2023年安徽省合肥市六校联考中考一模数学试卷（含答案与解析）

2023年安徽省合肥市六校联考中考模拟试卷（一）

数学

（试卷满分150分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生先用黑色字迹的签字笔将自己的姓名、准考证号填写在试卷及答题卡的指定

位置，然后将条形码准确粘贴在答题卡的“贴条形码区”内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体

工整，笔迹清晰。

3.按照题号顺序在答题卡相应区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4.在草稿纸、试卷上答题无效。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.k2|的相反数是（）

11

A.—2B.----C.~D.2

22

2.安徽省2023年《政府工作报告》指出去年粮食产量达到820.02亿斤，其中820.02亿用科学记数法表示

为（）

A.820.02×IO8B.8.2002XIO9C.8.2002×10l°D.0.82002x10"

3.下图中，不是右图所示物体从正面、左面和上面三个方向看到的图形的是（）

C（-2α%）3=-8。6犷D.[a-h^^a2-b2

5.一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点E在AB上，BC//EF,则NI的度数是（）

6.下列定理中，没有逆定理的是（）

A同旁内角互补，两直线平行

B.直角三角形的两锐角互余

C.互为相反数的两个数的绝对值相等

D.同位角相等，两直线平行

7.已知：ABC中，NC=45°,D为BC边上一点,AD=AB,BD=2,BHJ.AD于H,3”延长

线交AC于E，则CE的长为（）

r-4L

A.√2B.-C.y∣3D.1

8.在一次舞蹈比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm,且方差分别为

⅛=3.1,,《=2.9,S需=2.3,.4=1.8,则这四队女演员的身高最整齐的是（）

A.甲队B.乙队C.丙队D.丁队

9.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=@与二次函数y=0√-。的图象可能是（）

X

10.如图，正方形ABCr）一边AB在直线/上，P是直线/上点A左侧的一点，AB=2Q4=4,E为边AD

上一动点，过点P,E的直线与正方形ABCQ的边交于点尸，连接5E,BF＞若设。E=x,的

面积为S,则能反映S与X之间函数关系的图像是（）

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.有理数“、b、C在数轴上的位置如图所示，化简：I。-h∣-∣α+c∣的值为.

cOah

12.如果y=√x-2+√2-x+5,那么yv的值是,

13.已知某直线经过点A（0,2）,且与两坐标轴围成的三角形的面积为2.则该直线的函数表达式是

14.如图，在矩形ABCQ中，A3=6,BC=4,P是矩形内部一动点，且满足,/“/∣∙∣）（',则线

段8尸的最小值是；当8尸取最小值时，DP延长线交线段BC于£,则CE的长为.

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16

15.计算：（-τr-2）0-|1-tan60o∣-（ʒ-）^'

16.某项工程，甲工程队单独施工10天后，为加快进度，乙工程队也加入一起施工，这样共用30天完成了

任务，已知乙工程队单独施工需要40天完成，求甲工程队单独完成此项工程所需的天数.

17.如图，在边长为1个单位的小正方形组成的12x12网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的

ABC,并建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）画出CABC关于X轴对称的J）石尸（点A,B,C的对应点分别为O,E,F）；

（2）将」没向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到.GH/（点。,E,尸的对应点分别为G,

H,/）,画出平移后的AG/〃，并写出点/的坐标.

18.观察以下等式:

..221_1

第1个等λλ式：一X

13^3^1

2311

第2个等式：一X

24^4^2

241_1

第3个等式：一X

35^5-3

25_£ɪ

第4个等式：一X

466^4

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式；

（2）写出你猜想的第〃个等式：（用含〃的等式表示），并证明.

19.为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地ABCO,培育绿植销售，空地南北边

界AB〃CD,西边界经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东58°方向，在点。的北偏东

48。方向，BC=780米，求空地南北边界AB和Co的长（结果保留整数，参考数据：tan48°vl.l,

20.如图，在一A8C中，AB=AC,以AB为直径作（。交8C于点D.过点。作。ElAC,垂足为E,

延长C4交(O于点F.

(2)若tanB=g,C)O的半径为5,求线段CT的长.

21.皖丰果园随机在园中选取20棵苹果树，并统计每棵革果树结果的个数如下：

32394555605460285641

51364446405337474546

(1)求前10棵苹果树每棵结果个数的中位数和众数；

(2)若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图;

组别第一组第二组第三组第四组第/1111

个数分组28≤X<3636≤X<4444≤x<5252≤Λ<6060≤%<68

个数242

(3)若从第一组和第五组中随机选取两棵树进行细化研究，求选取的两棵树恰巧属于不同组别的概率.

22.如图，抛物线y=∕+⅛v+c经过A(T,0),B(3,0),C(0,3)三点，。为直线8C上方抛物线上一动

点，过点。作。QLx轴于点。，OQ与BC相交于点M∙DE上BC于E.

v∙

(I)求抛物线的函数表达式;

(2)求线段OE长度最大值;

(3)连接AC，是否存在点。，使得Cr>£中有一个角与NC4O相等？若存在，请直接写出点。的坐

标；若不存在，请说明理由.

23.在四边形ABC。中，NABC=90。，AB=BC,对角线A。、8。相交于点E，过点C作CT垂直于

BD，垂足为F,且CF=DF.

(2)如图2,连接"，点P、M、N分别为线段AB、AF>DF中点，连接PM、MN、

PN.

①求证：NPMN=I35。；

②若AO=2√∑,求二PMN的面积.

参考答案

一、选择题(本大题共10小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

LH的相反数是()

A.-2B.——C.ɪD.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用绝对值的性质化简，再利用相反数的性质得出答案.

【详解】解：|-2|=2,故|-2|的相反数是一2∙

故选:A.

【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、相反数的性质，解题的关键是正确掌握相关性质.

2.安徽省2023年《政府工作报告》指出去年粮食产量达到820.02亿斤，其中820.02亿用科学记数法表示

为（）

A.820.02×IO8B.8.2002×IO9C.8.2002×IO'0D.0.82002×10"

【答案】C

【解析】

【分析】根据科学记数法的表示方法，进行表示即可.

【详解】解:820.02亿=8.2002xl0∣°;

故选C.

【点睛】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法表示方法：Ω×10,,（l≤∣a∣<10）,〃为整数，是解

题的关键.

3.下图中，不是右图所示物体从正面、左面和上面三个方向看到的图形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据几何体的三视图解题：分别从正面、左面、上面对该几何体正投影所得的图形即是主视图、

左视图、俯视图.

,面

从上面看:＞选项A、C、力不符合题意，选项B符合题意,

故选:B.

【点睛】本题考查简单几何体的三视图的识别，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

4.下列运算中正确是（）

A.cr+a1=2Ω4B.t/6∙÷∙(2~=a''

C.(-2a2b)3=-Sa6b3D.(a—Z?)--a2-b2

【答案】C

【解析】

【分析】根据整式的加法、同底数事的除法，积的乘方运算，完全平方公式逐一进行计算，即可得到答案.

22原计算错误，不符合题意，选项错误;

【详解】解:A、a+a2”,

B、a6÷a2=a4,原计算错误，不符合题意，选项错误;

C、（-2∕b）3=-8a%3,原计算正确，符合题意，选项正确;

D、（a—bp=/—24。+〃原计算错误，不符合题意，选项错误，

故选C.

【点睛】本题考查了整式的加法、同底数累的除法，积的乘方运算，完全平方公式，熟练掌握相关运算法

则是解题关键.

5.一副直角三角板按如图所示的位置摆放，点E在AB上，BC//EF,则Nl的度数是（）

A.60oB.65oC.70oD.75°

【答案】D

【解析】

【分析】根据平行线的性质和直角三角板的性质可得N2=/C,Z3=45o,再利用三角形的外角性质即

可求解.

【详解】解：如图所示：

由题意得：/3=45°,

BC//EF,

.∙.Z2=ZC=30°,

.∙.Zl=Z2+Z3=30°+45°=75°，

故选：D.

【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质.

6.下列定理中，没有逆定理的是（）

A.同旁内角互补，两直线平行

B.直角三角形的两锐角互余

C.互为相反数的两个数的绝对值相等

D.同位角相等，两直线平行

【答案】C

【解析】

【分析】】根据逆命题的定义写出各命题的逆命题，然后进行判断即可.本题主要考查命题的真假判断，正

确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

【详解】A、逆定理是两直线平行，同旁内角互补；

B、逆定理是两锐角互余的三角形是直角三角形；

C、逆命题是绝对值相等的两个数互为相反数，是假命题，故没有逆定理；

D、逆定理是两直线平行，同位角相等；

故选C.

【点睛】本题主要考查命题真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假

关键是要熟悉课本中的性质定理.

7.已知：.ABC中，NC=45°,D为BC边上一点,AD=AB,BD=rL,BHJ.AD于H,8”延长

线交AC于E，则CE的长为（）

BD

L4L

ʌ-√2B∙~C.ʌ/ɜD.1

【答案】A

【解析】

【分析】过点A作AMLBD于点M,过点E作E尸，BC于点R由等腰三角形的性质得出NBAM=

ZDAMfBM=DM,证出AB=JBE,证明aABMgABM(AAS),由全等三角形的性质得出Er=BM=1,

则可得出答案.

【详解】解：过点A作AM_L3Q于点M,过点E作MJ_3C于点R

：.ABAM=ADAM.BM=DM,

9

'.BHLADf

；,/HBD+/HDB=9C,

又∙.∙N"O8+NMAD=90°,

.∙.NHBD=NMAD,

：.NHBD=NBAM=ZMAD1

VZC=45o,

ΛZMAC=ZFEC=45o,

VZAEB=ZC+ZEBC=45o+NEBC,ZBAC=ZMAC+ZBAM=450+ZBAM,

・・・/AEB=NBAC,

IAB=BE,

ZAMB=ZEFB

在aABM和AAE/中，＜ZBAM=ZEBFf

AB=BE

JXABMQIXBEF(AAS),

.'EF=BM=T,

：.CE=OEF=母,

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，证明

EF是解题的关键.

8.在一次舞蹈比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平均数均为166cm,且方差分别为

⅛=3.1,⅛=2.9,S靠=2.3,Sj-=I.8,则这四队女演员的身高最整齐的是（）

A.甲队B.乙队C.丙队D.丁队

【答案】D

【解析】

【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分

布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【详解】解：⅛=3.1,¢=2.9,耳=2.3,4=1.8,丁队的方差最小，

，这四队女演员的身高最整齐的是丁队.

故选：D.

【点睛】本题考查了方差的意义，熟记方差的意义是解题关键.

9.在同一平面直角坐标系中，反比例函数y=2与二次函数y=依2一。的图象可能是（）

【解析】

【分析】根据二次函数及反比例函数的图象与性质可进行求解.

【详解】解：当α>0时，则—α<0,所以二次函数的图象开口向上，与y轴交于负半轴，而反比例函数

的图象在第一、三象限；故B、C选项错误；

当“<0时，则一口>0,所以二次函数的图象开口向下，与y轴交于正半轴，而反比例函数的图象在第二、

四象限；故A正确，D选项错误；

故选A.

【点睛】本题主要考查反比例函数与二次函数的图象与性质，熟练掌握这两种函数的图象与性质是解题的

关键.

10.如图，正方形ABeQ一边AB在直线/上，P是直线/上点A左侧的一点，AB=2PA=4,E为边Az）

上一动点，过点P,E的直线与正方形ABC。的边交于点F,连接BE,BF，若设。E=X,ABEF的

面积为S,则能反映S与X之间函数关系的图像是（）

AB

【答案】B

【解析】

【分析】分F在边Cr）上时、点厂与点。重合时时、点尸在边BC上三种情况，分别求出S与X之间的函

数关系式即可解答.

【详解】解:∙.∙A6=2B4=4,

.∙,AB=4,AP=2，P3=4+2=6,

四边形ABCZ）是正方形,

.∙.AB=AD=BC=CD=4,

：点F在边CD上时，DE=x,AE=4-x,

=

.*.SSBPF-S=2X6χ4—/X（64—x）=3x,

点F与点C重合时时，S=LX4x4=8,

2

四边形ABCD是正方形,

ADlIBC,

PA_AE

~PB~~BC'

ADHBC,

PAAE24-x

.*.---=,即πr一1=-----,

PBBF6BF

..BF=12—3x,

.∙.S=gx4（12-3x）=24-6x,

QQQ

二当x<一时，S=3x；当X=一时，5=8；当一<x<4时，S=24—6%；

333

，能反映S与X之间函数关系的图像是B.

故选:B.

【点睛】本题主要考查了动点的图像问题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理，正方形的性质等知

识点，掌握分类思想的利用是解题的关键.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.有理数出b、C在数轴上的位置如图所示，化简：Ia-b∣-∣α+Cl的值为.

____I___________________I_______I______I»

cOab

【答案】b+c

【解析】

【分析】由图可得：c<0<α<b,且∣c∣>∣6∣>∣α∣,据此即可去掉绝对值,进行运算即可求得.

【详解】解：由图可得：c<0<α<⅛,且∣c∣>∣b∣>∣α∣,

Λa-h<O1β+c<0,

.*.∖a~b∖-∖a+c∖=b~a+a+c=b+cf

故答案为：⅛+c.

【点睛】本题考查数轴与绝对值；熟练掌握数轴上点的特点，能够根据数的范围准确去掉绝对值符号是解

题的关键.

12.如果y=√x-2+√2-x+5,那么的值是,

【答案】25

【解析】

【分析】根据被开方数不能为负数，解不等式求得X的取值即可；

【详解】解：∙.”-220,.∙.x22,

又∙.∙2-x20,.∙.xW2,

Λx=2,

・4=5,

.∙.∕=52=25,

故答案为：25；

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式；掌握被开方数不能为负数是解题关键.

13.已知某直线经过点40,2),且与两坐标轴围成的三角形的面积为2.则该直线的函数表达式是

【答案】y=x+2或y=-x+2

【解析】

【分析】先画出函数大致图，结合图象分两种情况讨论，根据三角形的面积为2求出函数与X轴交点坐标,

即可求出函数解析式

【详解】如下图，：点A(0,2)

V直线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,

：.-OA-OB^2,

2'1

解得。与=2,故4(2,0)

设该直线的解析式为y=kx+2

将(2,0)代入得0=2k+2,解得k=-l

.*.y=-x÷2

当直线与X轴相交于与时，同理可求与(-2,0)

将为(一2,0)代入得0=-2k+2,解得k=1

.,.y=-x+2

故该函数表达式为：y=x+2或y=-x+2

填：y=x+2或y=-x+2.

【点睛】本题考查一次函数与儿何图形问题.能根据函数与两坐标轴围成的三角形的面积为2求出它与X轴

的交点坐标是解决此题的关键.另外本题一定要分交点在X轴正半轴和X轴负半轴两种情况讨论.

14.如图，在矩形ABCO中，AB=6,BC=4,尸是矩形内部一动点，且满足一次'P-，则线

段JBP的最小值是；当BP取最小值时，Z)P延长线交线段BC于E，则CE的长为

【解析】

【分析】(1)如图，由NBCP=NPr)C及NBCO=90°易证NCPD=90°，所以点尸在以CD为直径的

圆上，连接0B,交。于P,此时BP长最小，根据勾股定理求解OB=5,进而求得5P为2；

1RFDp

(2)如图，作。尸Be交OE于E，由OC=OD可证OF=-CE,由BPEOPF知—=——，

2OFPO

从而解得CE=3.

/.ZBCD=90°,

.∙.ZBCP+ZDCP=90°

∙.∙ZBCP=NPDC,

：.NPDe+NPCD=90°,

:.NCPD=90°,

以Cr）为直径作OO,。。经过点尸，连接。8,交c0于p,此时PB长最小.

OB2=BC2+COZ=42+32,

.∙.OB=5,

：.PB=OB—OP=5—3=2,

故答案为2.

（2）作。『BC交DE于F,

OC=OD,

..DF=EF9

：.OF=>CE,

2

∙/OFBC

：.ZPFO=ZPEB,ZPOF=NPBE

：.,BPEOPF

.BEBP

••-------------,

OFPO

4-CE_2

,F==

2

CE-3.

故答案3.

【点睛】本题主要考查直角三角形的外接圆、点到圆上点的最值问题、中位线定理、相似三角形的判定和性

质；明确动点尸的轨迹，确定BP取最小值时点P的位置是解题的关键；求CE长的关键是利用矩形的性质

及（1）空的结论构造相似三角形求解.

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16

15.计算：（-7Γ-2）°-∣1-tan60°∣-（5）刀+/r,

【答案】√3

【解析】

【分析】根据负整数指数幕的意义，零指数嘉的意义，特殊三角函数值的代入，分母有理化即可求出答

案.

【详解】解：原式=I-（√3-1）-2+苑

3

=1-√3+l-2+2√3

=√3.

【点睛】本题考查了负整数指数幕，零指数累，特殊三角函数值，分母有理化，正确的计算是解题的关

键.

16.某项工程，甲工程队单独施工10天后，为加快进度，乙工程队也加入一起施工，这样共用30天完成了

任务，已知乙工程队单独施工需要40天完成，求甲工程队单独完成此项工程所需的天数.

【答案】甲工程队单独完成此项工程需要60天

【解析】

【分析】设甲工程队单独完成此项工程需要X天，先求出甲、乙工程队每天完成的工程量，再根据题意列出

方程，解方程即可得.

【详解】解：设甲工程队单独完成此项工程需要X天，

将整个工程量看作为“1”，则甲工程队每天完成的工程量为L,乙工程队每天完成的工程量为4

X40

3030-10

由题意得:—+=1)

X40

解得X=60,

经检验，X=60是所列分式方程的解，

答：甲工程队单独完成此项工程需要60天.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

17.如图，在边长为1个单位的小正方形组成的12x12网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的

ABC,并建立如图所示的平面直角坐标系.

（1）画出.TLBC关于X轴对称的一。防（点4,B,C的对应点分别为。，E,F）；

（2）将所向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到GHI（点。，E,F的对应点分别为G,

，，/）,画出平移后的AG"/,并写出点/的坐标.

【答案】（I）见解析；（2）见解析，/C

【解析】

【分析】（1）根据轴对称的性质得出对应的点，再连线即可;

（2）根据平移的性质得出对应的点连线即可.

【详解】解：（1）根据对称的性质作图_DEF如图；

（2）根据平移的性质作图,C/〃如图，/（3,-1）.

【点睛】本题考查了图形的对称变换和平移变换；正确的得出对应点的位置是解题的关键.

18.观察以下等式:

2211

第1个等式：—X—

13^3^1

23

第2个等式：—X—ɪɪ

24~4~2

241_1

第3个等式：—X—

355^3

2511

第4个等式：—X—

466~4

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式；

（2）写出你猜想的第〃个等式：（用含〃的等式表示），并证明.

…小2611

【答案】（1）—X-----=一

5775

(2)-×-一一二=’,证明见解析

nn+2n+2n

【解析】

【分析】(1)分别找到各部分分子和分母的规律，写出第5个等式即可；

(2)根据题意猜想，再利用分式的加减运算法则验算即可.

【小问1详解】

解：由题意可得：

,,,ʌ,,2611

第5个λ等λ式-u：一X------=—；

5775

【小问2详解】

猜想的第几个等式：-X—一一-=

nn+2n÷2n

F口2〃+11

证明：一X---------------

nn+2〃+2

_2(〃+1)____n

〃(〃+2)〃(〃+2)

_2n+2-n

〃(〃+2)

n+2

rt(π+2)

ɪ

n

【点睛】本题考查了数字型规律，分式的加减运算，解题的关键是找到所给等式的规律，并用分式的运算

法则验证.

19.为巩固农村脱贫成果，利兴村委会计划利用一块如图所示的空地A8C。，培育绿植销售，空地南北边

界AB〃C。，西边界经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东58°方向，在点。的北偏东

48。方向，BC=780米，求空地南北边界AB和CO的长(结果保留整数，参考数据：tan48o≈l.l,

【答案】AB的长和CO的长分别约为1248米和390米.

【解析】

【分析】根据题意作辅助线得到矩形BcDE,在直角三角形中利用正切得到AB和AE的长度，再根据线

段的和差关系即可得到CO的长度.

【详解】解：过。作于Z）ElAB于E，

∙.∙BCLAB,

：,BC//DE,

∙.∙AB//CD,

四边形BCoE为矩形，

∙.∙ZAeB=58°,

An

'∙在Rt△ASC中，tan58°=----,

BC

•••5。=78（）米，taπ58o≈1.6,

/.AJ3≈780×1.6=1248（米），

,/NADE=48。，

...在RtZkADE中，tan48°=—,

DE

Y四边形BCOE为矩形，

/.DE=BC=780米,

,/tan480≈1.1,

ΛAE≈780×l.1=858（米），

ΛCD=BE=AB-AE≈1248-858=390（米），

答：AB长和CO的长分别约为1248米和390米.

【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构造出直角三角形是解题的关键.

20.如图，在JIBC中，AB=AC,以AS为直径作。。交BC于点。.过点。作OElAC,垂足为E，

延长C4交Co于点尸.

F

(1)求证：DE是Q的切线；

(2)若tanB=；,Oo的半径为5,求线段。尸的长.

【答案】(1)见解析(2)16

【解析】

【分析】(1)根据已知条件得到。AC,即可得到结论；

(2)连接所、AD，根据已知可求出BD的长，由AB=AC且NAz>3=90°可得。为BC的中点，进

而得到BC的长度，然后根据。D〃AC可证NS=NODB=NC,在RfBCF中,利用勾股定理求解即

可.

【小问1详解】

,/OB=OD,

.∙.ZABC=/ODB,

,.∙AB^AC,

：.ΛABCZACB,

：.NODB=ZACB,

：.OD//AC,

VDElAC,0。是半径，

/.DE^OD,

OE是Co的切线.

【小问2详解】

连接所、AD，

•••：.。的半径为5,AB为直径，

ΛAB=IO,NAD8=90°,ZBFC=90°,

∙.∙tanβ=ɪ,设AD=X,则B£>=2x,

2

在RhAS。中，由勾股定理得：

AD1+BD2=AB2>即/+（2x）2=10、

解得：X=2^∣5^x=-2>∕5（舍去），

.∙∙BD=2x=4√5.

VAB=AC,ZADB=90o,

∙*.BD=CD，

.*.BC=2BD=8√5，

由（1）知，OD//AC,

：.NODB=NC,

'：OB=OD,

：.ZB=NODB=NC,

：.tanC=tanB=ɪ,即CF=2BF，

2

在MBCE中，BF2+CF2=BC2，即8尸+（28/）2=（8√5y,

解得B/7=8或BE=—8（舍去），

.∙.CF=2BF=∖6.

【点睛】本题考查了切线的判定、锐角三角函数的定义，正确理解题意，熟练运用相关性质是解题的关键.

21.皖丰果园随机在园中选取20棵苹果树，并统计每棵苹果树结果的个数如下：

32394555605460285641

51364446405337474546

（1）求前10棵苹果树每棵结果个数的中位数和众数；

（2）若对这20个数按组距为8进行分组，请补全频数分布表及频数分布直方图；

组别第一组第二组第训第四组第五组

个数分组28≤x<3636≤x<4444≤x<5252≤x<6060≤x<68

个数242

(3)若从第•组和第五组中随机选取两棵树进行细化研究，求选取的两棵树恰巧属于不同组别的概率.

【答案】(1)中位数为49.5,众数为60

(2)5,7,图见解析

(3)-

3

【解析】

【分析】(1)根据求中位数和众数方法即可求解；

(2)利用20个频数即可补全第三组和第四组的频数，再补全直方图；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选取的两棵树恰巧属于不同组别的结果数，然后根据概

率公式求解.

【小问1详解】

解：将前10个数从小到大依次排列为：

28323941455455566060

第5个和第6个数分别为45和54,它们两个数的平均数为49.5,所以中位数为49.5,

出现次数最多的是60,出现了两次，所以众数为60；

【小问2详解】

解：补全频数分布表如下：

组别第一组第二组第三组第四组第五组

个数分组28≤X<3636≤%<4444≤x<5252≤x<6060≤%<68

个数25742

补全频数分布直方图(如下)

【小问3详解】

解:设第一组的两棵树分别为A、B,第二组的两棵树分别为C、D,

画树状图为:

开始

ABJD

小/NÆ/τ×

BCDACDABDACB

共用12种等可能的结果，其中选取的两棵树恰巧属于不同组别的结果数为8,

Q2

所以选取的两棵树恰巧属于不同组别的概率=一=一.

123

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出〃,再从中选出符合

事件A或8的结果数目肛然后利用概率公式求出事件A或B的概率.

22.如图，抛物线丁="+法+。经过A(T,0),8(3,0),C(0,3)三点，O为直线BC上方抛物线上一动

点，过点。作。QJ∙X轴于点。，。。与BC相交于点M.DELBC于E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求线段DE长度的最大值；

(3)连接AC,是否存在点。，使得，Cr)E中有一个角与NC4。相等？若存在，请直接写出点。的坐

标；若不存在，请说明理由.

【答案】(Oy=-x2+2x+3

(3)存在，点。的坐标为

【解析】

【分析】(1)设抛物线解析式为y=α(x+l)(x-3),将C(0,3)代入，得：α×(0+l)×(0-3)=3,解得

a=T,即可求出抛物线解析式为y=-f+2χ+3;

(2)设f>(m,τ√+2m+3),且0Vm<3,设直线BC的解析式为y=依+〃，将B(3,0),C(0,3)代

DEBO

入，求出直线3C的解析式为y=-χ+3,证明一DMES_3CO,得出

JDMBC

DE=--m2+^m,即可解得;

22

(3)设。(加,一∕√+2m+3),且0V∕"V3,由(2)知。E=—4加2+半加，分两种情况讨论即可①

OC3

若NZ)CE=NC40，tanNOCE=tanNC4。=—=3,解得m=二或0(舍去)；②若

OA2

CE5

NCDE=NCAO,InnZDCE=——=3,解得加=一或0(舍去)，即可解得.

DE2

【小问1详解】

解：•；抛物线丁=奴2+&+。经过4(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点，

.∙.设抛物线解析式为y=α(x+l)(x-3),

将C(0,3)代入，得：ax(0+l)x(0-3)=3,

解得a=-1.

y=-(x+l)(χ-3)=-χ2+2τ+3,

/.抛物线解析式为y=~x2+2x+3;

【小问2详解】

解：设Z)(∕〃,τ√2+2m+3),且OV〃zV3,

在RLBoC中，

BO=3,

OC=3

5C=√32+32=3√2-

设直线3C的解析式为y=H+”,将8(3,0),C(0,3)代入,

3k+n-0

得《

n-3

k=—1

解得

n-2

：,直线BC的解析式为y=-X+3,

.∙.M(∕w,-m+3),

.*.DM=—m2+2m+3-(―7w)(-m+3)=—m+3m2+3m,

•；DElBC,

：.NDEM=NBoCR00，

VOQLX轴，

.,.OQ〃y轴，

.∙.ZDME=ZBCO,

.∙,JDMESdBCO,

.DEBO

"DM^BC'

DE3

即ɔ~^---T=,

-m^+3m3√2

存在点。，使得,COE中有一个角与NC4O相等.

VA(-LO),6(3,0),C(0,3),

OA=I,

OC=OB=3,

：.NoBC=NoeB=45°，

∙.∙OQ口轴，

.∙.ZBMQ=ZDM^450,

YDElBC,

.∙∙ME=DE，

设D^m,-rri2+2m+3),

且0<〃r<3，

则M(/%-/%+3),

∙'∙CM=+(—m+3-3)^=∖[lm，

由(2)知DE