2022-2023学年湖北省黄冈市高一下学期期中联考模拟数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省黄冈市高一下学期期中联考模拟数学试题

一、单选题

1.设集合A={x∣T≤x≤2},S={x∣0≤x≤4},则Venn图阴影区域表示的集合是()

CXD

A.{x∣0≤x≤2}B.{x∣l≤x≤2}C.{x∣0≤x≤4}D.{x∣l≤x≤4}

【答案】A

【分析】利用交集的定义即可求解.

【详解】由题意可知，Venn图阴影区域表示的集合是AcB,

所以AB={x∖-l≤x<2}{X∣0≤X≤4}={Λ∣0≤X≤2}.

故选：A.

2.已知i为虚数单位，若复数(l+αi)(2+i)是纯虚数，则实数。等于

A.-2B.ɪC.—D.2

22

【答案】D

【分析】先化复数代数形式，再根据纯虚数概念列式求解.

【详解】因为(l+ai)(2+i)=2-α+(2α+l)i,所以2-〃=0,2〃+1#0,即a=2,选D.

【点睛】本题考查纯虚数，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.'">y”的一个充分条件可以是()

A.2∙r^v>-B.X2>/

2

v∙

C.->lD.xt2>yt2

y/

【答案】D

【分析】结合分数不等式的解，不等式的性质，及指数函数的性质，利用充分条件逐项判断即可.

【详解】由x>y,即x-y>O,所以

对选项A,2χ-y>g=2'->'>2-'^x-y>-∖,

所以x-y>-l不一定有x-y>O,故A不正确，

选项B,由∕>y2,则χ2一J>0=(χ+))(χ一y)>0,

x+y>0fx÷y<O

则,故B项不正确,

x-γ>0^[x-y<0

选项C,-^>l=>ʌ-l>0=>--->0=>y(x-j>)>0,

yyy

'>00或P<°0

则故C不正确,

x-y>01x-y<0

选项D,由Xr>)/知产>0,

所以χ>y,成立，故D正确，

故选：D.

4.己知。为锐角，sin(α+45)=j则sin2α=()

7c1447

A.—B.—C.±—D.-----

25252525

【答案】D

【分析】利用诱导公式和二倍角余弦公式直接求解即可.

ɑ*7

【详解】sin2α=-cos(2α+90)=-[l-2sin2(α+45)J=-l+2×-.

故选：D.

5.渔民出海打鱼，为了保证运回的鱼的新鲜度(以鱼肉内的主甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度.三

甲胺是--种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度

下降，鱼体开始变质，进而腐败)，鱼被打上船后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏.已知某种鱼

失去的新鲜度〃与其出海后时间，(分)满足的函数关系式为〃=吐"若出海后20分钟，这种鱼失

去的新鲜度为20%,出海后30分钟，这种鱼失去的新鲜度为40%,那么若不及时处理，打上船的这

种鱼大约在多长时间刚好失去50%的新鲜度()

参考数据Tg2=0.3

A.33分钟B.43分钟C.50分钟D.56分钟

【答案】A

∕C20')=maιn=02

【分析】由题意可得：7八二，可得〃⑺的解析式，再令出力=0.5,利用对数的运算性

[∕ι(30)=ma3x0=0.4

质求解可得答案.

【详解】解：由题意可得：〔管二::荒，解得α=2打=0.05,

IΠ∖u∖J)一JTlCl—U.4τ

故：h(t)=0.05×

（ɪv

令力⑺=0.05x2记=0.5,可得向=］。，两边同时去对数，

\/

故f=10∙^W=U∙=33分钟，

Ig20.3

故选：A

【点睛】本题主要考查指数型函数模型的实际应用，考查学生数学建模的能力与计算能力，属于中

档题.

6.若同=2,W=3,db=4,则卜-24的值是（）

A.24B.2√6C.-24D.-2√6

【答案】B

【分析】利用向量数量积的运算律可求得卜-2》『，由此可求得结果.

【详解】∣α-2⅛∣2=∣α∣2-40∙⅛+4∣⅛∣2=4-16+36=24,.ψ-2⅛∣=2√6.

故选：B.

SinXCOSX

4aι

若将函数/（X）=

7.定义行列式运算：=a↑a4-a2ai,的图象向右平移夕（夕＞。）

%41出

个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则。的最小值是

πC汽5π

A.一B.一C.——D.

633^6^

【答案】D

【详解】【解析】/（X）=^siru--COSX=2sinL-的图象向右平移。个单位后，得

TrJr

y=2sinf的图象,因此W-Z=Ed£2）=0=-工-也（左€2）,又夕＞0,所以0的最小正值

OO

为夕=?5π,选D.

O

8.在ʌABC中，a=2b=BC=60°,则SABe=（）

A.2√3B.且C.6D.巫

28

【答案】D

【分析】由题意已知条件，直接使用三角形面积公式即可求解.

【详解】因为α=2b=G,所以α=6b=与,

又因为C=60°,所以S=—cιbsinC=-×∖∣3×^-×^-=^^-.

22228

故选：D.

二、多选题

9.己知复数z=T-i,则（）

2

A.Z的虚部为1B.z=-l+iC.∣z∣=√2D.z=2i

【答案】BCD

【分析】根据复数的概念，共规复数的定义、复数模长以及乘积运算求解即可.

【详解】由题意得Z的虚部为-1,z=-l+i,∣z∣=√2,z2=（-1-i）2=2i.

故选：BCD

10.（多选题）有下列四种变换方式，能将y=sinx的图象变为y=sin（2x+：）的图象的是（）

A.向左平移;个单位长度，再将横坐标变为原来的;（纵坐标不变）

42

B.横坐标变为原来的;（纵坐标不变），再向左平移弓个单位长度

C.横坐标变为原来的;（纵坐标不变），再向左平移二个单位长度

D.向左平移弓个单位长度，再将横坐标变为原来的;（纵坐标不变）

oZ

【答案】AB

【分析】根据正弦型函数的图象变换的规律进行逐一判断即可.

【详解】A：V=Sinx的图象向左平移;个单位长度，得到y=sin（x+f）的图象，再将横坐标变为原

来的T（纵坐标不变），得到y=sin（2x+：）的图象，故本选项符合题意；

B：y=sinx的图象的横坐标变为原来的;（纵坐标不变），得到y=sin2x的图象，再向左平移S个

，O

TTTT

单位长度，得到y=sin[2（x+g）]=sin（2x+J）的图象，故本选项符合题意；

84

C：V=Sinx的图象的横坐标变为原来的;（纵坐标不变），得到y=sin2x的图象，再向左平移E个

单位长度，得到y=sin[2（x+f]=sin（2x+∕）=cos2x的图象，故本选项不符合题意；

D：y=sinx的图象向左平移弓个单位长度，得到y=sin（x+g）的图如再将横坐标变为原来的;（纵

坐标不变），得到＞=sin（2x+1）的图象，故本选项不符合题意，

故选：AB

11.德国数学家狄里克雷(Diri(Met,PeterGIIStaVLejelme,1805-1859)在1837年时提出：“如果对

于X的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是X的函数这个定义较清楚地说明了

函数的内涵.只要有一个法则，使得取值范围中的每一个X,有一个确定的y和它对应就行了，不管

[l,ɪeQ

这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄里克雷函数O(X)=八W八.下列关于狄

里克雷函数O(X)的性质表述正确的是()

A.。⑺=1

B.O(X)的值域为{0,1}

C.任取一个不为零的有理数T,O(X+T)=Q(X)对任意的XeR恒成立

D.∖∕xl,x2e∂κQ,£)(%+%)=D(XI)+£>(0)恒成立

【答案】BC

【解析】结合已知定义可写出函数解析式，然后结合函数的性质即可判断.

【详解】解：由题意可得D(X)=PE理数，

[l,x∈Q

由于乃为无理数，则Xm=O,故A错误；

结合函数的定义及分段函数的性质可知，函数的值域{0,l},故8正确；

对于C：任取一个不为零的有理数T,当X为有理数时，x+T为有理数，则3(x+T)=O(x)

当X为无理数时，x+T为无理数，则。(x+7)=D(X),综上可得D(x+T)=Q(x)对任意的XeR恒成

立，故C正确；

对于D：若Xl=JΣ,x2=-√ɪ时，x∣+Λ2=O,所以O(XJ=O(X2)=0,D(x,+x,)=l,则

故错误；

D(x1+x2)≠D(XI)+D(X2),D

故选：BC.

【点睛】本题主要考查了函数的定义及函数的性质的应用，解题的关键是正确理解已知定义，属于

基础题.

12.己知函数/(x)满足：当x<l时，f(x—4)=∕(x),当x∈(-3,l]时〃x)=k+l|—2；当χ>l时,

/(Λ)=logn(x-l)(a>0,且αxl).若函数"x)的图象上关于原点对称的点至少有3对，则()

A.〃x)为周期函数

B.f(x)的值域为R

C.实数。的取值范围为(2,+8)

D.实数。的取值范围为［2&,y)

【答案】BC

【分析】根据对数函数的图象与性质，结合函数的周期性和函数的图象，逐项判定，即可求解.

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A中，当x>l时，〃x)=Iog“(x-l)(a>(),α≠1)不是周期函数，所以A错误；

对于B中，当x>l时，/(x)=Iogu(x-1)(«>(),α≠l),此时函数的值域为R,

所以函数的值域为R，所以B正确；

对于C中，当xe(-3,1］时，/(x)=∣x+l∣-2,且当x41时，/(x-4)="x),

作出函数/(x)在(-8,0］上的部分图象关于原点对称，

若函数/(x)的图象上关于原点对称的点至少有3对，

则函数F(X)=⅛(X-I)的图象与所作的图象至少有三个交点，

［a>∖

必有I八C，解得α>2,所以C正确，D不正确.

［Iogn(5-1)<2

故选：BC.

三、填空题

~x+2χca

13.已知函数〃X)=e'的最小值为e(e为自然对数的底数)，则”2)+∕(ln2)=_______.

ex,x≥a

【答案】-e2+2e

2

【分析】根据“x)的最小值为e,得到”的值，然后分别计算“2)和/(ln2)的值，得到答案.

【详解】函数/(x)=∙e

[ex,x≥a

当x<“时，/(x)单调递减，当x≥”时，“X)单调递增，

Iea-g

因为/(x)最小值为e,所以e-K>e

[a=l

解得、-所以α=l∙

[a≥∖

e/2r<1

即“X=：

ex,x≥∖

所以"2)=2e,/(ln2)=e-l"2+2=le2,

所以/(2)+"ln2)=ge2+2e

故答案为：ɪe2+2e.

【点睛】本题考查根据分段函数的最值求参数，求分段函数的值，属于简单题.

14.已知0是锐角ΔABC的外接圆圆心，A是最大角，若擎48+笔AC=机A0,则m的取值

sinCsinB

范围为.

【答案】[6,2)

【分析】利用平面向量的运算，求得机=2SinA,由此求得加的取值范围.

【详解】设。是AB中点，根据垂径定理可知8,回，依题意

m2

CoSBAnΛOCOSC4八An(Ahcc∖AnAnι∏/COSJB力CCOSACoSCm工JZT

AB∙AB+AC-AB=mlAD+DO]`AB=-AB,即r-------+------------=—c2,利用n正I

sinC-------------SinB')2sinCsinB2

弦定理化简得cos3+cosAcosC=£sinC.由于cos8=-CoS(A+C),所以

tn

sinAsinC-cosAcosC+cosAcosC=—sinC,即m=2sinA.由于A是锐角三角形的最大角，故

2

A∈,故M?=2sin4w[6,2).

A

【点睛】本小题主要考查平面向量加法、数量积运算，考查正弦定理，考查三角形的内角和定理等

知识，综合性较强，属于中档题.

15.已知2sin(α-j∣)=cosα,则tane=.

【答案】^+l∕l+√3

【分析】由差的正弦公式化简即可得出.

L兀冗

H=COSa,所以2sinαcos∙^∙-2cosαsin]=cosα,

整理可得Sina=(6+Dcos<z,BPtana=√3+l.

故答案为：∖∣3+1.

16.设。是-ΛBC内部一点，S,OA+OC=-2OB，则二AOB马,,AOC的面积之比为.

【答案】1:2

【分析】先作出草图，然后分析出O的位置，先考虑长度的比值，最后即可得到面积的比值.

【详解】设。为AC的中点，如图所示，连接。。，则。4+OC=2OQ.又OA+OC=-2O8，所以

OD=-OB,即。为8。的中点，且SMC=2S"g,即一AOB与以0C的面积之比为1:2.

【点睛】任意三角形中，若。为BC中点，这里可以根据三角形法则或者平行四边形法则得到:

AD=-(AB+

2、

四、解答题

17.计算

(1)计算：0.064不一(-1)°+16；+0.253；

21g2+lg3

(2)计算：.I....I

l+-lg1θ.36+-lg180

【答案】(D10(2)1

【解析】(1)利用有理指数塞的运算性质化简(2)直接利用对数式的运算性质化简运算.

【详解】(1)原式=043^T+24‰0∙5吗

=0.4',-l÷23+0.5

=2.5-1+8+0.5=10.

ʌ一-lg4+33―∣gi2

(2)原式=1+g-062+gIg2'=1+Ig0.6+Ig2

_炮12_勺2_]

Iglθ+lgθ.6+lg2lgl2'

【点睛】本题考查了指数式的运算性质和对数式的运算性质，解答的关键是熟记有关运算性质，属

于容易题.

18.已知函数/(x)=sinx,将其图像向右平移£个单位，再将其图像上每一点的横坐标变为原来的

6

3倍，再将每一点的纵坐标变为原来的!倍，得到函数g(x)的图像

(1)求g(x)的最小正周期和对称中心；

(2)求g(x)在上的值域.

【答案】⑴万,(,+年,0),无∈z,⑵I-H

【分析】(1)利用三角函数的图像变换,求解得到g(χ)再计算最小正周期与对称中心即可.

TT

(2)利用X的范围得出2X-£的范围,再结合正弦函数的图像求值域即可.

O

1Jr

【详解】(1)根据题意g(x)==sin(2x-9

26

故g(χ)的最小正周期τ=3="，

令2x-g=,解得X=/+故g(x)的对称中心为(2+”,0),AeZ.

6212122

、1,ʌ5τc_τcTC.

(z2)x⅛x∈rlO,-]1H>J∙,2x--∈r

12O63

冗∖

，sin(2x-—)∈[―—,1],

62

/.g(ɪ)e[-ɪ,ɪ]

【点睛】本题主要考查了正弦函数的图像变换以及根据定义域求值域的问题等.属于基础题型.

19.已知向量4=(3$111¥,8$23)，b=(cosx,g),XeR,设函数/(x)=o∙A.

⑴求函数/(x)的最小正周期；

⑵求函数/(χ)在θ,ɪ上的最大值和最小值.

【答案】⑴兀

(2)∕(x)在卜彳]上的最大值和最小值分别为叵，

,2」22

【分析】(1)利用数量积的坐标运算及二倍角的正弦公式，结合辅助角公式及三角函数的周期公式

即可求解；

(2)根据(1)的结论及三角函数的性质即可求解.

【详解】(1)因为4=(35欣,8$2同，h=(cosx,;),XeR,

所以/(%)=〃•〃=(3sinX,cos2x)∙(cossinxcosx+~cos2x

=∙∣sin2x+gcos2Jt=^^Sin(2κ+e)(tane=g,取夕为锐角).

.∙.函数的最小正周期为y=π.

(2)由⑴得/(x)=∕^sin(2x+°)(tane=；,取8为锐角).

TT

因为XeO;,

所以2x+ee[0,兀+e].

当2x+g=π+。时，/(x)取得最小值为Sin(Tr+°)=SinS==^^g；

当2x+*=5时，〃x)取得最大值为萼SinI=萼.

所以函数f(χ)在卜彳]上的最大值和最小值分别为典，-∣∙

20.如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30。相距卡+近海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45。

的方向以3海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以2√Σ海里/小时的速度沿着正东方向直线

追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，

以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以3√Ξ海里/小时的速度沿着直线追击

(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里

(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船

【答案】(1)两船相距6海里.

(2)巡逻艇应该北偏东75°方向去追，才能最快追上走私船.

【分析】(1)在.ΛBC中，解三角形得BC=2√J,ZABC=45°,在438中，由余弦定理求得C"

(2)在aBCD中，解三角形得/8CZ)=60°,ZBDC=90,得到NsE=I35°,在“8E中，由正

弦定理求得NoCE=30,结合图形知巡逻艇的追赶方向.

【详解】(1)由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时

BD=3xl=3,4C=2√∑χ1=20,

由题意知ZBAC=90°-30°=60

在“ABC中，ΛB=√6+√2,AC=2^

由余弦定理得叱=+Ac?-2AB-ACcosNBAC

=(√6+√2)2+(2√2)2-2(√6+√2)∙2√2x1=12

2

所以BC=26

在MC中，由正弦定理得H=缶即2√12√J

sinZABCsin60

所以SinNABC=正NABC=45°,(135舍去)

所在ZACB=180°-60°-45°=75°

又ZCBD=180φ-45°-45°-60°=30°

在ABCQ中，NCBO=30",8。=3,BC=2有

由余弦定理得CD2=BC2+BD1-2BCBD-cos30°

=(2√3)2+32-2×2√3×3∙COS30^=3

.∙.CD=√3,

故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距G海里.

(2)当巡逻艇经过，小时经CE方向在E处追上走私船,

则CE=3√2∕,DE=3t,CD=3

CDBDBC

在MS中，由正弦定理得：

sinZBCD~sinZBDC

则G_32&

sin30sinZBCDsinZBDC

所以sinZBCD=B,:"BCD=60°,ZBDC=90°,NCDE=135°

2

CCDE

在,CZ)E中，由正弦定理得:

SinNCDEsinZ.DCE

3bSinI35°1U

则SinNQCE二--故NDCE=30(150舍)

3√2f2

ZACE=NACB+ABCD+ADCE=75°+60°+30=90+75’

故巡逻