

AO=CO

Λ∆AOE^∆COFCAAS),

：.AE=CF.

6.(2022•湖州)如图，已知在RtZVLBC中,ZC=RtZ,6是AB边上一点,以

BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E,过点0作OFL3C,垂足为F.

(1)求证：OF=EC;

(2)若∕A=30°,80=2,求AO的长.

【解答】(1)证明：连接。E，

∙.FC是。。的切线，

：.OELAC,

,NOEC=90°,

'：OFLBC,

,NOFC=90°,

/.ZOFC=ZC=ZOEC=90°,

.∙.四边形OECF是矩形，

：.OF=EC;

（2）解：∖'BD=2,

：.OE=1,

VZΛ=30o,OEYAC,

.∖AO=2OE=2,

.,.AD=AO-0D=2-1=1.

命题点2菱形的相关证明与计算

7.（2022∙襄阳）如图，I2A8C。的对角线AC和BO相交于点。，下列说法正确

的是（）

B.若AC=BO,则EIABC。是菱形

C.若04=00,则ElABeD是菱形

D.ACLBD,则ElABCr）是菱形

【答案】D

【解答】解：A、•；四边形ABCD是平行四边形，

：.OB=OD,故选项A不符合题意；

3、：四边形ABC。是平行四边形，AC=BD,

.∙.ElABC。是矩形，故选项B不符合题意；

C•••四边形ABC。是平行四边形，

.'.θA=oc=^AC,OB=OD=LBD,

22

'：OA=OD,

.∖AC=BD,

：.^ABCD是矩形，故选项C不符合题意；

。、Y四边形ABe。是平行四边形，ACLBD,

.∙.I2A3C。是菱形，故选项。符合题意；

故选：D

8.（2022•兰州）如图，菱形ABCZ）的对角线AC与BO相交于点O,E为AO的

中点，连接0E,NABC=60°,BD=4√ξ,则OE=（）

A.4B.2√3C.2D.√3

【答案】C

【解答】解：Y四边形A3C。是菱形，NABC=60°,

：.B0=D0,NABo=30°,ACLBD,AB=AD,

ΛBO=2√3,

.∙.AO=浮B0=2,

0

.,.AB=2AO=4,

为A。的中点，NAOQ=90°,

：.OE=Lo=2,

2

故选：C

9.（2022∙河池）如图，在菱形ABC。中，对角线AC,8。相交于点0,下列结

论中错误的是()

A.AB=ADB.ACLBDC.AC=BDD.ZDAC=Z

BAC

【答案】C

【解答】解：•••四边形ABC。是菱形，

.'.ZBAC=ZDAC,AB=AD,AClBD,

故A、B、D正确，无法得出AC=8D,

故选：C.

10.(2022•自贡)如图，菱形ABCO对角线交点与坐标原点。重合，点A(-

2,5),则点C的坐标是()

c

A.(5,-2)B.(2,-5)C.(2,5)D.(-2,-5)

【答案】B

【解答】解：Y四边形ABC。是菱形，

OA=OC,即点A与点C关于原点对称，

Y点A(-2,5),

.∙.点C的坐标是(2,-5).

故选:B.

11.(2022•乐山)已知菱形ABCo的两条对角线AC、8。的长分别是8C〃和6cm.则

菱形的面积为cm2.

【答案】24

【解答】解：•••菱形ABCO的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm,

.∙.菱形的面积是西∙=24(cm2),

2

故答案为：24.

12.(2022・大连)如图，四边形ABCO是菱形，点E,JF分别在AB,AD±.,AE

=AF.求证：CE=CF.

【解答】证明：如图，连接AC,

四边形ABC。是菱形，

.'.ZEAC=ZFAC,

在AACE和aAC尸中，

'AE=AF

<ZEAC=ZFAC.

,AC=AC

ΛΛACE^AACF(SAS)

JCE=CF.

13.(2022•西宁)如图，四边形A8C。是菱形，AEJ于点E,LC。于点F.

(1)求证：AABE-ADF;

(2)若AE=4,CF=2,求菱形的边长.

【解答】(1)证明：Y四边形ABCo是菱形,

：.AB=BC=CD=AD,ZB=ZD,

,：AELBC,AFYCD,

：.ZAEB=ZAFD,

AABE⅛∆ΛDF中,

,ZAEB=ZAFD

,ZB=ZD，

1AB=AD

.,.AAB/XADF(ΛAS);

(2)解：设菱形的边长为无，

'：AB=CD=x,CF=2,

DF=X-2,

AABE^∕∖ADF,

.'.BE=DF=X-2,

在Rt∆ΛBE中，根据勾股定理得,

AE2+BE2=AB2,

即42+(X-2)2=Λ2,

解得X=5,

•••菱形的边长是5.

14.(2022•广元)如图，在四边形ABCO中，AB//CD,AC平分ND48,AB=

2CD,E为AB中点，连结CE.

(1)求证：四边形AECO为菱形；

(2)若No=I20°,DC=2,求aABC的面积.

【解答】(1)证明：YE为AS中点,

：.AB=IAE=IBE,

∖'AB=2CD,

：.CD=AE,

又,：AE〃CD,

：.四边形AECD是平行四边形，

「AC平分ND43,

ZDAC=ZEAC,

∖,AB∕∕CD,

.'.ZDCA=ZCAB,

：.ADCA=ΛDAC,

IAD=CD,

.∙.平行四边形AEC。是菱形；

(2):四边形AECO是菱形，NO=120°,

ΛAD=CD=CE=AE=2,ZD=120°=ZAEC,

：.AE=CE=BE,NCEB=60°,

ΛZCΛE=30o=ZACE,ACEB是等边三角形，

：*BE=BC=EC=2,ZB=60o,

：.ZACB=90o,

ΛΛC=√3BC=2√3,

/.SΛΛBC=A×AC×BC=I×2×2√3=2√3.

22

命题点3正方形的相关证明与计算

15.(2022•雅安)如图，E,尸是正方形ABC。的对角线8。上的两点，且BE=

DF.

(1)求证：Z∖A3E丝△COE；

(2)⅛AB=3√2>BE=2,求四边形AEC/的面积.

【解答】(1)证明：∙.∙四边形ABC。为正方形,

.∖CD=AB,ZABE=ZCDF=45o,

又YBE=DF,

：.ΛABE^ΛCDF(SAS).

(2)解：连接AC,交BD于点0,

：四边形ABCQ是正方形，

：.AC-LBD,AO=CO,DO=BO,

又YDF=BE,

：.OE=OF,AO=CO,

.∙.四边形AECE是平行四边形，

,CACLEF,

•••四边形AEcF是菱形，

VΛB=3√2.

.∖AC=BD=6,

9CBE=DF=I,

二四边形AEeE的面积=LC∙EF=∙1X6X2=6.

22

16.(2022•贵阳)如图，在正方形ABC。中，E为A。上一点，连接BE,BE的

垂直平分线交AB于点M,交CO于点N,垂足为0,点尸在OC上，且Mb

//AD.

(1)求证：AABE咨LFMN；

(2)若AB=8,AE=6,求ON的长.

【解答】解：(1)∙.∙四边形ABC。为正方形，

：.AB=AD,AB//CD,NA=No=90°,

又•：MFHAD,

，四边形AMF。为矩形，

：.NMFD=NMFN=90°,

：.AD=MF,

：.AB=MF,

:BE的垂直平分线交AB于点M,交Co于点M垂足为0,

：./MFN=NBAE=90°,NFMN+NBMO=NBM0+NMBO=90°,

ZFMN=ZMBO,

在aABE和aFMN中，

rZA=ZMFN

<AB=MF

ZABO=ZFMN

ΛAABE^∕∖FMN(ASA)；

(2)'：ZMOB=ZA=90o,NABE是公共角，

：.XBOMsXBAE,

：.0M：AE=BO:BA,

∖'AB=S,AE=6,

ΛBE=√AB2+AE2=10,

/.OMt