线性代数的一些公式

线性代数总复习n阶行列式1.排列的逆序数及其奇偶性。逆序数：一个排列中全部逆序的总个数。计算方法：对排列中每个数字，计算它的后面比它小的数的个数，然后求和（或者计算它的前面比它大的数的个数）逆序数为奇数（偶数）的排列称为奇（偶）排列应用：1.直接计算：P41， 2.行列式一般项的符号的计算。例1：P23.5例2:6阶行列式一般项a252.行列式的计算根据定义计算行列式。不同行不同列的元素的乘积的代数和。行列式的一般项的定义：利用定义计算行列式适用于低阶（3阶以内）或非零元素分布稀疏的行列式应用：例：P232.4初等变换化为上三角行列式。（直竖造零）行列式三种初等变换。注意三种变换对行列式值的影响技巧：所有行（列）都加到第一行，逐行(列)相加(减)应用：一般行列式的计算例：平时作业。解方程：P243行列式的展开。应用：行列式中余子式和代数余子式代数和的计算P17.例1.9P203.先分清是代数余子式还是余子式，是行列式的哪一行或列如果是余子式，先化成代数余子式将代数余子式前面的系数取代原行列式里对应的行或列，计算得到的新行列式的值。注：行列式的计算，可以多种方法综合运用，比如可以先用初等变换将行列式化为某一行或列元素较少的形式，然后再利用行列式的展开。等。。第二章矩阵及其运算几个常用的矩阵的性质：若为多项式，则矩阵性质的应用：解矩阵方程（需要求逆的和不需要求逆的）矩阵的计算。之间的转换计算。注意技巧，大部分情况可以通过矩阵的运算性质化简，避免“死算”。应用：平时的作业题已知矩阵求伴随矩阵，或已知伴随矩阵（二阶），求原矩阵P65.2.3.矩阵多项式。应用：1.给定一个矩阵多项式方程，判断另一个矩阵多项式可逆。（P41.例2.13，2.14）P43.102.求矩阵的初等变换初等矩阵的定义：单位矩阵只经过一次初等变换得到的矩阵。（三种类型）应用:会判断一个矩阵是否初等矩阵。P654.m*n型矩阵A经过一次初等行变换等于在A的左边乘以对应的m阶初等矩阵。A经过一次初等列变换所得的矩阵等于在A的右边乘以对应的n阶初等矩阵。用初等变换求矩阵的逆。矩阵的秩已知矩阵，利用初等变换求矩阵的秩。化行阶梯矩阵和行最简矩阵P571已知矩阵的秩，讨论矩阵元素中参数的取值范围。P572，3，4向量组的线性相关性向量组线性相关性的定义及判别。P69例3.1向量组线性相关当且仅当；向量组线性无关当且仅当；向量组之间的线性表示与线性相关性。应用：定理3.3，定理3.4给定向量组之间的线性表示关系，推断被表示向量组的线性相关性。P75例3.43.5写出表出矩阵计算表出矩阵的秩向量组的极大无关组与秩。应用：求一个向量组的极大无关组与秩，并把其它向量用极大无关组表示出来。P803.线性方程组解的结构解的判断齐次线性方程组Ax=0有非零解<=>r(A)<n.(或|A|=0，A为方阵)非齐次线性方程组Ax=b有唯一解r(A)=r(A,b)=n非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解r(A)=r(A,b)<n非齐次线性方程组Ax=b无解r(A)?r(A,b)应用：由解的情况判断矩阵中参数的取值范围。P953P99例4.7P1013.4.齐次线性方程组:所有解向量构成向量空间。基础解系的维数：；基础解系的求法：系数矩阵通过初等行变换化为行最简形非零首元所在列对应的是非自由变量，其余为自由变量。令自由变量取一组线性无关的值。(通常取单位向量组。)计算其它变量的值。从而确定基础解系。应用：例4.1P94.2非齐次线性方程组：通解可以通过对应的齐次线性方程组的通解和非齐次线性方程组的一个特解来表示。应用：P97例4.4解的性质：P96性质4.44.54.6应用:不知方程组的情形下求通解P97例4.54.6P1016.先判断对应的齐次线性方程组的基础解系的维数再需要根据给出的解的关系，凑出多个非齐次线性方程组的特解算出齐次线性方程组的基础解系，写出通解。方阵的特征值与特征向量向量的内积、长度及正交性。应用：根据正交性确定向量组中分量取值。.特征值与特征向量。应用：求矩阵的全部特征值与特征向量。P114例5.5例5.6P117.1特征值的性质，矩阵多项式的特征值应用：已知A的特征值，求A的矩阵多项式的行列式。P115例5.7P1173，4特征向量的性质（不同特征值对应的特征向量线性无关）应用:判断一个向量不是特征向量。P1165.8P118.7二次型实二次型及其矩阵形式。应用：给定一个二次齐次函数形式的实二次型，会写出其对应的矩阵形式。并求实二次型的秩。P132例6.1实二次型的正、负惯性指数。应用：先标准化（三种方法任选），再看其中正平方项和负平方项的个数。P1