2022-2023学年辽宁省朝阳第一高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省朝阳第一高级中学高一(下)期中数学试

卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.下列各角中，与2023。角终边相同的是()

A.-223oB.2230C.-1470D.147°

2.已知力=(一2,1),方=(3,2)，则。(五+石)=()

A.1B.2C.3D.4

3.在A4BC中，若48=3,BC=4,AC=5,则比.而=()

A.-16B.16C.9D.0

4.已知以原点为顶点，X轴的非负半轴为始边的角ɑ的终边经过点P(l,-2),则COS(兀+

α)=()

A.一"B.红IC.D.∏

5555

5.若COS(B—$=?,则S仇2。=()

ʌ-IB.YC--1D∙I

6.已知函数/⑶=ASin(3x+,)(A>0,3>0,Iwl<方的图象如图所示，则/(0)=()

A.ɪB.孕C.√-3D.0

7.已知点。是AABC所在平面内一点，若非零向量而与向量(市矗i+市盘目共线，则()

A.∆OAB=∆OACB.OA+OB+OC=0

C.∖OB∖=∖OC∖D.AO-BC=0

8.已知函数f(x)=，?SinX-COSX的定义域为[α,b],值域为[—1,2],则b—α的取值范围是

()

A.ζ,π]B.[≡,⅜]C.生等D.母,争

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.下列四个式子中，计算正确的是()

A.CoSG+1)=sinlB.sin(ττ÷2)=-sin2

C.=√-3D.sin640cosl90-cos64°sinl9°=ɪ

10.将函数f(x)=COSX的图象上各点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再将所得图象

向左平移金个单位长度得到函数y=g(χ)的图象，则()

A.g(^)=ɪB.g(κ)的最小正周期为兀

C.g(x)的图象关于点6,0)对称D∙g(x)在［0,，上单调递减

11.已知非零向量苍，B满足IZ—4肉=2,则下列结论正确的是()

A.若为，b共线,则I五∣+4∣b∣=2

B.若五1b>则片+16片=4

C.若看+16片=6,则I五+4方|=4

D.a-h≥—ɪ

4

12.己知函数/(X)=e∣x+4∣sinax,若存在实数3使得f(x+t)是奇函数，则cos2α的值可能

为()

A.-1B.0C.ɪD.空

三'填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知扇形的面积为4,圆心角的弧度数是2,则该扇形的半径为.

14.己知|初=3,向量方在行上的投影向量为一:五，则五下=.

15.已知函数/(x)=sin(3x+勺(3>0),若/(x+9为偶函数，f。)在区间(以答)内单调,

则ω的最大值为.

16.己知I函∣=6,IOfitI=3.若对Vt6R,恒旬65-t瓦r∣≥I荏I，且点M满足丽=

l^δE+^OA,N为Oa的中点，贝IJl而I=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

已知α,0为锐角，Sinα=」」，CoS(Tr—。)=-%.

(I)求sin2α的值；

(2)求cos(α-6)的值.

18.(本小题12.0分)

已知向量落E满足五=(C,1),(α-K)∙(α+K)=-5>a-b=3√3∙

(1)求向量方与石的夹角的大小；

(2)求的值.

19.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=-2sinx+Cos2X+α+4,且/(］)=4.

(1)求实数ɑ的值；

(2)若Xev,篇,求函数AX)的值域.

20.(本小题12.0分)

在AABC中，CA=2,AB=3,∆BAC=y,。为BC的三等分点(靠近C点).

⑴求荷•丽的值；

(2)若点P满足而=求丽•正的最小值，并求此时的人

21.(本小题12.0分)

已知函数f(x)=sin(2ωx+^)(ω>0)的最小正周期为兀.

(1)求3的值并求函数f(%)在［―兀,兀］上的单调递增区间；

(2)设W(X)=f(x-今，已知函数g(x)=202(χ)一3(p(χ)+2α-1在生刍上存在零点，求实

数ɑ的取值范围.

22.(本小题12.0分)

己知圆。的半径为2,圆。与正△4BC的各边相切，动点Q在圆。上，点P满足布+而=2而.

⑴求同2+而2+近2的值；

(2)若存在X,ye(0,+∞),使得而=X两+y而，求x+y的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为2023°-223。=5X360。，所以角2023。与角223。的终边相同;

因为2023。一(一223。)=2246不是360。的整数倍，所以它们的终边不同；

因为2023。一(一147。)=2170。不是360。的整数倍，所以它们的终边不同；

因为2023。-147°=1876。不是360。的整数倍，所以它们的终边不同.

故选:B.

根据终边相同的角相差360。的整数倍可得结果.

本题主要考查了终边相同角的定义，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：因为方=(—2,1),b=(3,2),

所以为∙(Z+B)=(-2,1)-(1,3)=-2+3=1.

故选：A.

根据平面向量数量积的坐标运算可求出结果.

本题考查向量数量积的坐标运算，属基础题.

3.【答案】B

【解析】解：由AB=3,BC=4,AC=5,

贝∣*B2+DC2=4¢2,所以4B1BC,

所以能■AC=BC■(AB+BC)=BC-AB+BC2=^BC2=16-

故选:B.

根据题意得到4B1BC,再根据数量积和向量的加法法则即可求解.

本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题.

4.【答案】C

【解析】解：因为以原点为顶点，X轴的非负半轴为始边的角α的终边经过点P(l,-2),

1√~5

所以c。Sa=/2=可，

J/+(-2)2

贝IJCoS(Tr+α)=-cosa=—ʃ-

故选：C.

由已知利用任意角的三角函数的定义可求CoSa的值，进而利用诱导公式化简所求即可求解.

本题主要考查任意角的三角函数的定义以及诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：因为COS(O-力=2,

所以COSG-9)=ʒ->

所以sin20=COS(>2。)=cos[2(≡-0)]=2cos2ζ-θ)-1=2×∣-1=-∣.

故选：C.

根据诱导公式和二倍角的余弦公式可求出结果.

本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题.

6.【答案】B

【解析】解：由图象知，函数的最小正周期7=4停一(一割=4兀，

即3=翥=g,4=，？，由五点对应法则代入印,、「?)知，

√-3sin(∣×ɪ+φ)=√-^3,E∣J∣×^-+φ=^+2kπ,keZ,因为IWl<],解得9=看,

所以f(x)=√^^3sin(jx+ξ),!fl∣J∕(0)=ɪ.

故选:B.

根据三角函数的图象，利用最值、周期、特殊点确定4、3、0的值，即可得出结论.

本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基础题.

7.【答案】D

【解析】解：∙∙∙—+」)•丽=g就+”“=-|宿+质I=0,

Cjj

ι∣4B∣cosB∖AC∖cosC∖AB∖COSB∖AC∖COSC

BC1(温ZSB+∣⅛sP'

又而与^∖AS∖cosB卡湛2sC)共线'

则同1阮，即方•瓦f=o.

故48C均无法判断，。正确.

故选：D.

由题意得(市总+τ⅛J).布=°，可得布•品=0,即可得出答案.

∖AB∖cosB∖AC∖cosC

本题考查平面向量的基本定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

8.【答案】D

【解析】解:f(x)=y∕~3sinx-cosx=2sin(%-^),

由一l≤f(%)≤2,得一≤sin(%-*)≤1,

解得2∕cτr-∖≤%-2≤2∕C7Γ+M(∕C∈Z),

即2∕c7τ≤X≤2/OT+与(keZ),

所以(b—cOmax=2kττ+ɪ—2kτt=ɪ(fc∈Z),

2kπ+^--2kπ2π

S-a)min=2=算∕c6Z)，

所以b-α的取值范围是有,争.

故选：D.

化简函数/(无)，根据一1≤f(x)≤2求X的取值范围，由此求得b-a的最大、最小值.

本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.

9.【答案】BCD

【解析】解：对于4：cos(≡+l)=-sinl,故4错误；

对于B：sin(π+2)=-sin2,故B正确；

对于C：tan85°~tan25°an(850-25o)=tan60o=y∕~3,故C正确；

l÷tan85tan25=t、7

对于。：Sin64。CoSl9。-COS64。Sinl9。=sin(64o-19o)=sin45o=?，故痴正确.

故选：BCD.

利用诱导公式判断4、B,利用差角公式判断C、D.

本题主要考查了和差角公式及诱导公式的应用，属于基础题.

10.【答案】BD

【解析】解：将函数/(X)=c。SX的图象上各点的横坐标缩小为原来的右纵坐标不变得到y=cos2x,

将y=COS2x向左平移起个单位长度得到y=cos2(x+ɪ)=cos(2x+看)，

即g(x)=∞s(2x+,

所以照)=cos(2X看+》=COSl=0,故A错误；

g(x)的最小正周期7=:=兀，故8正确；

g(ξ)=cos(2XΞ+Ξ)=cos⅞=所以函数不关于《,0)对称，故C错误；

由％∈[0,≡],贝⑵+含有等，因为y=COSX在生等上单调递减，

所以g(x)在[0,：]上单调递减，故。正确.

故选：BD.

根据三角函数的变换规则求出g(x)的解析式，根据余弦函数的性质一一判断即可.

本题考查了三角函数的图像变换，考查三角函数的性质，是中档题.

11.【答案】BD

【解析】解：对于4,由4=I4一4方『=五2一8五彳+16方2,4=(∣α∣+4∣fa∣)2=∣α∣2+8∣α∣∙

∣h∣+16∣K∣2,

所以当日,石同向时，-Sab=-8∣α∣∙∣K∣-此时间+4∣E∣≠2,故选项A错误；

对于B,若五J.石，则日不=0，∣α-46∣=2>两边平方得为？_8己∙B+16产=方？+16,=4，

故选项B正确；

对于C,由I五一49∣2+I方+4]|2=2(S2+16,)=12,则|丘+4]=8,即I方+4石I=2√^2>

故选项C错误;

2⅜ɪ

对于D,由4=|1一43|2=五2一8五不+163≥8∣α∣-∣K∣-8α∙K≥-16α∙fa>得Z∙b≥一下

故选项。正确.

故选：BD.

当五，石同向时即可判断力；根据胃，石，有五不=0，再对I方-4石|=2两边平方即可判断B；根据

∖a-4b∖2+∖a+4b∖2=2(α2+16⅛2)=12>求解即可判断C：对14一4石|=2两边平方，再结

合基本不等式，绝对值不等式即可判断D.

本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.

12.【答案】AB

【解析】解:根据题意,函数f(x)=eW据讥αx,

由/(X+t)是奇函数可得的/"(X+t)=-/(-X+t),

x+t+4

所以e∣x+"4∣si∏α(x+t)=e∣∣sin(αx+at)

-x+t+4x+t+4

=—e∣∣sinα(-%+t)=e∣^∣sin(ax—at),

即e∣x+t+4∣sin(ax+at)=e∣-z+t+4∣sin(ax-at),

所以t+4=0,at=kπ,k€Z,

所以t=-4,a=-塔,ke.Z,

cos2a=cos(-ɪ)=eos(ɪ),

故当々=1时，cos2a=COSl=θ,

当k=2时，cos2a=cosπ=—1,

当k=3时，cos2a=eosɪ=0,

当k=4时,cos2a=cos2π=1,

根据周期性可知COS2Q的可能取值为0、1、-1.

故选：AB.

根据题意可得/(%+t)=—/(—%+亡)，即e∣"+*+4∣sin(a%+at)=el^x+t+4lsin(a%—aC),所以t=—4、

a=—”，k∈Z,讨论即可得解.

4

本题考查三角函数的性质和奇函数的定义，属于中档题.

13.【答案】2

【解析】解：依题意知扇形的面积为S=4,圆心角a=2,设半径为r,

由S=gr2α,得4=gx2r2,解得「=2.

故答案为：2.

根据扇形的面积公式列式可求出结果.

本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题.

14.【答案】一6

【解析】解：设向量方茫的夹角为。，

••・向量方在2方向上的投影向量为-|日，

∣ay∣bI∙cos0-=-∣α,即噜史=一|,

∙∙a∙b=∖a∖∖bICOSe=3×(-2)=-6∙

故答案为：—6.

设向量日花的夹角为。，根据投影向量的概念，再结合数量积的概念，即可得出答案.

本题考查平面向量数量积的性质和运算，考查运算能力，属于基础题.

15.【答案】4

【解析】解：由函数/(x)=sin(ωx+∣)(ω>0),函数f(X+》为偶函数，则+今=f(-x+今,

故直线X=称为函数/(x)图像的一条对称轴，

所以+?=m+k兀，kEZ>则3=1+3∕C,/c∈Z.

ɔOZ

兀

T7九

兀π

即

又

一>

>一4

---T-r--=-<ω-<

2123ω4

4,

又3=l+3k,/C∈Z,所以3max=%故3的取大值为4.

由题意，利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，求得3的最大值.

本题主要考查正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于中档题.

16.【答案】yΓ~3

【解析】解：因为IuIT笳I=JU/_2t而•而+好症2=

J∖0A∖2-2tOA∙OE+t2∖OE∖2

=√36-2tOΛ∙OF+9t2>

∖AE∖=∖OE-OA∖=JOA2-2OA-OE+OE2=J∖OA∖2-2OA-OE+∖OE∖2

=√36-2OA-OE+9>

因为对VteR,恒有I瓦？-t灰I≥I南

所以√36-2t列•瓦f+9t2≥√36-2就屈+9对VtθR恒成立，

即(一2t+2)0A0E+9t2-9≥0对VteR恒成立，

即弼-2t函•瓦r+2成•布-9≥0对VteR恒成立，

所以4=(-2OA-OE)2-4X9(20/i∙OE-9)≤0-

即(。4∙OE-9)2≤0，所以。/∙OE=9,

12

又MN=ON-OM=楙04—60E+[04)6--3-OF

2

所以I而I=∖^δA-1OEI=J（那一I函2=JΣOAQE+IOE=

J^∖0A∖2-IOA-OE+1∖0E∖2=yΓ3.

故答案为：√3.

根据数量积的运算律得到J36-2t苏•屈+9t2≥J36-2次•屈+9对Vt∈R恒成立，即可

得到9t2-2tr∙δɪ+251•瓦f-9≥0对VteR恒成立，根据4WO求出市•笳，再根据丽=

^OA-,曲及数量积的运算计算可得.

Oɔ

本题主要考查了向量的数量积运算，属于中档题.

17.【答案】解：(1)因为Sina=修，α为锐角,

ffi^λcosa=一，

所以sin2α=2sinacosa=2×X等=

(2)因为CoS(Tr—S)=-cosβ=-ɪ`

又0为锐角，

所以CoSS=ɪ,sin/?=ʌ/1—cos2j5=

所以cos(α一夕)=cosacosβ+sinasinβ=WX1+X

ɔJLUɔJLUJLU

【解析】(1)由已知先求出cosα,然后结合二倍角公式可求；

(2)由诱导公式先求出cos。，进而可求sin0,再由两角差的余弦公式即可求解.

本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题.

18.【答案】解：(1)由五=(C,1)得|刈=2,

由位-E)•位+W=-5W∣α∣2-]b∖2=-5,得力I=3.

设向量五与石的夹角为。，

由方•方=得141-∖b∖cosθ=3/3，

4B3∕-3∖Γ~3

倚COSne=云y=—>

因为e∈[0,7T],所以8=茅

即向量方与方的夹角的大小为也

(2)∣√3α-K∣=J(√3α-h)2=J3∣α∣2-2√^3α∙K+∣K|2

=√3×4-2√^×3√^+9=C∙

【解析】(1)根据平面向量的夹角公式可求出结果；

(2)根据Iq为一Bl=J(√^3a-b)2=J3|码2一2√3苍小+归|2可求出结果.

本题考查向量数量积的运算，向量数量积的定义与性质，化归转化思想，属中档题.

19.【答案】解：(1)因为/(今=4,所以一2s讥∖+cos2,+a+4=4,

所以-2+0+a=0,得a=2.

(2)由(I)知，/(x)=-2sinx+cos2%÷6=-sin2x—2sinx÷7=-(sinx+I)2+8,

设t=siτι%,因为％∈[―普],所以e∈[-^,1],

设g(£)=-(t+1)2+8，t∈[―ɪ,1],

11

+8-31-

2-5()znɑ4-4

当t=1时，g(t')min=g⑴=4.

所以函数/(%)的值域为[4,.

【解析】(1)由/(<=4可解得结果；

(2)换元为二次函数可求出结果.

本题主要考查三角函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题.

20.【答案】解：(1)由题意可知，CD=1CBI(AB-AC),

所以彳b=而+方=就+g荏一；%?=:而+,幅

在△4BC中，CA=2,AB=3,Z.BAC=y,

所以近∙BC=(⅛+1AC)­(AC-AB)-b∆B∖2+l∖AC∖2-⅛∙AC

ɔɔɔɔɔ

=-∣×9+∣×4-∣×3×2×cosy=∣.

(2)由题意可知，^PC=λ^AC,

因为而=PC+CB=PC+AB-AC=AB+(<λ-l)AC>

又因为C4=2,AB=3,NBAC=筝

所以而PC=[Λδ+(λ-1)ΛC]∙λAC=λAB-AC+λ(λ-1)∖AC\2

=λ∣½F∣∣^C∣cosy+λ(λ-1)∣^C∣2

=-3λ+4λ(Λ—1)=4»—7Λ—4(λ——)^——,

故两•同的最小值一,，此时；I=[

【解析】(1)将而•瓦f化为希和配表示，利用松和配的长度和夹角计算可得结果；

(2)用血、就表示丽.京，求出而•无关于;I的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.

本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1)依题意可得芋=兀，得3=1,

所以f(%)=sin(2x÷≡),

令2kιτ-ɪ≤2x+≤2kπ+](∕c∈Z),得kττ-≤x≤fcτr+"(fc∈Z),

(x∖kπ-^≤x≤fcπ+ξ,fc∈Z}∩[-τr,π]={x∖-π<x<-朗或一g≤x≤看或与≤x≤π},

所以函数/∙(x)=sin(2x+[)在[一兀,扪上的单调递增区间为[一兀,一强，[一杭],佟,兀].

(2)W(X)=((X-》=sin[2(x-^)+≡]=sin(2x-》

g(x)—2sin2(2x—ɪ)—3sin(2x—^)+2α—1,

由函数9(%)在。币上存在零点，得2Q=-2sm2(2x-¾+3sm(2%-^)+1在。币上有解，

。乙ɔDQ乙

令t=sin(2x一》由x∈*J‰-∣∈[0,y],贝∣Jt∈[0,1],

则y=-2t2+3t+1=-2(t-^)2+y∈[l,y]>

所以l≤2α≤],解得:≤α≤^,

oZlo

故α的取值范围为旅,总

【解析】(1)根据周期公式求出3,根据正弦函数的单调递增区间可求出结果；

(2)转化为2α=-2sin2(2x+3sin(2x-勺+1在弓,刍上有解，换元令t=sin(2x-¾,te

ɔ。。乙ɔ

[0,1],求出关于t的二次函数y=-2t2+3t+1的值域即得2α的取值范围.

本题主要考查正弦函数的单调性，考