2023年江苏省宿迁市成考专升本高等数学二自考真题(含答案带解析)

2023年江苏省宿迁市成考专升本高等数学

二自考真题(含答案带解析)

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题(30题)

[l(xjsinx+l)dx=

1.LOO

A.0B.1C.2D.3

已知/(x)的一个原函数为x2+sinx,则J∕'(2x)dx=

A.4X+COS2ΛB.2x+-cos2x

2

C.2x+-cos2x+CD.x+2cos2x+C

2.2

设100件产品中有次品4件以中任取5件产品,不可能的事件是()

AJS件都是正恭”B.“5件都是次品”

3CJ至少有一件是次品”D.“至少有一件是正品”

lime*=

4.7OO

A.0B.iC.e^'D.+∞

5.

κ

"γ"ɪɔV*∙1XWɪ

设函数/（外='λ则lim/r等于

x"-1.0<.r<ɪ.•-

—3B.C.0D∙不存在

设/"(x)的一个原函数是(x+l)sinx,则，/(x-l)dx=

A.sinɪC.O

函数y=e;在定义域内单调()

A.增加且凸B.增加且凹C.减小且凸D.减少且凹

Y

8函数/(χ)=∣+sin可在点H=O处的导数是()∙A.0B,1∕3C,1/2D.3

9.

已知/(")=arclan『,则/'(1)等于()•

若Iim/(Q)=则/(O)=___________

1U.ɪ

11.下列广义积分收敛的是

A.A.'W

XInx

[+~e^2xdr

D.,

即设/（X）的一个原函数为xIn。，则/（x）的导函数是（）

A（l∏r÷2）Iru

ɪ（1+Inx）

B.X

N(I-InX)

C.X

ɪ(l+Inx)

D.*

下列结论中不正确的是（）

A.若U（χ））=O,1（见）=0.则不能确定点H=XO是否为函数的极值点

K若工=工。是函数/Cr）的极值点,则，（4）=。或/（々）不存在

C.函数/Cr）在区间（0,6）内的板大值一定大于极小值

13.D.，Gro）=O及，（工。）不存在的点工=£。,都可能是人工）的极值点

若Jy(X)d*=Me'+C.贝∣Jʃ~f(Inx)dɪ等于(

A.XInX+CB.-XlnX+C

C.-In*+CD.-Inx+C

14.XX

巳知曲线y-∕（∙r）上任意点的切线斜率为3∕-3∙r-6,且当/■-】时■学是极

15.大值.则/（ʃ）的极小值为.

16.若x=-l和x=2都是函数f(x)=(α+x)eb7x的极值点，则a,b分别为

A.A.1,2B.2,1C.-2,-1D.-2,1

Jimd÷ɪ)

A.1

B.e

C.2e

17.D∙e2

ʃ11lru∣dx=

18.c

[Ilnxdx+「Inxdx

A.A.e1

BʃiInxdx-∫eInxdx

-ʃ!Inxdx+「Inxdx

C.;

-∫JInxdx-「Inxdx

D.C

任意抛掷三枚硬币,恰有两枚硬币朝上的概率是（）

D.

20.已知/(*)=Z+e',g(X)=InX,则/[g'(%)]等于().

Iɪ

----F---

A.Xex

1±

Bv

CInx+—

C.e，

I±

D.7^e*

已知y=@?，则y'=

21.x-OO

COSX

A.2x

-COSX

B.2x

xcosx-2sinx

3

C.X

XCoSX+2SinX

x

22.

设Iim/(x)=ɪimg(x),则Iim

XTXQ×→x0XTXOg(χ)

A.=0B.=1C.无穷大D.不能判定

-C设函数/Gr）=「（，一】）也,则，（工）=

23.

A.-lB.0C.lD.2

24.已知前4"斗则心F）o

A.-⅛

B.-1

C.2

D.-4

25.称e“是无穷小量是指在下列哪一过程中它是无穷小量［］

A.x→OB.x→∞C.x→+∞D.x→∞

26.函数f(x)在⑶b］上连续是f(x)在该区间上可积的()

A.必要条件，但非充分条件

B.充分条件，但非必要条件

C.充分必要条件

D.非充分条件，亦非必要条件

设，(入)=皿丽入，则Iim=

27.ι2X-2

A.A.1/26B.l/5C.l/2D.1

28.设函数z=χ2+3y2-4x+6y-l,则驻点坐标为Oo

A.(2,-1)B.(2,l)C,(-2,-l)D.(-2,1)

29.

袋中有5个乒乓球，其中4个白球，1个红球，从中任取2个球的不可能事件是

A.{2个球都是白球}B.{2个球都是红球}

C.{2个球中至少有1个白球}D,{2个球中至少有1个红球}

30.

设z=∕(x,V)在点(1,D处有#1,l)=∕ɑ,1)=0,且/：(1,1)=2,/：(Ll)=O,

1)=1.则/(1,I)

A.A.是极大值B.是极小值C.不是极大值D.不是极小值

二、填空题(30题)

设，(x)=χ2.g(x)=COSX•则7~∕(g(x))=--------

32.，*

制#产Pr在点(W处的场点线方程”

O0∙

34.

己知∫'71-X2dx=∙^，则[]Jl-χ2dx=

35.

36.

设/(幻=2。8(工)=3，则/(g,(x))=

函数y=ln(l+χ2)的单调递减区间是

37.

38.

设Iim(I+2)*"=eT,IS∣J⅛=

"→-n

39.

sin一,ɪ>0.

x

设函数八G=(ɪJHlimyX工)=

ʃsin一•x<0,

Jr

C.1D.不存在

A.-1B.0

40.

设Φ(x)=ʃɪe-，dt,则φ'(∙r)=

dx=

42.

不定积分IHSin(H2+Ddx=

43

44设P(X)=ʃ∣n(l+r5)dl,Λ∣φ"(x)

ɪeosɪdɪ=

/(x+∆x)-∕(x),

设f(x)=ln4.贝IJIlm

46.AX

ln(l+2x)

X1

设函数/(x)=∙X,在X=O处连续∙IIlJa=

aX=O

X却…2

设/3=：,则j/(x)dx

ex<0JT

48.

49.设i(力吗⅛

50.求二元函数z=f(x,y)满足条件φ(x,y)=0的条件极值需要构造的拉格

朗日函数为F(x,y,λ)=

-1函数/")=*在∙r=0处的二阶导数/'(0)=

ɔJL•

⅞数V=In(cotX),则dy=

52.r

函数y=VTH在区间［-1,I］上的最大值是

53.

设z=∕(∕-yj),且/(G可微，则导

54.

55.

已知f(x-y,Xy)=x2+y2-xy,则也"把+"(：，>)=

ox∂y

2

limX.-2√3X+3S

56.7

57.

设y=∕Q7),且/可导，则y=.

58.

x2+Λ

Iim厂

-2x-X+2

59』CW曲=-

60.

%+α,”式°,且Iimf(l)存在，则α=

设/(x)=

In(I+e),x>0L。

三、计算题（30题）

61.设曲线y=4-x2（x≥0）与X轴，y轴及直线x=4所围成的平面图形为

D（如

图中阴影部分所示）.

y.

图1—3—1

y

①求D的面积S；

②求图中X轴上方的阴影部分绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy.

ʃaresinʃ.

求不定积分...-----..<tr

62.J∖—

63设z=z(%y)是由方程x1+√-e,=O所确定的∣⅛函数,求白

求不定枳分

64.Jy∕x(∙K—X)

rιr√∣-/

65.计+y∣dr.

66.求函数/(上)-(χ-i)χ÷的单■区同与械值点.

67.

计算二重积分∕=]J∙∣d∙rdy,其中D为由曲线y≡≈1T与y=∙r'7所图成的区域.

计算定积分广√1-eu<lr.

68.」。

if

69.∙<τ√⅛

计算二次积分

JoJyʃ

r`If算定枳分门n(√7+

72.J∙

73.计算B'ad∕d.v∙其中。为尸+y≤】

74求不定积分In(J■TVz1+*，)dɪ.

75.设Z为由方程f(z+y,y+z)=0所确定的函数.求偏导数

76设>=y(x)由方程y'=jt+arccos(zy)所确定,求业.

X=α(r-s»n/>»ðɔ,djv

巳知参数方程‹八，、求看NP

77.V=a(1—cos/'•

求极网Iimqo还；一名

78.√7-2•

7n求函数F=/*启的导致M

求极限IimCOtj•/」------)

80.

81设函数g=∕f∙j)∙∕具有二阶连续偏导数,求量,矗.

计算二重积分g(/+y)dxdy,其中D为曲线y-∙r∣与工=/所留成的区域.

82.

求极限Iim/1÷-⅛-√e二

83.∙I”)

84.已知函数f(x)=-x2+2x.

①求曲线y=f(x)与X轴所围成的平面图形面积S；

②求①的平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体体积Vx.

设/(ɪ)为可微函数且情足方程：

x∫r∕(f)dι≡(x÷l)∫∖∕(r)<i/(χ>0).

85.求函数/(八・

86.求1—

87.

已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特解分别为％=sin2∙r.y:=cos2r.求相应

的微分方程.

88已知/(0)=/(0)=-1√<2)=/(2)=I.求f∙r∕"(r)d∙r.

89.在抛物线y=l-χ2与X轴所围成的平面区域内作一内接矩形ABCD,

其一边AB在X轴上(如图所示).设AB=2x,矩形面积为S(x).

①写出S(X)的表达式;

②求S(X)的最大值.

90.设函数y=x3+sinx+3，求y,.

四、综合题(10题)

证明：方程=「-⅛ς在(0.1)内仅有一个根.

91.J。1+产

92.

过曲线y=J∙"J∙>0）上一点MU作切线/.平面图形D由曲线y=/.切线/及

ʃ轴围成.

求：《】）平面图形D的面积,

（2）平面图形D绕」轴旋转一周所形成的旋转体的体枳.

93证明S当。V”VB•时,eosʃVW—÷1.

94.求函数y=猛T=Tr的单调区间和极值.

95求曲线y=（工一I））尸的凹凸区间及拐点.

96.

求由曲线y=/与直线j∙=l∙∙r=2及y=0∣1i∣成平面图形的面积S以及该图形烧

ʃ轴旋转一周形成的旋转体的体积.

97征明：/r>l时.lπx>匕丁L

设曲数/（ʃ）∙*Jt2∙rctanx∙

（1）求函数八，）的取*区间和极值，

98.'•}'♦'1''，的叫八MM和打八

99.

设函数/（X）在闭区间［0.1］上连续,在开区间（0,1）内可导且/（O）=/（I）=0,

/（⅛）=】•证明：存在££（0.1）使/（£）=J.

平面图形由抛物线y'=2].与该曲线在点(∙∣∙.1)处的法线所围成.述求,

(1)该平面图形的面积I

100.(2)该平面图形绕ɪ轴旋转所成的旋转体的体枳.

五、解答题(10题)

1..

-Sinoz÷1,x<0

ɪ

/(ɪ)=«2,x=0

,1,,

HSIn----FO9X>0

IoL试确定a,b的值，使函数工，在点x=0

处连续.

102.

某100件产品中有次品5件,一次任取5件.

(D设事件A=“至少有1件次品”,求P(A)5

(2)设事件B="恰有3件次品”,求P(B).

6-1012

设随机变量6的分布列为万位ɪf,有求E(G和D(<)∙

103.

104.

求曲线y=√7与直线y=x-2,y=O所围成图形的面积A及该图

形绕X轴旋转所成的旋转体的体积匕.

/(z<0>求使/⑺连续.

设/(or)=-

105.OX+6(or>01

106.(本题满分10分)

107.求由曲线y=ex、x2+y2=Kx=l在第一象限所围成的平面图形的面

积A及此平面图形绕X轴旋转一周所得旋转体的体积Vxo

108.

计算［rf:dz.

Ji十e

求j----;-------——ðɪ-

JCos2X，2+3tarκr

109.

110.

设随机变量X的分布列为

X01234

P0.10.1a0.30.2

(1)求常数α;

(2)求P{0.5≤X<4}.

六、单选题（0题）

已知y=―J-.则y(i)=

111.X-OO

A.0B.lC.cosl-2sinlD.cosl+2sinl

参考答案

1.C

,2

∫j(xsinx÷l)dx=∫jdκ=2.

［解析］根据原函数的定义可知/U)=(x2+sifu),=2x+Cosx

因为Jf'(2x)dx=ɪ∫∕,(2x)d(2x)=ɪ∫df(2x)=ɪf(2x)+C

所以∫∕,(2x)dx=-［2-(2x)+cos(2x)］+C=2x+』cos2x+C

2.B22

3.B

4.C

因为在x=0处f(x)=e"x-ι是连续的。

5.D

答应选D.

分析本题考查的知火点是分段函数在分段点处的极限计算,分段点处的极限一定要分别

计算其左、右极限后,再进行判定.

因为/(1÷0)=lɪɪn/(X)=Iim(xa+2x-4)■-1,

*-»!♦ɪ］.

f(I-0)=Iimf(G=Iim(x2-1)≡0,

t*→l■LL

由于«1-0)∙∕(1∙0)•所以1岬/(G不存在.故选D.

［解析］由原函数的定义可得Iy(X)dx=(x+l)sinx+C

贝U∫θ∕(x-l)dx=∫θ∕(x-l)d(x-1)=xsin(x-l)∣θ=0

vl∙V-Z

7.D

【解析】因为∕,(x)≡ʃCOSɪ,

8.B所以∕,<0)=T∙

9.C

答应选c.

史示先求出/'(X).再将X=I代人•

因为/'C)=7⅛∙则/'(I)=I,选C.

10.1/4

11.D

直接计算四个选项的广义积分，可知D正确.

12.B

因为/(x)=(xln?x)'=l∏2χ+2lnx=lnx(2+lnx).

IIJ

所以/'(x)=(2+Inx)—+—Inx=—(1+Inx).

XXX

13.C

14.C

答应选c.

分析本题考我的知识点是不定积分的概念和换元积分的方法.

Mt于不定积分的积分公式如Jcosxdt=*inx+C.考生应该更深一垓次地理解为其结构式是

∫co>□d□=sin□÷C,式中的方块"口”既可以是变M*.也可以是r的函数式,例如∫cos回d回=

Sin叵♦C.Jcos叵Jd叵］=Hin五工+C.只要符合上述结构式的函数或变量,均有上面的积

分公式成立.其他的积分公式也有完全类似的结构式.如果将上述式子口内的函数的微分写出

来,则有：卜。•(/)d(=2∣XCOB(x,)d*fiʃcaβ(Inx)d(Inx)=j+coβ(InH)tk,如果在试

题中将等式右边部分拿出来,这就需要用赛微分法(或换元积分法)将被积表达式写成能利用公

式的不定积分的结构式,从而得到所需的结果或答案•考生如能这样深层次理解基本积分公式，

则无论是解题能力还是计算能力与水平都会有一个较大层次的提高•

基于上面对积分结构式的理解.本国亦为：

巳知J∕(□)d□=口e-0+C,则J%加幻也等于()■

1

由于Jm(InG<k=∫∕(lnx)d(InX),此时口=In%所以∫ɪf(Inx)dx=Inxe-**+C=

Inx∙J十+C=∙5-ɪn£+C,即选项C正确.

15.-8

16.B

因为∕7x)=f+Q+x)f(-3=1x?一：：3,

由FX=-Lx=2是函数/(x)的极值点.

所以

4-2⅛—αb=0,

17.D

18.C

,-Inxi≤x≤1

InX=4e

IInx

l<x≤e

所以£Inxd^ɪ-ʃiɪlnxdx+ʃɑInxdx

ee

19.B

20.B本题考查的知识点是复合函数的概念及其求导计算.

本题的关键是正确写出复合函数/[g，(刈]的表达式.

根据函数概念可知：

/[g'(ʌɔ]=g,(*)+e*'lx),

因为g'(x)=L,所以

X

f[g,(×)]=-^+eτ,

X

故选B.

21.C

2

f(SinJCy∙χ2-sinΛ∙(Λ/_XCOSX-2sinx

因为y=-(7FR

22.D解析

做该题时若不假思索，很容易错选B为答案.但假若对极限的定义有正

确理解，特别是能联想到9不定型，便知答案是D.事实上，若Iim/(X)=Iimg(X)=O,

Jt

OTxOXflO

[0

则可能有以下三种情况：Iim△2=IC(C为非零常数)

I”g(x)

23.C

24.C

根据导数的定义式可知

Hm∕(2±2"〜段=2/，⑵=L

A»→oZLr2

r⑵=；.

4

25.C

因IimeI=1,Iime^r=O,Iime^^=+8.故Iimer不存在,应选C.

jr-*Oχ-*-f-ooɪ-•—∞工―

26.B

根据定积分的定义和性质，函数f(x)在［a,b］上连续，则f(x)在［a,b］

上可积；反之，则不一定成立。

27.B

函数/(X)在点Xo的导数定义为

,

∕(JC0)=Iim/a)-/(』).

I.X-X0

因为∕,(x)=(arctanx),=—二，

l+x2

所以，⑵=L

28.A

令电=0与生=0,可得x=2,y=-∖.故选A.

∂xay

29.B解析

袋中只有1个红球，从中任取2个球都是红球是不可能发生的.

30.B

根据极值的充分条件：B2-AC=-2,A=2>0所以f(l,1)为极小值，选

Bo

31.0

因为X3+3X是奇函数。

32.

［解析］因为f(g(χ))√(cosr)=(COSX).

所以•—(/(g(x)))=［(cosr)∙］x=2cosx∙(cosxX

dx

="2cosxsinx=-sin2x.

33∙2(x-l)

34∙π∕2π∕2解析：

在区间［-1,1］上，√Γ≡3为偶函数，所以

fɪ71-x2dx=2fVl-X2dΛ=2•—=—

J-IJo42

35.1

Iimɪɔ¢=Iima(P—D=1.

~】〃一1一177-1

36.

4xln2

(-8,0)

［解析］因为rα)=a⅛

当x<0时，∕,(x)<0

所以单调减少区间为(-8,0).

ɔ/・

38.

3

2

因为Iim(I+K产=lim(l+-)2=e2^=e~3

n→°oγin—>∞γι

有2%=-3,所以％=一3

2

39.D

40.

3√tf-χj

41.

arcsinx-√l-x2+C

42.

—ɪ-eos(ɪ2+1)+C

乙

—ɪ-eos(ɪ2+1)+C

43.

W(4)’3=et

44.

【答案】应填3∙

【解析】利用变上限函数的求导公式求出再求/(X).变上限函数的求导是有婴的

考点之一，熨考生注意.

因为φ,(x)≡ln(*+*j),

则√(*)=-^d+2*).

x+x

45.

46.

0

［解析］因为Iim幻是函数/(χ)在X点的导数解析式，而函数

Ax→0AX

/(x)=ln4是常数，常数的导数为0,故填0.

47.2

48.3-e1

49应填O.

∂ι1ðIa：\a'；∩

用对数函数的性质化简得z=Inx+lny,再求偏导得以=K品茶-丽山

50.f(xy)+λφ(xy)

5].2In'2(In2+1)21n'2(ln27)

52.

答应填--:----dx.

sinrcθ8X

提示用复合函数求导公式求出.y'.再写出小.

53.3

54.3x2f'(x3-y3)

55.2x+12x+l解析

因为f(x-y>Λ,V)=χ2+y'-Xy=(X-y)2+x>>

所以〃2)=∕+y则咚21+驾Ul=2x+1

σx∂y

Iim星二河：+3=Iim―—=Iimɪ=

UNCL6*-3ʃ*√T(ɪ—√,3)(ɪ+√y),5∙Γ+G

36.U

57.

-a-x∖naf,(a'1')

-α^x∙lnα√z(α∙*)

=∕,(a"x)∙Ina-a"x(-Λ/

解析：=-a-rna∙∕'gτ)

58.1/2

X1+x1+71

IIm——；---------=IimC=-

)+2∕τ+2II2

XX2

59∙sin1

60.1

61.

22

φS=∕(4-X)dx-j(4-x)dx

x4χ4x,6

(-τ)lo'('τ)∣j=∙

②匕=irʃx'dy=ITJ(4-y)dy

=π(4y-^√)∣o=8π.

J喏学IXTaMd√∏*

*d

，1—ɪ*

一√Tɪjrarcsinx÷ʃdʃ

62.=Jr-√1-ʃ1aresinɪ+C.

√I-jrarcsi

y/l-ʃɪaresinɪ+C.

65.

根据题意，先做出积分区域•如图所示,然后在极坐标

系F进行计算.

rɪr∙∕∣-√_,____

jdyj∖l3+yd∙r

根据题意.先做出积分区域•如图所示,然后在极坐标

系下进行计算.

∫'d>∫/r√√+yldx=∫7dtf∫'r.rdr

66.

z

求/(才)的号数•得∕(*>HI++,(N—1)工+≡ʒʃ-ɜ-X+•令∕Z(J∙)=0«

得驻点工=看.此外.点∙r=0是，(*)不存在的点.它们将区间分成3个部分区间,列表讨论

如下I

(0.卷》ɪ彳

ʃ(-q.0)O∙+8)

U5

/eɪ)+不存在—O+

/U)单词递增械大单两递诚极小单调递增

由上表可知I函数在区间(一8.0］和［∣∙.+8)上单调增加,在区间［0,裂上单调递减.

3ɪ≡?时，有微小值/(^∣")=—∙∣^♦当∙r-∙0时♦函1!(的当βt不存在♦但1-。是

函数的IS大值点♦极大值/(O)-0.

求/(ɪ)的导数.得f(X)>=∙r++y(ɪ—l)ɪɪ=ʒʃɜ-X+,令∕*(jr)=0.

得驻点ɪ=∙∣∙.此外.点Jr=O是/(ʃ)不存在的点.它们将区间分成3个部分区间,列表讨论

如下I

Z

ʃ0(0∙y)(-∣-.÷<χ>)

5

+不存在—O+

/U)维调通增极大单网递箱极小睢调建增

由上表可知I函数在区间(-8.01和［∣∙.+8)上联调增加,在区间［0［：］上单调递减.

∙*jx≡1•时.有极小值/(∣∙)=-∙∣∙;偿.当1O时•函数的号"存在,但，一0是

函数的槌大值点.极大值HO)-0.

原式1=1■,可；d.r

=ɪʃ(I—χ'—∙r'+D&

67.

=ILO

原式I

=ɪʃ(1—xt—X*+I)CLr

68.

—e"dɪ=fcos/(―)d∕=-[T华为

JQJfsιn∕Jfsιn∕

f*dr,f÷..

-：-+sιnZd∕

Jfsιn∕Jf

=—「In(CyCf-cot/)]；—ɔ/3

2

β-ln(2-√3)一4.

令e~=SirU•则Jr=-InqirW∙<Lr-；—•且当JUo时，=--∣当Jr=In2

sιn∕rZ

时,L卷•于是

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f√1—edʃ=f^cos∕(―)d∕=-[一2山

JoJ+mn∕Jfsιn∕

Tr4

SinZdZ

=­Γln(cscf-COtn7

=-ln(2—√3)一专

用换元积分法.令∙Γ=tan/.则

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-----ɪ-dʃ—I号--」----sec2∕d∕

2

r.八+1?Jftan/∙sec/

=ʃ:csc∕∙cottd∕

,t3√2-2√3

=­CSCf=-__-——

69.+3

用换元积分法.令∙r=Ianf,则

F—1r」

----------sec/dr

J'√.√Γ+7rjftar√l•sec/

=CSC/•COtd

Jf

3√2-2√3

cscr

=~ɪ3,

Iim匚士=IimJL，-DlimUZ≤=lim-LT)

Losinʃ-xsinɪ-ʃ“一。JUnN-ɪ，一<»sinɪ-JC

^9inr-t1.∙⅛L,一1

≡Hm‰------=Iim----------

■∙oSirur-X”―。sinɪ一ɪ

=Iim⅛≡Z=ι.=Iim⅛^≡=1.

70.…sinʃʃ，・。sinʃ^ʃ

应交换积分次序.

原积分=∫7<1J∫ʃʤ=/cxr&r=SifkrI"=ɪ.

71.

应交换积分次序.

原积分=£*Lr1：詈dy=Cɪ

COwcLr=≡!⅜injr2-

令J？βfΓ*

原式--------Jln(<+l)∙Ztdt

≡ʃln(ɪ+r)d(rl)=∕,∙ln(l+r)I—Jɪʃ∙d∕

=ln2^f=卡&=ln2-口L】+岩产，

=In2-^y(∕-l)*∣'+∣n(r÷l)∣"j

=1∏2-—ɪJ—(In20)

72.T•

⅜√7«tr»

原Λ------------JIna+1)∙Ztdt

=Iln(l÷f)d(rl)≈tl∙ln(1+f)I—ʃɪtAt

=,n2^E4⅛τld^ln2~K(r^1+r∏)dz

=I∏2-^y(r-l),∣'+∣n(r÷l)∣'"∣

—∣∏2-(∣n2-0)

=|,

73.

根据积分区域与被积函数的特点.该二重枳分用极坐标计算比用直角坐标计

算简便.

积分区域/）由/+/≤1化为r≤l∙0≤6≤2κ∙故

(√Crr÷yr-xy)dɪdy(r-rɪCOMSin¢)rdrdff

=Jdðʃ3--coMsintf)(1/

≡P[y-~cosβsintfJ]此

=；夕|一ɪʃsinftisinð

yπ一~κ.

根据积分区域与被积函数的特点,读二重积分用极坐标计算比用直角坐标计

算简便.

积分区域Q由一+/≤1化为r≤】.0≤。42κ∙故

(√jr4-y-jry)<Lrd>f(r-rɪcoMSind)rd川6

=ʃd^ʃ(ri-rjcosβsin¢)dr

=P[y-yCostfsirk?JJd夕

=f--ɪ-ʃsinMsine

≡s∣x-ψin^∣y≈∣κ,

74.

JIn(J∙+>∕1+jri)dʃ=ʃln(ɪ+，1+工？)—ʃɪd(ln(ɪ+√,1+ʃ1))

=ɪln(ɪ+√T÷~rr)—fʃ*-------1(1+,∖dr

Jx+√TT7l√Γ+7∕

=ɪln(ɪ4-√T4-xr)—[---ɪtlɪ

J√ΓT7r

=ʃɪn(ɪ+√1÷√)—ɪʃɑ+ɪ1厂+d(l+√)

Zln(Z÷√Γ+7r)-√Γ÷7r÷C.

ʃln(ɪ4-√fl+Jr2)dr=ʃln(ɪ+√1+ɪ4)—ʃʃd(ln(ɪ÷√1+ɪɪ))

=xln(x÷√T+~?*)-fɪ*-------ɪ,/ɪ-∣/Jj'dɪ

Jx÷√ΠR7l√T=R7∕

=ɪln(ɪ+√/l-÷~rr)-f——---dɪ

J√T+7r

=ɪln(ɪ+√1÷τi)—ɪʃ(1÷ɪɪ尸d(1+ɪɪ)

=ʃɪn(ʃ÷√Γ+xr)—√T÷xr+C.

∕<(j∙+y.y+:)

由隐函数求学公式知∙Z,

/ɪ(∙r+y.y+z)

J,(x÷y,>÷s)

由隐函数求存公式知，七l

/J(∙r+y.y+N)

76.

设f(×,y)=),-×-arccoi(xy),

∂F

则=-1+7,--=3y1+x-

∂x√-Γɪ7,7_-ay

∂F

11

所以Ay∂x</ɪ-xr-Y

dχ^-lZ^s3√√r?7+

ay

ʤ

d/

=一“sinr__∙inf

d,-rα(1—cosf)I-COSr

dr

d2Vcos/•(1—cosz)—sɪn`zɪ

一ZX-1■，■，....................•，，一

dx2(1—cos，)2dʃ

d/

≡≡.c.o.s/—1”•■，1,

(1-cos/)2cι(1-cos/)

=——11,==-1CSC<—/

77.α(1-cos/)jAa2*

ʤ

⅛

-

dz-asinl=Sinf

(b-dʃα(1—cosf)1-cost'

d7

2

原式=Iim2＞】±红=Iim二=ɪ.

Ll]I√1+2J-3

78.2√7

2

原式=Iim20±⅛

La1

2√7

两边取自然对数得

InlyI=2ln∣ʃ∣⅛-ɪ-[ln1—ʃ|—In|1+ʃ|],

两边对工求导得

1921Ipx-I1∏

y=1+可厂丁rτ才

Mn/Γ2.11η

即'=y7+πτ→)-3(7÷T)•

故

啦=Z2V1~j^Γ-2+_1____________ɪ-1

ChVl-+ʃɪɜ(ʃ-1)3(x+l),

79.

两边取自然对数得

InI3rI=21nIɪ1+-ɪ-[ln|1—ɪ|—ɪn|1÷J|]»

ɔ

两边对,求导得

y1/=2ι+,w1Γ[r1hττɪ71}

Hn，一「2