2023-2024学年湘教版选择性必修第一册 4-2排列 学案

4.2排列最新课程标准(1)通过实例，理解排列的概念，能利用计数原理推导排列数公式．(2)能解决简单的实际问题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，按照一定的顺序❶排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．要点二排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有________________叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数❷，用符号__________表示．要点三排列数公式及性质1Anm＝________________＝________(m2Ann批注❶就是说与位置有关，在实际问题中，究竟何时有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面学习的组合的根本区别．批注❷“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”，它是一个正整数；“排列”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列”，它是指具体的排法．基础自测1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)a，b，c与b，a，c是同一个排列．()(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现．()(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化．()(4)由于排列数的阶乘式是一个分式，所以其化简的结果不一定是整数．()2．(多选)下列问题中是排列问题的是()A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动C．从a，b，c，d四个字母中取出2个字母D．从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数3．A6A．30B．24C．20D．154．90×91×92×…×100可以表示为()A．A10010B．A10011C．5．从1，2，3中任取两个数字组成不同的两位数有________个．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1排列的概念例1判断下列问题是不是排列问题：(1)某班共有50名学生，现要投票选举正、副班长各一人，共有多少种可能的选举结果？(2)从2，3，5，7，9五个数字中任取两个数分别作为对数的底数和真数，共有多少个不同的对数值？(3)有12个车站，共需准备多少种车票？(4)某会场有50个座位，从中任选出3个座位，共有多少种不同的选法？方法归纳判断一个具体问题是否为排列问题的方法巩固训练1下列问题是排列问题的为________．①选2个小组分别去植树和种菜；②选2个小组分别去种菜；③某班40名同学在假期互发短信；④从1，2，3，4，5中任取两个数字相除．题型2与排列数公式相关的计算例215A．107B．323C．320D．348(2)已知An3A方法归纳排列数的计算方法(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．巩固训练2(1)若x是正整数，且x<55，则(55－x)(56－x)…(68－x)等于()A.AC.A2AA．12B．24C．30D．36(3)如果An题型3利用排列与排列数解决简单的实际问题例3有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．巩固训练3(1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A．144B．120C．72D．24(2)从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，共有()种参赛方案．A．120B．240C．300D．360(3)将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)．这样的排列方法有________种(用数字作答)．易错辨析忽略排列的有序性致错例48人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．解析：先排甲、乙，有A42种排法，再排丙，有A41答案：5760【易错警示】出错原因纠错心得求解本题时容易出现下列两种错解．错解一：甲、乙两人在前排，前排还少2人，从余下5人(不含丙)中选2人排在前排，有A52种排法；丙在后排，余下的3人有A错解二：甲、乙两人在前排，有A22种排法，再从余下5人(不含丙)中选2人排在前排，有A52种排法；其余4人(含丙)在后排，有排列问题中，若对元素的位置没有要求，则各元素间是有顺序之分的，解题时要时刻把握这一“原则”．4．2排列新知初探·课前预习[教材要点]要点二不同排列的个数A要点三n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)n[基础自测]1．(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：A是排列问题，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关；B不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；C不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．答案：AD3．解析：A62＝答案：A4．解析：由排列数公式可知原式为A100答案：B5．解析：12，13，21，23，31，32共6个．答案：6题型探究·课堂解透例1解析：(1)是．选出的2人，担任正、副班长人选，与顺序有关，所以是排列问题．(2)是．对数值与底数和真数的取值有关系，与顺序有关．(3)是．起点站或终点站不同，则车票不同，与顺序有关．(4)不是．只是选出3个座位，与顺序无关．巩固训练1解析：对①，植树和种菜是不同的，存在顺序问题，是排列问题；对②，不存在顺序问题，不是排列问题；对③，存在顺序问题，是排列问题；对④，两个数相除与这两个数的顺序有关，是排列问题．答案：①③④例2解析：(1)原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.(2)由An+12-An2＝10，得(n＋1)n－(3)∵n＋3≤2n，n＋1≤4，且n∈N＋，∴n＝3，∴A2nn+3答案：(1)D(2)5(3)744巩固训练2解析：(1)由排列数公式或特殊值知B正确．2A76(3)易知n＝17，又4＝n－m＋1＝18－m，所以m＝14.答案：(1)B(2)D(3)1714例3解析：(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A7(2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A7(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A4(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A44种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排共有A5(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位置中安排甲，有A51＝5(种)排法；再安排其他人，有A6巩固训练3解析：(1)先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端共有4个位置，再把三人带椅子插在这四个位置中，共有A4(2)方法一从人(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：第1类，甲不参赛，有A第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种排法，然后安排其他三棒，有A53由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有方法二从位置角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲外的5人中选2人，有A52种选法；其余两棒从剩余4人中选，有由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒参赛方案共有A方法三(间接法)不考虑甲的约束条件，有A64种安排方法，甲跑第一棒或第四棒有2A解析：(3)方法一(整体法)5个元素无约束条件的全排列有A55种方法