数学物理方法期末复习

复变函数论习题课主要内容：一、复数及其运算1）复数的三种表示模辅角代数表示三角表示指数表示1定义2）几何意义意义1意义2复平面上的点复平面上从原点引出的矢量3）两个特殊的复数零点模为零、复角任意的点点模为无限大、复角为任意的点2、复数运算（略）3、复数的区域在一个复数的点集中，以某一点为中心作圆周，只要半径足够小，使得圆内的所有点都属于该点集，此点称为该集合的内点。1）内点：2）区域：是一个点集，全部由内点组成，且具有连通性，既点集中任意两点，总可以用一条折线连接起来，折线上的点都属于此点集。3）境界点与境界线：境界点不属于区域，但以它为中心作圆，不论半径多小，圆内总含有区域内的点。境界点的全体，构成境界线。4）开区域与闭区域区域又称为开区域，区域与境界线构成闭区域。例1计算下列复数：例1计算下列复数：解1、法一法二2)、3)、4）、二、复变函数的导数与解析函数1、导数条件：1）、

f（

x

）单值、连续；2）、任何方式趋近z0；3）、所有趋近方式的极限值相同。2、解析函数函数f（x）在某一个区域上的各点处处解析，则称该函数是该区域上的解析函数。3、解析函数的特点1）、解析函数在区域上的各点一定可导；2）、解析函数的实部和虚部满足Cauchy-Riemann方程。极角系直角系4、求解析函数的一般方法全微分法；不定积分法；曲线积分法；5、复变函数的几何意义实部和虚部在复平面上各代表一曲面。v1、定义复变函数的积分是复平面上的线积分复变函数的积分是两个实变函数积分的有序组合

三、复变函数的积分2、Cauchy定理1）、单连通区域的Cauchy定理如果函数在闭连通区域上解析，且沿上任一分段光滑闭合曲线L

（L也可以是的境界限），有推论：解析函数的积分值与路径无关，可以引进不定积分。2)、复通区域的Cauchy定理：ll2l1如果f(z)是闭合复通区域上的单值解析函数，则l为区域的外边界，是区域的内边界。积分方向沿境界线正方向进行。常用Cauchy定理计算复变函数的积分。3、Cauchy公式若在闭单连通区域上解析,为的境界线,为内的任一点,则有1、

单连通区域的Cauchy公式若是复连通区域上的解析函数,是内境界线，是外境界线.是区域的内点,则有沿正方线积分2、复连通区域的Cauchy公式推论：解析函数可以有任意阶导数应用公式计算一些复变函数的积分四、三种级数展开1、泰勒级数展开1）、展开中心的点是函数的解析点；2）、收敛区域是圆周，半径为R=条件：一个重要函数的泰勒级数2、洛朗级数1）、展开中心是函数的基点；2）、收敛区域是环域。很少按着定义通过计算系数的方法展开，通常采用间接展开。条件3、傅立叶级数å¥=++=1kkk0lxπkblxπkaaxf)sincos()(1）、f（x）是定义在无限区间上的周期函数；2）、在(l,-l)上连续或只有有限个第一类间断点；3）、只有有限个极值点.条件：周期函数为偶或奇函数函数å¥==1kklxπkbxfsin)(),,(dsin)(L21kξlπξkξfl2bl0k==ò奇函数偶函数å¥=+=1kk0lxπkaaxfcos)(),2,1(d)(10L==òkflal0xx),2,1(dcos)(20L==òklkflalkxpxx定义在有限区间上的函数做周期函数的傅立叶展开偶周期函数将函数根据边界条件延拓成周期函数奇周期函数f(0)=f(l)=0正弦傅立叶级数余弦傅立叶级数复数形式的傅立叶级数傅立叶级数的数学意义和物理意义数学意义:1）、函数是希尔伯特空间的一个矢量,空间中的基矢量是要展开的级数.实数级数的基是：复数形式的基是：2、通过研究级数的性质了解需要知道的函数性质。物理意义：通过研究相空间的函数性质，了解位形空间函数所含的频率和各频率波的强度。对于实数形式波函数振幅频率五、一种特殊的傅立叶级数-----傅立叶积分对于复数形式波函数振幅频率周期函数含有的频率是分立的。1、定义在无限空间上的非周期函数1、定义在无限空间上的非周期函数在函数定义区间上截取一段以该段区间为周期延拓函数，构成周期函数做周期函数的傅里叶级数展开使周期l趋于无限大傅立叶级数成为傅立叶积分傅立叶积分的实数形式傅立叶变换的实数形式()wwwwwwxdBxdAxfsin)(cos)(+=ò¥0傅立叶积分的复数形式傅立叶变换的复数形式2、定义在半无限空间上的非周期函数构成无限空间上的奇函数将该函数展成傅立叶积分将函数解析延拓到整个空间构成无限空间上的偶函数奇函数偶函数3、傅立叶积分的物理意义频率连续变化对于复数形式波函数振幅对于实数形式波函数振幅振幅频谱函数频率连续变化振幅频谱函数非周期函数的频率是连续变化的。六、留数定理计算实变函数的积分1、有限远点和无穷远点的留数对于有限远点以该点为中心展开的罗朗级数的-1次幂项的系数对于无限远点以零点为中心展开的罗朗级数的-1次幂项的系数负值，即可去奇点、极点、本性奇点的留数原则上可以通过罗朗展开求得。极点的留数还可以通过公式计算出来。2、留数定理计算实变函数的积分1）形如的积分2）形如的积分上半平面的留数x的有理分式3）形如的积分x的偶分式函数特例x的奇分式函数x的有理分式上半平面的留数第七章小结波动方程输运方程拉普拉斯方程泊松方程第一类第二类第三类周期性有界性演化方程稳定方程线性边界条件自然边界条件初始状态初始速度泛定方程边界条件初始条件定解问题1)双曲型方程（HyperbolicEquation）：以波动方程为代表的方程

它描绘了各向同性的弹性体中的波动、振动过程，或声波、电磁波的传播规律．

2)抛物型方程（ParabolicEquation）：以热传导方程（或输运方程）为代表的方程

它主要描述扩散过程和热传导过程所满足的规律.

双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的,有时也称为发展方程.

3）椭圆型方程（EllipticEquation）：以泊松方程为代表的方程

当，即退化为拉普拉斯方程.

它是描述物理现象中稳定（或平衡状态）过程规律的偏微分方程.在物理现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律．

初始条件意义反映系统的特定历史分类初始状态（位置），用u|t=0=f(x)表示；初始变化（速度），用ut|t=0=g(x)表示。典型例子一维热传导未知函数对时间为一阶，只需一个初始条件一端温度为a，均匀增加到另一端温度为bu|t=0=a+(b-a)x/L初始条件一维弦振动未知函数对时间为二阶，需要两个初始条件初始位移处于平衡位置：u|t=0=0两端固定，在c点拉开距离h：

u|t=0=hx/c，0<x<c;u|t=0=h(L-x)/(L-c)，c<x<L;初始速度处于静止状态：ut|t=0=0在c点受冲量I：ut|t=0=Iδ(x-c)/m边界条件举例典型线性边界条件一维弦振动固定端u|x=0=0受力端ux|x=0=F/k一维杆振动固定端u|x=0=0自由端ux|x=0=0受力端ux|x=0=F/YS一维热传导恒温端u|x=0=a绝热端ux|x=0=0吸热端ux|x=0=F/k达朗贝尔公式分离变量流程图第八章分离变数法典型问题的求解定解问题未知函数分离泛定方程分离边界条件分离分离结果典型问题的求解空间方程解出非零解条件非零解时间方程解出分离结果的求解典型问题的求解初始条件要求分离结果的合成再合成半通解系数的确定过程小结分离变量——分别求解——合成半通解——由初始条件确定系数波动方程定解问题初始条件要求未知函数分离泛定方程分离边界条件分离本征运动半通解拉普拉斯方程矩形区域定解问题未知函数分离泛定方程分离X边界条件分离分离解半通解Y边界条件要求泛定方程边界条件本征值问题本征值本征函数

k=1,2,3…

k=0,1,2,3

k=0,1,2,3

k=0,1,2,3…

基本思路：定解问题：§8、2非齐次振动方程和输送方程傅立叶级数法（1）、根据方程的线性，将解设为分离变量形式的解：(2)、根据边界条件，将X(x)形式写成满足边界条件的函数形式()冲量定理法定解问题该定解问题可以用分离变量方法求解。对定解问题可令u=uI+uII§8、3非齐次边界条件的处理一般处理方法定解问题;带入（2）中令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)则w(x,t)满足

令v(x,y)满足非齐次边界条件中则可设形式为;v（x,t）=A(t)x+B(t)(4)小结:(1)边界条件化为齐次令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)（2）化成两个简单的定解问题可令w=wI+wII球坐标下拉普拉斯方程欧拉方程连带勒让德方程球函数方程第九章二阶常微分方程级数解法轴对称情况勒让德方程波动方程亥姆霍兹方程输运方程球坐标下亥姆霍兹方程L阶球贝塞尔方程连带勒让德方程球函数方程轴对称拉普拉斯方程的求解§10.1轴对称球函数非对称稳定问题的求解解：这是侧面为齐次，上下低面为非齐次问题选柱面坐标，定解问题为：柱函数由上、下底面边界条件有

带入①②中，可得解：定解问题是将边界条件齐次化，令U=u0+v化为：

对于ν=0时

而上下底面为齐次。则有C=0,D=0所以v=0的情况去掉。所以通解为：

由边界条件确定系数