2023-2024届新高考一轮复习人教A版 第五章 第1节　数列的概念 作业

第五章数列（选择性必修第二册）

第1节数列的概念

课时作业灵活分层，高效提能

［选题明细表］

知识点、方法题号

数列的通项公式及前n项和1,2,4,7,9,13

数列的性质3,5,6,8,10,11

综合应用12,14,15

rA级基础巩固练

L若数列的前4项分别是冷沁,则此数列的→通项公式为

（A）

Πn

R（-Dn（τ）-τ

nn

2

2.（多选题）已知数列｛4｝的通项公式为an=π-2n,则下列各数中，是数

列｛all｝中的项的是（ABD）

A.OB.8C.16D.24

解析:对于A,若n2-2n=0,解得n=2或n=0（舍去）；

对于B,若n^-2n=8,解得n=4或n=~2（舍去）;

对于C,若n2-2n=16,无正整数解；

对于D,若n2-2n=24,解得n=6或n=-4（舍去）.

3.已知数列｛aj是递增数列，且其通项公式为a0=!?+入n,则实数人的

取值范围是（D）

A.(--,+8)B.[O,+°o)

C.[-2,+∞)D.(-3,+∞)

2

解析：由题意an÷ι-an=(n+l)+λ(n+l)-(n^+λn)=2n+l+λ>0,

所以人>-2n-l.因为n≡N*,所以人>-3.

4.在数列｛aj中，aι=2,am=an+ln(l+3,则以等于(A)

Tl

A.2+lnnB.2+(∏-1)Inn

C.2+nlnnD.1+n+lnn

解析:an=(an-an-ι)+(an-ι-an-2)+…+(a2^aι)+aɪ

=ln-ɪ-+ln-+∙∙∙+ln-+2

∏-1n~21

=In(―•—...........-)+2

n-ln-21

=Inn+2(n≥2),

当n=l时,aι=2也符合上式.

综上,aπ=lnn+2.

5.已知数列｛arι｝满足ag2a3…a。=!?,其中n=l,2,3,…，贝!)数歹(]｛a<1｝

(A)

A.有最大项,有最小项

B.有最大项,无最小项

C.无最大项,有最小项

D.无最大项,无最小项

解析:ai=l,当n22时，

H=∙•为=三=（1+」_）2＞即随着n的逐渐增大,二趋向

aa

α1∙α2∙3.n-ι（∏-1）∏-1n-l

于0,所以数列｛a11｝先增后减并逐渐趋向于1,故最大项为a2=4,最小项

为aι=l.

=

6.已知数列｛a-满足3I3,Hn‰+ι^^2=2an,则&022的值为.

解析：由题意,得a∏z≠0,则a+ι-2--,而aɪ-3,

nɑn

所以@2=P33=~,^1=—2,45=3,….

故ω是周期为4的数列，

所以@2022=∏4×505+2=3-2=~.

答案q

7.设Sn是数列｛aj的前n项和，且Sn=3an+2,则｛aj的通项公式为

an=.

解析：当n=l时，Sι=3aj+2,a,=-l,

当n32时,Sn=3an+2,①

Sn-I=3a∏τ+2,②

①-②得an=∣an1,

所以&尸-（|尸.

答案:-（|严

8.无穷数列｛a,,｝的前n项和记为Sn.若｛an｝是递增数列,而｛S,1｝是递减

数歹U,写出数列｛4｝的一个通项公式.

解析：因为SJ是递减数列,可以考虑aW0,而｛a11｝是递增数列,可以构

造a0=」（答案不唯一）.

n

答案:a"=」（答案不唯一）

n

π

9.已知数列｛aj满足al=2,an+-an=3∙4-2,数列｛bj的前n项和为

n(n+l),n∈N*,求数列｛a∏｝,｛bj的通项公式.

解：由题可知，当n22时,

-

an=(anan-ι)+…+(a3-a2)+(a2-aι)+aɪ

二3(4n^1+4n-2+∙∙∙+4)-2(n-1)+2

A,—4"1•4

=3X———--2π+4=4n-2n,

1-4

当n=l时,aι=2符合上式，

所以a∏=4n-2n.

当n≥2时，bn=n(n+l)-(n-l)n=2n,

当n=l时,bι=2符合上式，

所以bn=2n.

综合运用练

10.已知数列｛a｝的通项公式为a,,=n2-lln+-,a$是数列｛a,J的最小项,

nn

则实数a的取值范围是(D)

A.[-40,-25]B.[-40,0]

C.[-25,25]D.[-25,0]

解析：由条件得对任意的n∈N*,有an2a5恒成立，

即n2-lln+-≥--30,

n5

整理得(n-5)(n-6)学任巴旦.

Sn

当n≤4时,不等式化简为a25n(n-6)恒成立，

当n=l时,5点『6)取得最大值-25,

所以a2-25.

当n≥6时,不等式化简为a≤5n(n-6)恒成立,所以a≤0.

综上,实数a的取值范围是[-25,O].

11.（多选题）设a,b∈R,无穷数列｛ar,｝满足:a】=a,atl,1=-c⅛+ba11T,n∈N*,

则下列说法正确的是（ABC）

A.b=l时,对任意实数a,数列｛aj单调递减

B.b=-l时,存在实数a,使得数列｛an｝为常数列

C.b=-4时,存在实数a,使得｛an｝不是单调数列

2018

D.b=0时,对任意实数a,都有a2020>-2

解析：当b=l时，an÷ι=-αn+an-l,an÷ι-an=-αn-l<0,

则对任意实数a,数列｛all｝单调递减,故A正确.

---------2

当b=^l时，an+ι=cι^anl,an+ιan=cz^anlan=（a∏+l）≤0,

存在实数a=T,使得数列⑸｝为常数列，故B正确.

当b=-4时,an÷ι=-αn-4a∏-l,取a=-3,可得｛all｝不是单调数列，故C正确.

当b=0时，a∏tι=-α⅛-l≤-2an,取aι=a=l,

234529

则a2≤-2,a3≥2,a4≤-2,a5≥2,a6≤-2,…,a2020≤-2°'.故D错误.

12.已知数列｛a,｝满足皿3=2,a∣=20,则幺的最小值为（C）

rnn

A.4√5B.4√5-l

C.8D.9

解析：由a∏+ι-a∩=2n知a2-aι=2X1,aɜ-¾=2×2,,*,,a∏-a∏τ=2（n-1）,n22,

2

以上各式相加得a,1-a1=n-n,n≥2,

所以a,,=n2-n+20,n≥2,

当n=l时,aι=20符合上式,

所以幺=n+空-l,n∈N*,

nn

所以当n≤4时,血单调递减，当n≥5时,出单调递增，因为

nn45

所以血的最小值为F=⅛=8∙

n45

22

13.在数列｛aj中,al=2,(π+l)an÷ι=2(n-2π+2)an,求数歹U｛aj的通项

公式.

2

&i+i2[(1)+1]

解：由已知2

αnn+l

所以当n22时,

2

I

=工.阻二L.................≤3.£2-2[(Q-2)+1]2[(71-3产+1]2[12+]

ɑnɑɪ/、22

ɑn-l%1-2。2ɑi(τi-l)+1(n-2)+l22+l

2[02+l].2.2n

12+1(n-l)2+l,

当n=l时,a1=2也满足上式,

所以2w?

14.已知数列｛aj中,a1=l,其前n项和为Sn,且满足2Sn=(n+l)an(n∈N*).

(1)求数列｛aj的通项公式;

π

⑵记bn=3-λ成,若数列依｝为递增数歹U,求实数λ的取值范围.

解：⑴因为2Sk(n+l)an,

所以2S11+ι=(n÷2)an÷ι,

所以2an÷ι=(n+2)an+-(n+1)an,

即na*(n+l)a,所以安当，

tln+1n

所以叽*所以a=n.

nn-l1n

n2

⑵由⑴得,bn=3-λn.

n+2n2n

bn+ι-bn=3'-λ(n+l)-(3-λn)=2∙3-λ(2n+l).

因为数列｛bn｝为递增数列，

所以2