微分方程与差分方程稳定性课件

微分方程与差分方程稳定性理论在研究实际问题时,我们常常不能直接得出变量之间的关系,但却能容易得出包含变量导数在内的关系式,这就是微分方程.在现实社会中,又有许多变量是离散变化的,如人口数、生产周期与商品价格等,而且离散的运算具有可操作性,差分正是联系连续与离散变量的一座桥梁.不管是微分方程还是差分方程模型，有时无法得到其解析解(必要时,可以利用计算机求其数值解),既使得到其解析解,尚有未知参数需要估计(这里可利用参数估计方法).而在实际问题中,讨论问题的解的变化趋势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性加以讨论.7.7微分方程稳定性理论简介

一阶方程的平衡点及稳定性

设有微分方程(1)右端不含字变量t，称为自治方程.代数方程f(x)=0(2)的实根x=x0称为方程(1)的平衡点(或奇点).它也是(1)的解(奇解).如果存在某个邻域，使方程(1)的解x(t)从这个邻域内的某个x(0)出发，满足(3)则称平衡点x0是稳定的(稳定性理论中称渐进稳定);否则，称x0是不稳定的(不渐进稳定).判断平衡点x0是否稳定通常有两种方法.利用定义即(3)式称间接法.不求方程(1)的解x(t)，因而不利用(3)式的方法称直接法.下面介绍直接法.将f(x)在x0点作Taylor展开，只取一次项，方程(1)近似为(4)(4)称为(1)的近似线性方程，x0也是方程(4)的平衡点.关于x0点稳定性有如下结论：若f'(x0)<0，则x0对于方程(4)和(1)都是稳定的;

若f'(x0)>0，则x0对于方程(4)和(1)都是不稳定的.注:x0点对方程(4)稳定性很容易由定义(3)证明：记f'(x0)=a，则(4)的一般解为x(t)=ceat+x0(5)其中常数c由初始条件确定，显然，a<0时(3)式成立.二阶方程的平衡点和稳定性二阶方程可用两个一阶方程表示(6)右端不显含t，是自治方程.代数方程组(7)的实根x1=x10,x2=x20称为方程(6)的平衡点，记作P0(x10,x20).如果存在某个邻域，使方程(6)的解x1(t),x2(t)从这个邻域内的某个(x1(0),x2(0))出发，满足(8)则称平衡点P0是稳定的(渐进稳定);否则，称P0是不稳定的(不渐进稳定).例：求解微分方程组的平衡点，并讨论其稳定性。解：很容易求得该微分方程组的唯一平衡点；由已知微分方程组可以得到进而对该微分方程组的任一解故也有先看线性常系数方程(9)(非齐次方程组，可用平移的方法(x1=u1+c1,x2=u2+c2)化为齐次方程组)系数矩阵记作(10)为研究方程(9)的唯一平衡点P0(0,0)的稳定性，假定A的行列式detA

0.(11)直接法P0(0,0)的稳定性由(9)的特征方程det(A

I)=0(12)的根

(特征根)决定.方程(12)可以写成更加明晰的形式

(13)将特征根记作

1,

2，则(14)方程(9)的一般解具有形式或c1,c2为任意常数.按照稳定性的定义(8)式可知，当

1,

2均为负数或均有负实部时P0(0,0)是稳定平衡点;而当

1,

2有一个为正数或有正实部时P0(0,0)是不稳定平衡点.在条件(11)下

1,

2均不为零.按上述理论可得根据特征方程的系数p,q的正负来判断平衡点稳定性的准则：

若p>0,q>0，则平衡点稳定;（12）

若p<0,或q<0，则平衡点不稳定.（13）

微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（8）式得下面关于稳定性的结论。表1由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性平衡点类型稳定性稳定结点稳定不稳定结点不稳定鞍点不稳定稳定退化结点稳定不稳定退化结点不稳定稳定焦点稳定不稳定焦点不稳定中心不稳定对一般的非线性方程(6)，仍可在平衡点作一次Taylor展开，得常系数的近似线性方程来讨论.非线性方程系数矩阵特征方程系数（17）（18）（19）结论：若方程（17）的特征根不为零或实部不为零，则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（17）的稳定性相同。对于方程（6）的稳定性也由准则（12）、（13）决定。差分方程模型

对于k阶差分方程F(n;xn,xn+1,…,xn+k)=0(20)若有xn=x(n),满足F(n;x(n),x(n+1),…,x(n+k))=0,则称xn=x(n)是差分方程(20的解,包含k个任意常数的解称为（20）的通解,x0,x1,…,xk-1为已知时称为（20）的初始条件,通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为(20)的特解.若x0,x1,…,

已知,则形如xn+k=g(n;xn,xn+1,…,xn+k-1)的差分方程的解可以在计算机上实现.若有常数a是差分方程(20)的解,即F(n;a,a,…,a)=0,则称

a是差分方程(20)的平衡点.又对差分方程(20)的任意由初始条件确定的解

xn=x(n)都有xn→a(n→∞),则称这个平衡点a是稳定的.一阶常系数线性差分方程

xn+1+axn=b,(其中a,b为常数,且a≠0)的通解为xn=C(-

a)n+b/(a+1)

易知b/(a+1)是其平衡点,由上式知,当且仅当|a|＜1时,b/(a+1)是稳定的平衡点.对于一阶非线性差分方程xn+1=f(xn)其平衡点x*由代数方程x=f(x)解给出.为分析平衡点x*的稳定性,将上述差分方程近似为一阶常系数线性差分方程时,上述近似线性差分方程与原非线性差分方程的稳定性相同.

因此当时,x*是稳定的；当时,x*是不稳定的.当二阶常系数线性差分方程xn+2+axn+1+bxn=r,其中a,b,r为常数.

当r=0时,它有一特解x*=0；

当r≠0,且a+b+1≠0时,它有一特解x*=r/(a+b+1).

不管是哪种情形,x*是其平衡点.设其特征方程

2+a

+b=0的两个根分别为

=

1,

=

2.

①当

1,

2是两个不同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解为xn=x*+C1(

1)n+C2(

2)n;

②当

1,2=

是两个相同实根时,二阶常系数线性差分方程的通解