四边形与新定义综合问题 -2023年中考数学压轴题复习（学生版）

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘(全国通用)

专题32四边形与新定义综合问题

典例剖析“

______________√

【例1】(2022•汇川区模拟)定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：

四边形ABC£>中，若∕A+∕C=180°或NB+NO=I8(Γ,则四边形48C。是“对补四

边形”.

【概念理解】(1)如图1,四边形ABC。是“对补四边形”.

①若NA：NB：NC=3：2：1,则No=度.

②若NB=90°.且A8=3,A£>=2时.则CZ^-CB2=.

【类比应用】(2)如图2,在四边形ABC。中，AB=CB,Bo平分/AOC.求证：四边形

ABCD^“对补四边形

【例2】.(2022•赣州模拟)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形做“等邻角四边形”，例如：

如图1,NB=NC,则四边形ABC。为等邻角四边形.

(1)定义理解：已知四边形ABC力为等邻角四边形，且N4=130°,Zfi=120°,则NO

-度.

(2)变式应用：如图2,在五边形ABa)E中，ED//BC,对角线BD平分乙4BC.

①求证：四边形ABZ)E为等邻角四边形；

②若NA+/C+/E=300°,NBDC=NC,请判断ABCO的形状，并明理由.

(3)深入探究：如图3,在等邻角四边形ABCD中，NB=NBCD,CElAB,垂足为E,

点P为边BC上的一动点，过点P作PNLCD,垂足分别为M,N.在点P的

运动过程中，判断PM+PN马CE的数量关系？请说明理由.

(4)迁移拓展：如图4,是一个航模的截面示意图.四边形ABC。是等邻角四边形，ZA

=ZABC,E为AB边上的一点，EDLAD,ECA.CB,垂足分别为。、C,AB=2√I^d机，

AD=-3dm,BD=437dm.M、N分别为AE、BE的中点，连接。M、CN,求与

△CEN的周长之和.

A

图1图2图3图4

【例3】(2022•常州二模)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的

夹边称为邻余线.

(1)如图/,在AABC中，AB=AC,A。是AABC的角平分线，E,尸分别是8。，A力上的

点.求证：四边形ABEF是邻余四边形；

(2)如图2,在5X4的方格纸中,4,8在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF,

使AB是邻余线，E,IF在格点上；

(3)如图3,己知四边形ABCD是以AB为邻余线的邻余四边形，AB=15,AO=6,BC=3,

ZADC=135°,求CQ的长度.

【例4】(2022•工业园区模拟)【理解概念】

如果一个矩形的一条边与一个三角形的一条边能够重合，且三角形的这条边所对的顶点

恰好落在矩形这条边的对边上，则称这样的矩形为这个三角形的“矩形框”.如图①，矩

形ABoE即为AABC的“矩形框”.

(1)三角形面积等于它的“矩形框”面积的；

(2)钝角三角形的“矩形框”有个；

【巩固新知】

(3)如图①，A4BC的“矩形框”ABDE的边AB=6c"i,AE=2cnι,则AABC周长的最小

值为cm；

(4)如图②，已知BC中，NC=90°,AC=4an,BC=3cm,求44BC的''矩形框"

的周长；

【解决问题】

(5)如图③，锐角三角形木板ABC的边AB=I4cm,AC=∖5cm,BC=∖3cm,求出该木板

的“矩形框”周长的最小值.

C

图①图②图③

满分训练.

一.解答题(共20题)

1.(2022∙罗湖区模拟)定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角

为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.

根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1,正方形ABC。中E是CO上的点，将ABCE绕B点旋转,使BC与84重合，

此时点E的对应点P在OA的延长线上，则四边形BEDF(填“是”或“不是”)

“直等补”四边形；

(2)如图2,已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB=BC=IO,CD=2,AD>AB,

过点B作BELADTE.

①过C作CF,BF于点F,试证明：BE=DE,并求BE的长；

②若M是Ao边上的动点，求ABCM周长的最小值.

备用图

2∙(2022∙越秀区校级模拟)有一组对边平行，一个内角是它对角的两倍的四边形叫做倍角梯

形.

(1)已知四边形ABC。是倍角梯形，AD/∕BC,ZA=IOOo,请直接写出所有满足条件的

的度数；

(2)如图1,在四边形ABCZ)中，ZBAD+Zfi=180o,BC^AD+CD.求证：四边形ABCD

是倍角梯形；

(3)如图2,在(2)的条件下，连结AC,当AB=AC=Ar)=2时，求BC的长.

3.(2022•嘉祥县一模)定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹

边称为邻余线.

(1)如图1,在aABC中，AB=AC,AO是AABC的角平分线，E,F分别是BC,AD±

的点.求证：四边形ABEF是邻余四边形.

(2)如图2,在⑴的条件下，取EF中点M,连接OM并延长交AB于点Q,延长EF交AC

于点N.若N为AC的中点，DE=2BE,QB=3,求邻余线4B的长.

4.(2021•任城区校级三模)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”

(1)概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子：;

(2)问题探究；

如图1,在等邻角四边形ABCQ中，ZDAB=ZABC,AD,BC的中垂线恰好交于AB边

上一点尸，连结AC,BD,试探究AC与BO的数量关系，并说明理由；

(3)应用拓展；

如图2,在RtZVLBC与RtZvWO中，NC=ND=90°,BC=BD=3,AB=5,将Rt△

ABD绕着点4顺时针旋转角α(0°<Nα</84。得到RtAAB'(如图3),当凸四边

形A。'BC为等邻角四边形时，求出它的面积.

5.(2022春•曾都区期末)定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做”等角线四边形”.

(1)在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四

边形”的是(填序号)；

(2)如图1,在正方形ABC。中，点E,F分别在边BC,C。上，JiEC=DF,连接EF,

AF,求证：四边形ABE尸是等角线四边形；

(3)如图2,己知在AABC中，NABC=90°,AB=4,BC=3,。为线段A8的垂直平分

线上一点，若以点4,B,C,力为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形

6.(2022春•南沼区期末)定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做

等腰梯形.

【性质初探】如图1,已知，SABCD,NB=80°,点E是边AO上一点，连结CE,四

边形ABCE恰为等腰梯形.求N8%的度数；

【性质再探】如图2,已知四边形ABCD是矩形，以BC为一边作等腰梯形BCE凡BF

=CE,连结BE、CF.求证：BE=CF;

【拓展应用】如图3,UL4BC。的对角线AC、BD交于点O,AB=2,ZABC=45°,过

点。作Ae的垂线交BC的延长线于点G,连结。G.若NCQG=90°,求BC的长.

7.(2022春•长汀县期末)在平面直角坐标系中，如果点p(α,与满足。+1>匕且匕+1>α,则

称点P为“自大点”：如果一个图形的边界及其内部的所有点都不是“自大点”，则称这

个图形为“自大忘形”.

(1)判断下列点中，哪些点是“自大点”，直接写出点名称；pι(l,0),p2(√2,VS)，

-,

P3(^1∙Vδ)

⑵如果点M2x+3,2)不是“自大点”，求出X的取值范围.

(3)如图，正方形ABCZ)的初始位置是A(0,6),B(0,4),C(2,4),DQ,6),现在正方

形开始以每秒1个单位长的速度向下(y轴负方向)平移，设运动时间为，秒”>0),当正方

形成为“自大忘形”时，求r的取值范围.

y

6

4

->

OX

8.(2022春•江北区期末)定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四

边形叫做原四边形的“中点四边形”.如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这

个原四边形叫做“中方四边形”.

概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是

A.平行四边形

B.矩形

菱形

D.正方形

性质探究：如图1,四边形A88是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCQ

的两条结论:

问题解决：如图2,以锐角AABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形A83E

和正方形ACFG,连结BE,EG,GC.求证：四边形BCGE是“中方四边形”；

拓展应用：如图3,已知四边形ABCC是“中方四边形”，M,N分别是AB,CQ的中点，

(1)试探索AC与MN的数量关系，并说明理由.

(2)若4C=2,求AB+C。的最小值.

A

C

图1图2图3

9.(2022春•铜山区期末)新定义；若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边

形.

(1)下列四边形为对直四边形的是(写出所有正确的序号)；

①平行四边形；②矩形；③菱形，④正方形.

(2)如图，在对直四边形ABCD中，已知NABC=90°,。为AC的中点.

①求证：2。的垂直平分线经过点O；

②若AB=6,BC=8,请在备用图中补全四边形A8CZ),使四边形ABC。的面积取得最大

值，并求此时BO的长度.

(备用图)

10.(2022春•盐田区校级期末)给出如下定义：有两个相邻内角互余的四边形称为“邻余四

边形”，这两个角的夹边称为“邻余线”.

(1)如图1,格点四边形4BC。是“邻余四边形”，指出它的“邻余线”；

(2)如图2,在AABC中，AB=AC,AO是aABC的角平分线，E,F分别是8。，ADh

的点.求证：四边形ABEF是“邻余四边形”；

(3)如图3,四边形ABC。是''邻余四边形”，AB为“邻余线”，E,F分别是A8,CQ的

中点，连接EF,AZ)=4,BC=6.求EF的长.

11.(2022春•玄武区期末)【概念认识】

在四边形ABC。中，ZA=ZB.如果在四边形ABC。内部或边AB上存在一点P,满足

ZDPC=ZA,那么称点P是四边形ABe。的“映角点

【初步思考】

(1)如图①，在四边形4BC。中，NA=点P在边AB上且是四边形ABCr)的''映角

点若D4〃C尸，DP//CB,则NOPC的度数为°；

(2)如图②，在四边形ABC。中，/A=/8,点尸在四边形ABCO内部且是四边形A8CZ)

的“映角点”，延长CP交边AB于点£求证：NADP=NCEB.

【综合运用】

在四边形ABCD中，∕A=∕8=α,点尸是四边形ABCD的''映角点"，DE、CF分别平

分NAoP、NBCP,当。E和CF所在直线相交于点。时，请直接写出NCQD与α满足

的关系及对应ɑ的取值范围.

12.（2022春•北仑区期末）定义：对角线相等的四边形称为对美四边形.

（1）我们学过的对美四边形有、.（写出两个）

（2）如图1,£>为等腰4ABC底边AB上的一点，连结CC,过C作C/〃AB,以B为顶点

作NCBE=NACD交CF于点E,求证：四边形COBE为对美四边形.

（3）如图2,对美四边形ABC。中，对角线AC、BD交于点、0,AC=BD,DC//AB.

①若乙408=120°,AB+CE>=6,求四边形ABCO的面积.

②若ABCe=6,设AQ=X,BD=y,试求出y与x的关系式.

图1图2备用图

13.（2022春•玄武区校级期中）如图1,NA=NB=NC=∕D=NE=NF=90°,AB,EF、

CO为铅直方向的边，AF.DE、8C为水平方向的边，点E在AB、Cz）之间，且在AA

BC之间，我们称这样的图形为“L图形”，若一条直线将该图形的面积分为面积相等的

两部分，则称此直线为该“L图形”的等积线.

(1)如图2所示四幅图中，直线L是该‘Z图形”等积线的是(填写序号).

(2)如图3,直线〃?是该“乙图形”的等积线，与边BC、AF分别交于点M、N,过MN中

点0的直线分别交边BC、AF于点P、Q,则直线PQ(填“是”或“不是”)该图

形的等积线.

(3)在图4所示的''L图形"中，AB=6,BC=IO,AF=2.

①若C。=2,在图中画出与AB平行的等积线/(在图中标明数据)：

②在①的条件下，该图形的等积线与水平的两条边。E、BC分别交于P、Q,求P。的最

大值；

③如果存在与水平方向的两条边。E、BC相交的等积线，则Cf)的取值范围为.

14∙(2022∙姑苏区一模)定义：有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边

形.

⑴如图1,在半对角四边形ABC。中，∕B=L∕O,∕C=L∕A,则∕B+∕C=°；

22

(2)如图2,锐角AABC内接于。。，若边AB上存在一点。，使得BO=BO,在。4上取

点E,使得DE=OE,连接DE并延长交AC于点F,ZAED=3ZEAF.求证：四边形

BCF。是半对角四边形：

(3)如图3,在(2)的条件下，过点。作DGLOB于点”，交BC于点G,0H=2,DH=6.

①连接OC,若将扇形02C围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为：

②求AABC的面积.

夹边称为邻余线.

(1)如图1,在aABC中，A8=AC,A。是aABC的角平分线，E,F分别是3Z),AD±

的点.

求证：四边形ABEF是邻余四边形.

(2)如图2,在5X4的方格纸中,A,B在格点上,请画出一个符合条件的邻余四边形ABE尸，

使AB是邻余线，E,F在格点上.

(3)如图3,在(1)的条件下，取EF中点M,连接。M并延长交AB于点Q,延长EF交AC

于点M若N为AC的中点，CD=3BE,QB=6,求邻余线AB的长.

CC

A

1-----T

LJ___1L

EBM

ABAQB

图1图2图3

16.(2022春•西城区校级期中)平面直角坐标系xθy中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别

为：ʌ(-ɪ..),θ(-ɪ.-⅛,e(ɪ,-⅛θ(ɪ,ɪ),P、Q是这个正方形外两

乙乙乙乙乙乙乙乙

点，且PQ=L给出如下定义：记线段P。的中点为7,平移线段PQ得到线段P'。'(其

中P,。'分别是点P,Q的对应点)，记线段Pe的中点为7.若点P和分别落在正方

形ABC。的一组邻边上，或线段Pe与正方形ABCO的一边重合，则称线段TT长度的最

小值为线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”,称此时的点T为线段PQ到正方形ABCD

的“回归点

(1)如图1,平移线段P。，得到正方形内两条长度为1的线段PiQi和放。2,这两

条线段的位置关系为;若Tl,T2分别为PlQl和P20的中点，则点(填

TI或乃)为线段PQ到正方形ABCD的“回归点”；

图1图2图3

(2)若线段PQ的中点T的坐标为(1,1),记线段PQ到正方形ABCD的“回归距离”为

d∖,请直接写出力的最小值：,并在图2中画出此时线段尸。到正方形ABez)的

“回归点”7(画出一种情况即可)；

(3)请在图3中画出所有符合题意的线段PQ到正方形ABCQ的“回归点”组成的图形.

17.(2022秋•福田区期中)定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个

非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径.如图∖,ZABC=ZADC=WO,四边形ABCz)

是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角

形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的.如图1中：AABC和aABO有公共边

AB,在AB同侧有NAQB和NACB,JtHjZADB=ZACB;再比如aABC和ABCD有公

共边BC,在CB同侧有/84C和NBZ)C,此时∕BAC=∕BOC.

(1)请在图1中再找出一对这样的角来：=；

(2)如图2,AABC中，∕48C=90°,以AC为一边向外作菱形ACEF,£＞为菱形ACEF

对角线的交点，连接8。.

①四边形ABCz)损矩形(填"是”或“不是”);

②当BO平分/ABC时，判断四边形ACE尸为何种特殊的四边形？请说明理由；

③若∕ACE=6(Γ,AB=4,BD=5√3.求BC的长.

18.(2022春•江阴市校级月考)定义：长宽比为√G:1(〃为正整数)的矩形称为√R矩形.下

面，我们通过折叠的方式折出一个√E矩形，如图。所示.

操作1：将正方形ABEF沿过点4的直线折叠，使折叠后的点B落在对角线AE上的点G

处，折痕为A”.

操作2：将FE沿过点G的直线折叠，使点F、点E分别落在边AF,BE上，折痕为CD.则

四边形ABCD为典矩

(备用图)

(1)证明：四边形ABCz)为√5矩形；

(2)在题(1)的矩形ABC。中，点