江苏省扬州市2022-2023学年高二下学期5月月考数学试卷（含解析）

高二数学5月考试卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1.如果A(1,5,T),B(2,4,l),C(α,3,b+2)三点共线，那么α+b=()

A.1B.2C.3D.4

2.(2x-y＞的展开式中/y的系数为()

A.-32B.32C.8D.-8

3.已知｛α,b,c｝是空间的一组基底，则可以与向量p=α+6,q=α-A构成基底的向量是()

A.aB.bC.a+2hD.a+2c

4.算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国传统的计算工具：现有一种算盘(如图1),共两

档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5,梁下五珠，上拨一珠记作数

字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠，则表示的数字大于50的概率为()

十位个位十位个位

图1图2

5.由O,l,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有()个

A.360B.192C.312D.240

6.已知P(B)=O.3,P(BlA)=O.9,P(BlA)=0.2,则P(X)=()

A.-B.-C.-D.—

77310

7.为了预防肥胖，某校对“学生性别和喜欢吃甜食''是否有关做了一次调查，其中被调查的男女生人数相同,

男生喜欢吃甜食的人数占男生人数的：2，女生喜欢吃甜食的人数占女生人数4的若有99%的把握认为是

否喜欢吃甜食与和性别有关，则被调查的男生人数可能是()

n(cul-be)2

参考公式及数据：K2=其中n=a-∖-b+c+d.

(α+6)(c+d)(α+c)(b+d)'

2

附：p(κ≥kn)0.050.010

C.15

8.已知α=ln2.6,⅛=0.5×1.82,C=I.3则下列排序正确的是（

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>ba>b>c

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9.下列命题正确的是()

A.对于事件A,B,若AqB,且尸(A)=O.3,P(B)=O.6,则P(BlA)=I

B.若随机变量4~N(2∕2),P(J<4)=O.84,则P(2<J<4)=0.16

C.相关系数『的绝对值越接近1,两个随机变量的线性相关程度越强

D.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越宽表示回归效果越好

10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是()

A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种

B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种

C.甲乙不相邻的排法种数为72种

D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种

11.已知离散型随机变量X服从二项分布B(",p),其中"∈N*,O<p<l,记X为奇数的概率为X为偶

数的概率为b,则下列说法正确的有()

3355

A.a=C>(l-py-'+C>(1-P)-+C>(1-p)'-+B.p=g,且"为偶数时，a<b

C.O<p<g时，4随着”的增大而增大D.g<p<l时，“随着"的增大而减小

12.如图所示，圆锥Po中，Po为高，AB为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积√k

等于2的等腰直角三角形,C为母线布的中点,点M为底面上的动点,且OMLAM,∕3⅛I∖

点。在直线PM上的射影为从当点M运动时，()盥二

A.三棱锥M-ABC体积的最大值为立B.直线CH与直线用垂直不可能成立

C.”点的轨迹长度为万D.A”+“。的值小于2

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知随机变量6服从正态分布唱,4),S.P(ξ<-l)=P(ξ>m),则a+,小的展开式中X的系数为

14.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A片GR中，E为线段40的中点，则点C到平面4EC∣的距离等

于.

15.定义在R上的奇函数/(x)满足Vx∈R,/(x)+∕(4-x)=0,且当O<χ<2时，/(x)=V-2',则

2023

∑∣∕ω∣=.

Z=I

16.某工厂的某种产品成箱包装，每箱IOO件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合

格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取10件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所

有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(O<0<l),且各件产品是否为不合格品相互独立.记10

件产品中恰有3件不合格品的概率为了(P),则/(0)取最大值时，P=.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.

17.现有7本不同的书准备分给甲、乙、丙三人.

(1)若甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得4本，则不同的分配方法有多少种？

(2)若甲、乙、丙三人中，一人得3本，另外两人每人得2本，则不同的分配方法有多少种？

18.在①“2=60,②二项式系数之和为64,③二项式系数最大项仅为第4项这三个条件中任选一个，补充

2

在下面横线中，已知(l-2x)”=a0+alx+a2xH---Fanx"(n∈N+),,求：

⑴”的值；

(2)一,+∣∣■—导+…+(-1)”祟的值.

19.设某幼苗从观察之日起，第X天的高度为ycm,测得的一些数据如下表所示：

第X天1234567

高度ycm0479111213

作出这组数据的散点图发现：y(Cm)与X(天)之间近似满足关系式y=法+α.

(1)试借助一元线性回归模型，根据所给数据，求出y关于X的线性回归方程a=Ax+4；

(2)在作出的这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的3个点，记这3个点中幼苗的高度大于了的点

的个数为J,其中亍为表格中所给的幼苗高度的平均数，试求随机变量J的分布列和数学期望.

^xiyi-nxy

附：回归方程y=故+&中斜率与截距的最小二乘估计公式，分别为8=j⅛----------------------，a=y-bX

Lvɔs-2-n—χ2^

I=I

20新能源汽车是中国新兴产业之一，政府高度重视新能源产业的发展，某企业为了提高新能源汽车

品控水平，需要监控某种型号的汽车零件的生产流水线的生产过程，现从该企业生产的该零件中随机抽取

100件，测得该零件的质量差(这里指质量与生产标准的差的绝对值)的样本数据统计如下表.

质量差(单位：mg)5667707886

件数(单位：件)102048193

(1)求样本平均数元的值；根据大量的产品检测数据，得到该零件的质量差(这里指质量与生产标准的差的

绝对值)X近似服从正态分布其中/的近似值为36,用样本平均数了作为〃的近似值，求概率

P(64<X<82)的值；

(2)若该企业有两条生产该零件的生产线,其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的生产效率的两倍.

若第1条生产线出现废品的概率约为0.015,第2条生产线出现废品的概率约为0.018,将这两条生产线生

产出来的零件混放在一起，这两条生产线是否出现废品相互独立.现从该企业生产的该零件中随机抽取一件.

(i)求该零件为废品的概率；(ii)若在抽取中发现废品，求该废品来自第1条生产线的概率.

参考数据：若随机变量J服从正态分布N(Mb2),则：P(∕∕-σ<⅞≤z∕+σ)≈0.6827,

P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545,P{μ-3>σ<ξ<μ+3σ)≈0.9973

21.如图，在多面体ABCoE尸中，侧面BCDF为菱形，侧面AsE为直角梯形,

AC//DE,AC1CD,M,N分别为DF,A8的中点，且

BC=2,AC=2DE,ZCBF=60.

⑴证明：MN〃平面Aa)E；

(2)若平面BCDFLnACDE,多面体ABa)M的体积为吆叵，求直线MV与平面ABb所成角的正弦值.

3

22.已知函数/(x)=sinx-αln(x+l).

(1)当α=l时，证明：当xe[0,l]时，/(χ)>O;

⑵当xe[0,π]时，/(x)≤2e*-2恒成立，求”的取值范围.

参考答案:

1.D

解析：即AB=(I,T,2),AC=(α-1,—2力+3),

A(l,5,-1),3(2,4,1),C(a,3,A+2)三点共线，故AB〃4C，

β∣J(1,-1,2)=Λ(α-1,-2,λ>+3),解得4=万，a=3,b=l,故4+>=4.

故选：D

2.A

解析:由题设，展开式通项为J=C：(2x)F-y『=C；24-yT(-1)了,

.∙.r=1时，凸,的系数为C：X23X(_»=-32.

故选：A

3.D

解析：∙.∙p=α+b,q=a-b,；・P，q与共面,故A,B错误；

:。+2人=：(。+匕)一J,—〃)=；〃一Q",・\q+2匕与p,g共面，故C错误；

Irrrrrrr

V{a,b,c}是基底，,不存在x,y使a+2c=x(α+b)+y(α-b)=(x+y)α+(x-y)6成立,

∙∙∙a+2c与PM不共面，故α+2c可以与p,q构成空间的一组基底，故D正确.

故选：D.

4.B

解析：拨动图1算盘中的两枚算珠，有两类办法，

第一类，只在一个档拨动两枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为2,6,20,60；

第二类，在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法，表示的数字分别为11,15,51,55,

所以表示不同整数的个数为&

其中表示的数字大于50的有51,55,60共3个，

所以表示的数字大于50的概率为

O

故选：B

5.D

解析：解：根据题意可分为两类：个位数字为0和个位数数字为2或4,

当个位数字为O时，小于5(XXX)的偶数有C：A：=4χ24=96个;

当个位数字为2或4时，小于5(XXX)的偶数有C；C；A：=144个,

所以小于5(XXX)的偶数共有96+144=24()个.

故选：D.

6.A

解析：由全概率公式可得:P(B)=P(A)∙P(B∣A)+P(孙P(BIx)

可得0.3=P(A)Xo.9+(1-P(A))Xo.2,解得：P(A)=∣.

则尸(A)=

故选：A.

7.C

解析：由题意被调查的男女生人数相同，设男生的人数为：5〃?(〃"N"),由题意可列出2x2列联表:

男生女生合计

喜欢吃甜食2m4m6m

不喜欢吃甜食3mm4/27

合计5ιn5mIOzn

n(ad-be)2_1Otn(2m∙nι-4m∙3∕n)2_5ιn

(a+⅛)(c+rf)(π÷c)(⅛+<7)6m∙4m∙5m∙5m3

由于有95%的把握认为是否喜欢吃甜食和性别有关，

5/77

所以已竺>6.635；解得：5m>19.905,因为"eN”,

3

所以选项ABe错误，选项D正确.

故选：D.

8.A

解析：因为b=0.5χl.82=0.5χ3.24=1.62,α=In2.6,

令/(x)=InX-X+l(x>l),则f∖x)=--↑=l≡≡<0,

故〃x)在(l,+∞)上单调递减，

所以/(2.6)<∕(l)=0,即1n2.6-2∙6+l<0,故ln2.6<1.6,

因为C=Ll5=(1+0.1)5=C；+C；(0.1P+C；(0.1Y+C：(0.1)3+C；(O.I)，+C“O.I)，

=1+0.5+0.1+0.01+0.0005+0.00001=1.61051,

所以1.62>1.61051>1.6>ln2∙6,即“c>a.

故选：A.

9.AC

,、，、/I∖P(AB)P(A)

解析：对于A,由A=8,则P(AB)=P(A),故「(用力=1⑶2=京引=1,故A正确；

对于B,由随机变量J~N(2,*),则随机变量J满足的正态分布曲线关于直线J=2对称，

故P(2<J<4)=P(0<4<2),P(J<O)=P(J>4)=1-P(J<4)=0.16,

P(2<^<4)=0∙84~0∙16=0.34,故B错误；

对于C,根据相关系数的性质，可得C正确；

对于D,根据残差图的性质，可知宽度越窄表示回归效果越好，故D错误.

故选：AC.

10.ACD

解析：对于A,甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有A：=24

种排法，A正确；

对于B,若甲站在最左端，乙和丙，丁，戊全排列，有A：=24种排法，

故B错误；

对于C,先将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有A；・A；=72种排法，C正确；

对于D,甲，乙，丙，丁，戊五人全排列有A：=120种排法，

甲乙丙全排列有A；=6种排法，则甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有4=20种，故D正确.

6

故选：ACD.

11.AC

解析:因为X8(",p),所以P(X=Z)=C>√(l-p)i,3且it∈N,

对于A：由二项分布可知a=C>(l-p)n-'+CPP_p)T+c>5(l-pΓ5+∙.故A正确;

8屋)，则P(X=A)=Cg)(A=O,1,2,3,

对于B,由p=g时，X,〃)

所以〃=(；)©+C+C/)=(g)x2,i=;,

b=({f©+C：+C：+.)=(£fx2，i=g,

所以α=6,故B不正确，

对于C、D：”[(1')+"一[(1')一川"1-(1-24.

22

当0<p<:时，αJ-(J2p)”,且l-(l-2p)”为正项且单调递增的数列,

222

故“随着”的增大而增大，故C正确，

当(<p<l时，q」(]2”,且「(J2p)”为摆动数列,故D不正确.

222

故选：AC

12.ACD

解析：设圆锥的底面半径为R,高为九母线长为/.

由已知，圆锥的轴截面为面积等于2的等腰直角三角形，贝IJ其面积S=《PA?PB!r=2,解得/=2,所以

22

对于A项，如图2,由OM_LAM可知，点M在以OA为直径的圆上.

因为。A=R=√∑,所以点M到平面∕¾8距离的最大值为LOA=立.

22

图2

易知%Z(C=21,故三棱维M-ABC体积的最大值为Llx®=立，故A正确.

22326

对于B项，易知POJ_平面AMB,AMU平面AWB,所以AM_LP。，又LoM,OMΠPO=O,OMU平面

POM,PoU平面PoM,

所以AM_L平面POM,又OHU平面POM,则AM_LOH,

又。PMΠAM=M,AMU平面βUf,PMU平面∕¾M,则OH_L平面∕¾M,又∕¾u平面∕¾M,则

OHVPA,

由△«48是等腰直角三角形，可得PO=OA,即4POA为等腰三角形，连接OC,又C为孙的中点，故布，。C,

又OHCOC=O,OHU平面OHC,OCU平面OHC,则B4_L平面OHC,所以M_LCH恒成立，故B项不正

确.

对于C项，由B项可知∕¾，平面04C,又。”_L平面∕¾M,HCU平面∕¾Λ∕,所以OHLHC,过点C且与

B4垂直的平面仅有一个，则H点的轨迹为以OC为直径的圆(除去O,C两点).

又OC=LPA=1，则”点形成的轨迹周长为π,故C项正确.

2

对于D项，设O"=x,x?(0,1),由B项可知CHL∕¾,CHVOH,则CH=JI-X?,AH=S_Xi•

所以ΛH+//O=X+∙√2-X：<点&+2-J=2,则A”+，。的值小于2,D项正确•

故选:ACD.

13.192

解析：因为随机变量。服从正态分布且PC<-l)=PC>m),

所以-1+∕Π=2XL故〃?=2,

2

二项式(x+2)6展开式的通项及M=CXi2。

令6d=1,可得A=5,

所以(x+2)6展开式中X的系数为CQ5=192,

故答案为：192.

14.亚

6

如图，建立空间直角坐标系，则A(1,O,1),Eh,∣,olC1(0,1,0),C(0,l,l),

，ACl=(-1,1,-1),设平面AEG的一个法向量为〃=(χ,y,z),

-y-z=0

2，取"=(1,2,1),又AC=(TJO),

AC1H=O-x+y-z=0

所以点C到面AEC1的距离d=正处ɪ=二=£，

∖n∖√66

故答案为：立.

6

15.1012

解析：因为/O)是奇函数，且/(x)+∕(4-x)=0,

所以f(X)=-/(4-X)=/(D,

故/(X)是周期为4的周期函数.

/(D+/(3)=/(D+/(-1)=0,所以/(3)=-ʃ(l)=1，

令χ=2,可得/(2)+∕(2)=0,所以"2)=0,

因为函数为奇函数且周期为4,所以7(4)=∕(0)=0,

则"⑴I+"⑵I+"⑶l+"(4)∣=2"⑴|=2,

20234

则∑lf∖DI=506∙∑l∕∙(Z)I-1八4)h506X2-0=1012.

/=IZ=I

故答案为:1012.

16.2/0.3

解析：因为每件产品为不合格品的概率都为p(0<O<l),且各件产品是否为不合格品相互独立,

所以，10件产品中恰有3件不合格品的概率为f(p)=C>p3(l-p)7,

272

则尸(P)=ʒeɜ,P(I-P)-7C〉p3(1_p)6=eʒ,∙p(l-[3(1-P)-7句

=CQpp-p『(3-IoP),

当o<p<6时，/'(p)>°,此时函数/(P)单调递增，

当才p<l时，f∖p)<O,此时函数/(p)单调递减，

故当P=S时，〃P)取最大值.

3

故答案为：—.

17.(1)630

(2)630

解析：(1)首先将7本书分成1本、2本、4本，共三组有C；C；C：=105种，

再将三组分给甲、乙、丙三人有A；=6种，

所以共有105x6=630种.

rι2r,2

(2)首先将7本书分成3本、2本、2本，共三组有•七二105种，

再将三组分给甲、乙、丙三人有A；=6种，

所以共有105x6=630种.

18.(1)6；

(2)63.

解析：(1)若选①，因为7；=C(-2x)2=阴》2,所以4=(-2)2C=60,化简可得"("-1)=30,且“eN,,解

得n=6.

若选②，则2"=64,n=6.

若选③，则g+l=4,∙"=6.

(2)由(1)知,n=6

ikt

(1-2x)6的展开式通项小=C*(-2x)=akx,所以做=(―2)*C*=(-l)*∙2C*,

所以焉+∣H崇+…+(if崇

(-『•2'C；,(-1»2十：(一1)3"最，,6(一炉3C

222231'26

=C+C：+C：+…+屋=26-1=63

593

19.(↑)y=-x一一

287

IO

⑵分布列见解析，数学期望碓)二j.

12

解析：(1)由表格数据，Wx=.++3+4+5+6+7=4

-0+4+7+9+11+12+13C

y=----------------------------=8,

7

l×0+2×4+3×7+4×9+5×ll+6×12+7×13-7×4×8_59

ΛJ2222222

=I2+2+3÷4+5÷6÷7-7×4=云，

593

所以G=y-bλx=S----×4=——,

287

所以y关于无的线性回归方程为f=∣59∣χ-3

(2)7天中幼苗高度大于5=8的有4天，小于等于8的有3天，

从散点图中任取3个点，即从这7天中任取3天，

所以这3个点中幼苗的高度大于亍的点的个数片的取值为0,1,2,3,

r,3C01c2rl

P(^=O)=½=±.尸值=I)=EI12

'',eɜ35'''C35

陛=2)=警喘叱M罟4

所以随机变量4的分布列为:

专0123

112184

P

35353535

随机变量看的期望值Eq)=OX2+lx∣∣+2χ导3χ^=^∙

20.(I)J=70,0.8186

⑵(i)0.016；(ii)I

O

WL,八_56×l0+67×20+70×48+78×19+86×3”

解析：(1)X=---------------------------------------------=70

由X-^v(z∕,σ2)√∕=70,σ2=36#:

P(64<X<82)=P(70-6<X<70+2×6)

P{μ-σ<X<μ+σ)P{μ-2σ<X≤χz+2σ)

=--------------------------F----------------------------=UW86

22

(2)(i)设A="随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，

Bl="随机抽取一件零件为第1条生产线生产”,

员="随机抽取一件零件为第2条生产线生产”,

71

则由题意可知P(z4)=3，P(82)=§,

又P(Al4)=0.015,P(AlS2)=0.018,

于是P(A)=P(AC(4UB2))=P(ABlUAB2)=P(AB1)+P(AB2)=

21

P(BJP(AlBl)+P(B,)P(A∣β2)=-×0.015÷-×0.018=0.016.

2

1

(ii)P(B\1y^(ABl)P(B,)P(Λ∣Bl)J×Q∙θ55.

(1)P(A)P(A)0.0168

21.(1)证明见解析

⑵回

38

解析：(1)取AC的中点G,连接NGDG,则NG为,/BC的中位线，

所以NG〃3C,且NG=LBC,又DMMBC,ELDM=-BC,

22

所以NG//DM,且NG=O0,即四边形Z)MNG为平行四边形，

所以MN//DG,又MNU平面Aa>E,OGu平面ACz)E,

故MN〃平面ACDE.

(2)连接CM,在菱形BaM中/CBF=6(),贝IJCMJ.Z)F,CΛ/=JL

在直角梯形ACOE中ACLCD,所以DEJ.CD,

因为面BCDFɪ面ACDE,而BCDFC面ACDE=CD,DEU面ACDE,

所以DEJ,平面Ba>尸，又CMU平面8COF,故£>£_LCM,

又DF-DE=D,DF,DEu面DEF,所以CMi•平面OEE

连接GE,GB,因为AC=2OE,即CG=DE,且CG〃DE,

所以CQEG为平行四边形，CDllEGIlBF且CD=EG=BF，则CGB—DEF为三棱柱,

设OE=∕n,则4C=2m,三棱柱CGB-DEF的体积K=SoEFXCM=gχ2xmχCM=鬲.

连接GF,则三棱锥F-ABG的体积匕=JXSABGXCM=LXSBCCXaW=IXSOMXCM=立机.

L3ΛD<-73Oto3Utzr3

取8户中点，，连接C4,则C",αλC∕∕=6,

面BCDF±面ACDE,而BCDFC面ACDE=CD,CHU面BCDF,则Ca"L面ACDE,

所以三棱锥F-AGE的体积匕=gx$AGEXCH=gxgx,wx2xJJ=~^m,

由多面体ABa)EF的体积为丑叵，得：^m+同m+®m=或,解得加=2.

3333

综上，CAC”,8两两垂直，以C为坐标原点，C4,C",8所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系.

则C(0,0,0),4(4,0,0),网0,道,—1),。(0,0,2),G(2,0,0),

AB=(-4,√3,-l),BF=CD=(0,0,2),W=GD=(-2,0,2),

AB∙m=-4x+-7ɜv-z=0,「、(L\

设面AB尸的法向量为∕w=(x,y,z),由-，令x=√L则加=6,4,0,

BFm=Iz=Q')

设直线MN与平面ABF所成角为。，所以sin。=Icos(NMMl=-芋L='逗，

I'/I2√2×√1938

故直线MN与平面ABF所成角的正弦值为晅.

38

22.(1)证明见解析

(2)[-l,-κx))

解析：(1)法一：首先证明sinx≤x,x∈[0,+∞),理由如下:

构造√(^)=sinx-x,%∈[0,+∞),

贝∣」/(x)=8sx-l≤。恒成立，故J(X)=SinX-X在X∈[0,+∞)上单调递减,

故/(x)≤∕(0)=0,所以SinX≤x,x∈[0,÷w),

/(x)=sinX-In(X+1),x∈[0,1],

f,(χ}=COSx-=l-2sin2-----————≥1---一—(O≤x<l),

v71+x21+xx+∖2l+x'

2+2.x——X—2型二。＞0在xw[0,l]上恒成立,

故rα)≥

2+2X2+2X

所以/(χ)在[。』单调递增，故/(χ)≥∕(o)=o

法二:/(x)=sinx-ln(x+l),x∈[0,1],

ʃ(ɪ)ɪeosɪ-ɪ-,且T(O)=O,

4∙⅛(x)=∕,(x)=cosx--ɪ-,则J(X)=-SinX+(]；)2,

ɪ2

令W(X)=/(X)=-Sinx+∙^―-T,则w'(x)=-cosx-「^<0在XqO,1]上恒成立,

11+XJ(1+XI

所以/(x)=-sinx+7;~@单调递减，

(ι+χ)

Jr11

又，(O)=I>0,其中sin1>sin—=ɪ,⅛⅛√(1)=-sinl